NORMALES COMMUNES
Plans tangents parallèles à un cône et à un cylindre, à deux cylindres, à deux cônes. — Nor-
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maies communes. — On appelle normale à une surface en un point la perpendiculaire au plan tangent à la surface en ce point.
Une normale commune à deux surfaces est une droite normale à chacune des deux surfaces en Tun de ces points de rencontre avec ces surfaces. En ces points, les plans tangents aux deux surfaces sont parallèles. Dans le cas qui nous occupe, le problème revient à mener aux deux surfaces coniques ou cylindriques des plans .tangents parallèles. Supposons ce problème résolu, et soient G, et G, deux génératrices de contact, une sur chaque surface.
La normale commune est perpendiculaire aux plans tangents parallèles ; on connaît donc sa direction ; elle doit s'appuyer sur les génératrices G^ et G,; il. suffit, pour ravoir, de mener une droite parallèle à une direction connue, s'appuyant sur deux droites données.
Il y aura autant de solutions que de couples de génératrices de contact de plans tangents parallèles.
Normales commîmes à deux cylindres- — Dans ce cas, les plans tangents cherchés doivent être parallèles aux génératrices des deux cylindres ; on mène k chaque cylindre les plans tangents parallèles aux génératrices de Tautre.
Supposons qu'il y en ait deux : soient g^ et g^ leurs génératrices de contact sur le cylindre G; y^ et y:^ les génératrices de conta(^t sur le cylindre y. On pourra mener une droite parallèle à la direction perpendiculaire aux plans tangents parallèles s'appuyant :
Sur g-, et Y^, ^, ety^
Sur g^ et y,, g, et y,.
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Il y a donc quatre normales communes à deux cylindres dans le cas où Ton peut mener à chacun deux plans tangents parallèles à la direction des génératrices de Tautre.
Normales communes à im cône et à un cylindre. — On mène au cône les plans tangents parallèles aux génératrices du cylindre ; soient T, et Tg ces plans tangents, que nous supposons au nombre de deux ; Si ®^ gi ^^^ génératrices de contact.
Menons au cylindre des plans tangents parallèles à ces plans ; le problème est possible, puisque ces plans sont déjà parallèles aux génératrices du cylindre.
Supposons qu'il y en ait deux parallèles à T^ ; soient y, et y, les génératrices de contact et deux parallèles à Tj ; soient y, et y^ les génératrices de contact.
La normale commune a pour direction celle de la perpendiculaire à Tj, soit n^ cette direction ; ou à T„ soit /ij une perpendiculaire à Tj.
On pourra mener une droite parallèle à «^ s'appuyant sur g^ et v^ ou sur g^ et y^, ou bien une parallèle à /ij s'appuyant sur g-^ et Y3 ou sur g^ et y*-
Il y a donc quatre solutions dans le cas examiné, qui est celui des cônes et cylindres du second degré, ayant pour directrice une conique.
Normales communes à deux cônes. — Dans ce cas, le problème n'a pas toujours de solution qu'on puisse construire avec la règle et le compas. Supposons qu'il existe sur les deux cônes S et o* des plans tangents parallèles. Transportons le cône o* parallèlement à lui-même, de manière à ce qu'il ait le point s pour sommet. Les plans tangents parallèles dans 1^
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première position deviennent des plans tangents communs îiux eônes de même sommet.
Supposons connues les traces des deux cônes sur un même plan dans leur nouvelle position ; les traces des plans tangents communs seront les tangentes communes aux deux bases, qu'on ne peut que tracer graphiquement dans le cas général.
Soit une de ces tangentes qui détermine avec le sommet un plan tangent commun.
On mène par le point <t, dans sa première position (fig. i35), un plan parallèle à ce plan tangent commun.
Fig. i35.
Soit Y la génératrice de contact ; G, la génératrice de contact du pian tangent parallèle sur le cône S ; x>n obtient une normale commune en menant une perpendiculaire au plan tangent s'appuyant sur G et y.
Il y a autant de solutions qu'on peut mener de tangentes communes aux traces des deux cônes lorsque les sommets ont été amenés à coïncider.
Nous allons prendre le cas où la trace de chacun des deux cônes sur un même plan est un cercle.
Prenons ce plan pour plan de comparaison.
Soit s (4) le sommet d'un cône ayant pour direc-
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trice le cercle C situé dans le plan de comparaison, 0" (2) le sommet d'un second cône ajrant pour base le cercle y situé également dans le plan de comparaison (fig. i36).
Transportons le cône de sommet o* parallèlement à lui-même, de manière à ce qu'il ait pour sommet s.
Dans sa nouvelle position, le cône transporté sera coupé par le plan de comparaison suivant un cercle homothétique du cercle y, le centre d'homothétie
étant le point /, trace de la droite des sommets. Son centre sera, sur la parallèle sy^ à o-y. y^ est donc le centre de la nouvelle base du cône transporté. Pour avoir son rayon, prenons le rayon y^a^^ homothétique de ya.
Les deux cônes ont maintenant même sommet ; on peut leur mener des plans tangents communs qui auront pour traces les tangentes communes à C et à y^. Prenons une de ces tangentes ôp,. Le plan tangent ainsi déterminé est tangent au cône s suivant la génératrice SB.
Soit p l'homothétique de (3^ ; d^, parallèle à ^P, est
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la génératrice de contact d'un plan tangent au cône oparallèle au plan tangent déjà mené au cône s.
La direction d'une normale commune est 8, perpendiculaire à ôp,, et graduée avec l'intervalle réciproque du plan tangent T. -
Il suffit de mener une droite parallèle à o s'appuyant sur o-p et sur sb. Cette droite est normale aux deux cônes aux points où elle rencontre les génératrices de contact.
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