Déterminer une sphère passant par deux
3o4 GÉOMÉTRIE COTÉE
points, tangente à un plan et à une droite, cette droite rencontrant la droite qui joint les deijx points donnés.
60. Sphères tangentes aux quatre côtés d'un quadrilatère gauche ABCD.
Montrer qu'il faut: AB + CD = BG + AD. Soient a, p, V, 0 les contacts.
T^' * 1 1 *• ^« B? Cy D5 Démontrer la relation -pj— . -j^ . rp-^ . -pr = i , qui
Ba Cp Dy Ao ^
prouve que ajâyc sont dans un même plan. En conclure que le lieu des centres des sphères demandées est Taxe du cercle passant par les quatre points a^yo.
TABLE DES MATIERES
Préliminaires .
Projections t
Représentation du point. — Notations. Plan de comparaisOD. Echelle , . , . , a
Représentation de la droite. — Intervalk. — Pente. — Craduation , , 3
Représentation d'une courbe. — Tangente , . . 6
Représentation du plan. — Echelle de ponl^i, — Pente d un
plan . . - B
Projection d'un angle droit. .,,,,,,,.... lo
Positions particulières du plan 1 1
Emploi d'un plan vertical de projection auxiliairÊ r i
Problèmes sur la droite. — Distance de deux points. — Problème inverse. — Graduation d'une droite. ■ — Droites parallèles .....,,, la
Problèmes relatifs aux plans. — Détermination des horizontales d'un plan satisfaisant à 3 conditions . , iS
Mener par une droite un plan de pente donnée, , . , ai
Mener dans un plan une droite du pente donnée. ... a 3 Intersection de deux plans— Cas gént-ral et cas particuliers.
Point commun à trois plans . . a4
Intersection d'une droite et d'un plan. — Cas particuliers . Jo Problèmes relatifs aux intersections de plans. — Droite passant par un point ou parallèle à une direction donnée,
s'appuyant sur deux droites données 3a
Droites et plans perpendiculaires. — Condition uéceâsaire et suffisante pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, 34
Martin et Pernot. Géométrie cotée. ^
3o6 GÉOMÉTRIE COTÉE
Perpendiculaire à un plan. — Distance d'un point à un plan.
Cas particuliers. 36
MBDer UD plan parallèle à un plan donné à une distance
donnée . , . . Sg
Distance d'un point à une droite. — Cas général 40
Cas pîirliculiei's. 43
Perpendiculaire commune à deux droites. — Plus courte distance , 44
Mener parallèlement à un plan une droite de longueur mimmum s'appuyant sur deux droites données. Application à la recherche de la perpendiculaire commune, , , . 45
Rabattements 5i
Rabiittre un plan sur un plan horizontal. — Règle . — Homologie de la projection et du rabattement. — Rabattre un plan donné par son échelle de pente. —
Cas où le plan est vertical 55
Applications, — Distance d'un point à une droite 56
Projections du cerele inscrit dans un triangle 57
Trouver le sommet d'un trièdre trirectangle dont les
ar<ïles passent par trois points donnés 5^
Eûtations. — Point» — Droite. — Plan. — Mener par une*
droite un plan de pente donnée 60
Amener un plan à passer par un point donné, à être parallèle ii une direction donnée. — Amener une droite à èlre horizontale 64
Angle de deux droites. — Cas général et cas particuliers . . 69
Plan bissecleur de deux droites qui se coupent. ... 70
Angle d'une droite et d'un plan 72
Angle de deux plans 73
Plans bissecLeur» de deux plans 74
SPHERE
Détermination de la sphère. — Sphère passant par quatre points ou sphère circonscrite à un tétraèdre 76
TABLE DES MA TIÈHES 3o7
Sphères tangenteB à quatre» plana. — Sphères insc rîtes
1*1 cïrtonK€rilet« à un UHraèdrc* — iJisciissioîi ... 80
NKUhode d't'crasoinuut. — Discussion ........ 83
Sphère passant par troîa points (?L tangente à un plan, 89
Sphère passant par un point et tangente à trois plans, 92
Sphère passant par trois points et tangente ît une droite* 94 Sphère passant par deux points et tangente à deux:
plans. . g6
Sphère passant par deux points et tangente à d^ux
droites qui ae eoupent . , 97
Sphère de rayon donne passant par un point et tangente à deux sphères données 97
Sphère tangente aux trois arêtes d'un triêdre et â un
plan donné ^ ► . . . , , . . 98
Mener par un point une sphère tangente à trois
^pli^^res , 99
Plan tangent à la sphère en un point de sa surface .... too
Contours apparenti de la sphère , . too
l'rendrc uu point sur ta surface de la sphère. , , . . lOo
Graduation de la sphère . , ..,,...... loa
Inter se Cil on d'une droite ût d'une sphère to3
Section plane de la sphère. — Détermination d'un point et de
sa taiij^eule. — Elétuents des ellipses-projections, , . . . io5
Prûhlèmes sur les plans tangents à la sphère. — Plans tangents par un pohit extérieur. — Coue circonscrit. — Coa-
taet dans un plan donné. — Cas particuLters . ...... 107
Éléments de la courhe de contact du cône circonscrit , . . 108
Plans tangents à la sphère parallèles à une direction donnée,
Cylindre circonscrit, — Contact dans un plan donné ... li^
Plans tangents à la sphère parallèles à un plan donné. . . 114
Flans tangents  la sphère passant par une droite donnée . . 1 15 Flans tangents communs à deux sphères. ^ Ihir un point
donné, — Parallèles à une dir^'ction donnée ., = ..., IJ9
Flans tangents communs à trois sphères ,,..,.. 4 i^3
Intersection de deux sphères ta5
Problème d'application. — Trouver un point qui soit à une distance r d'un point o, à une distance p de w, et à une dis-
hince d d'un plan P ..,,,..., 1^6
Points communs à trois sphères. ^Application. . , . . , ra8 Construire un trièdre tri rectangle tel que ses arêtes
passent par A, B, G i3i
3o8 GÉOMÉTRIE COTÉE
GONES ET CYLINDRES
Débilitions i33
Plan tangent en un point. — Théorème i34
Etant doiin*îc une projcctiou d'un point d'une surface conique ou r^/lindrique, déterEnincr Vauli'r^ et le plan
tangent en ce point . ^ . - i36
Intersection d'une droite ^Tec nn cône on un cylindre . ^ . 1 3d Détermination des plane tangents. — Plan iringcnt à un côuc
pai^ un point extèrîc;ur à la surface ou parRllèlé à une direction donnde. — Plan langent à un cylindre par un point
extérieur ou parallèle à une direction donnée. ...... i^o
Problèmes impossibles. ,....,. i44
Contours apparents des conei et des cylindres 146
Difectricc donnée par sa projection 1^7
Directrice donnée par son rabattement. ,,.,... i4d Ombres- — Ombres propres dea cônes et des cylindres, —
Ombres perlées sur un plan .............. i5o
Normales communes aux cônes et aux cylindres, iSa
CONES ET CYLINDRES DE RÉVOLUTIGIf
Cône de révolutioïi. — Sphère inscrite. — Cylindre de
révolulion ï58
Contours apparents des cônes et cylindres de révolution . . i^g
Détermination des cônes et cylindres de réTolution .... 16a
Cùne donné piir son li.tc et une genérntrice ï6o
Ciiae de révolution donné par trois génératrices . . . i6i Cylindre donné par son aie et un point, — Cylindre de réTOintion donné pnr trois génératrices, .... 16a Plans tangents. — Élant donnée la projection borizontale d'ttfl point, trouver sa cote et le plivn tangent en un point. . i65 Plana tangents par un point extérieur ou parallèle à une direction donnée ....,,,. 167
Normales communes. — Cône et cylindre. — Deui cylindres. — Deus cènes. 1G9
Problèmes relatifs aux plans tangents aux cônes et aux
cylindres de révolution 171
Mener par une droite un plan de pente donnée. , . . 171
TABLE DES MATIÈRES 309
Meuer à une sphère, par un poitil, un plan tangent faisant avec un plan donné un angle donné, — Trouver un plan qui soit à une distance donnée d'une droite, et qui fasse avec un plan un angle donuc . . 17a
Mener & un cylindre de révolution un plan tangent de pente donnée , » ..,..*..., 173
nterBeation d'un cpne ou d'un cyliodre de révolution arec une Bphère ayant son centre but Taxe. — lut ers action do deux cdnes de révolution de même Bommet 17^
Applications. — Mener par un point une droite faisant avec deux plans donnes des angles déterminés. — Mener par un point une droite qui passe à des distances données de deux points. — Mener par un point une droite passant à de a distance a données de deux droites 177
TRIÈDRES
Détcrintnation des éléments dans les six cas qui p envent se présenter. — Discussion. — Conditions de possibilité .,,,<,,......> iB3
POLYEDRES
Détermination des polyèdres. — Représentation. — ■ Visibilité , , i^S
Intersection d'une droite et d un polyèdre . 196
Tctraédrc régulier. — Cube ....-....*.. soi Projection d'un cube sur un plan perpendiculaire à une
diagonale. , , * - 2o5
Sections planée des polyèdres. — Homologie . , ^07
Couper une pyramide quadrangulaire par un plan tel que la section soit un parallélograme. — Section d'un prisme^ — Section plane d'un polyèdre quelconque
SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES
Sections planes des càms et des cyUndroB - . 316
Section plane d'un cône. — Directrice plane. — Sec-
3lO CÉOMÈrmE COTÉE
lion plane d'un cylindre. — h pure de la section plane d/uti (cylindre .,...,. .116
Branches infinies de la section plane d nn cône. — Asymp-
totes. 'x%\
Bi'iMiches ÏD finies diï la section plane rj'an cylindre . . a23
Sections planes des cônes et cylindres de révolution. — Tbéorènîos de Daudeliii, — Cylindre de révolution .... aa5
Placer mie ellips^e sur un cylindre dt! révolution donne. — Faire passer un cylindre de rérolutiQu par une ellipse donnée. .,.....,.. aa8
Cône de révolution. — Section elliptique, - — Placer une
ellip&e ^ur nn ec!>ne de révolution donné ii^y
Lieu des sonimeLs des eônes de révolution conleacnt
une ellipse donnée. . , 'j-^i
Section hyperbolique du cône de révoltition, — Placer une hyperbole sur uu c6ne de révolntion. — Lieu des sommets des cônes de révolution contenant une hyperbole. . . .......... a33
Section parabolique. — Placer une parabole donnée sur un cône de révolution, — - Lieu des s^ommeta des cônes de révolution contenant une parabole i37
Projection de la section plane d^un cône de révolution sur
un plan perpendiculaire à Taxe. ^41
Changement de directrice pour le cône et le cylindre de révolution, ~ Bases de Monge. — Cônes et cylindres circonscrits à une même sphère. , . . M'>
Applica lions, — Intersection d'une droite et d'uu cône
de révolution aSo
Applï cation ans sections planes. — Détermination des
axes ....... , . . aSa
Section antiparallêle d'un cône on d'un cylindre à base circulaire ............ a6a
intersection des polyèdres ,.,,.. ii66
De us pyramides. —Ordre de jonction des points. . a66
Prisme et pyramide ,,,,,. 170
Deux prismes. . . , ^^ - 275
Ombre des polyèdres 174
ffotions sur les surfaces de révolution . ^76
Surfaces de révolution du second ordre ....... 377
Pi^oprîétc fondamentale des surfacea de révolution . ► :a77
Cône eireonscril et eône des normales. ... = , ÏÏ7&
Exécution des épures. — Procédés pratiques. ....,, afto
Polyèdre et t?pliêre. — - VisibUîlé . . , ,...,, aSo
TABLE DES MATIERES
Polyèdre et cùnt* ou cylindre?
Cylindre k génératrices htiris£ontalcâ et poly*^dre
SURFACES TOPOGRAPHIQUES
Coupe ou profil delà surface. ........... agi
Pente d^iine ligne tracée sur une surface Éopographiqne, ^ Ligue de plus grande pente , 392
Exercices. ^96
ÉVHÈUX, IMPniMERTE !>£ CHARLES HÉR13SHT
