DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE

r,5, passe par t\ c'est la droite /A, perpendiculaire à «6 ; on graduerait facilement une échelle de pente P connaissant /i (i,5) et l'horizontale de m (4).

Distance du point M à la droite AB. — > Tout ce qui est dans le plan perpendiculaire à AB mené par M se projette sur le plan vertical ab suivant m't ; ce plan perpendiculaire rencontre donc AB au point projeté verticalement en />', horizontalement en p. 7?ip est la projection de la perpendiculaire abaissée de M sur AB. La vraie grandeur de mp est la distance de M à AB.

On peut la construire connaissant la cote de m et celle de/?, qui appartient à la droite ab.

Cas où la droite donnée est graduée. — On peut appliquer le mécanisme de Tintervalle réciproque.

Soit une droite ab graduée et un point m (7).

D'après ce que nous avons vu précédemment, l'échelle de pente du plan sera parallèle à aè ; en prenant celle qui passe par y,

M, par exemple, il suffit de ^^ti^si bX

la graduer en sens inverse *^^!l^l '^\~~7~Jr^

de la droite, l'intervalle étant J^^^^^^^^^^^^K réciproque de celui de là y^ ^%.),

droite (fig. 46). ^^'"''^'

On trouve, par le procédé /^

déjà employé pour Tinter- .

section d'une droite et d'un

plan, la droite étant parallèle à l'échelle de pente du plan, le pied p de la perpendiculaire abaissée de m sur la droite. Ayant les cotes de m et p^ on a facilement la grandeur du segment MP, qui mesure là distance de M à la droite.

4'i DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE

Mener par une droite un plan perpendiculaire 4 un plan. — Il suffit de prendre un point sur la droite, et de meper de ce point une perpendiculaire au plan, d'après les méthodes que nous avons indiquées.

Cette perpendiculaire et la droite donnée déterminent un plan. Ce plan passe par la droite ; il est perpendiculaire au plan donné, puisqu'il contient une. perpendiculaire à ce plan.

Perpendiculaire abaissée d'un point 3ur une droite et distance d'un point à la droite* — Nous avons vu une méthode qui consiste à mener du point uti plan perpendiculaire sur la droite ; chercher l'intersection de la droite et du plan ; enfin, déterminer la distance de ce point d'intersection au point donné.

Autre méthode. — Soit une droite D et un point M ; faisons passer par D un plan quelconque (fig. 47) î abaissons du point M la perpendiculaire MQ au

plan P; si du point Q, dans, le plan P, nous menons QI perpendiculaire à D, d'après le théorèvie dit des trois per^ pendiculaires^ MI est perpendiculaire à D et la lonfîfueur MI est la distance de E à la droite D. On pourra la construire comme hypothénuse d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés MQ et ML

Cette méthode conduit aux mêmes constructions que les précédentes ; elle a l'avantage de faire mieux comprendre ces constructions et de donner la solution de nombreux problèmes.