Si, sous les conditions ordinaires
lim. — = />,
ELLIPSE D'AIRE MAXIMUM INSCRITE AU QUADRILATÈRE. 23g
l’ellipsoïde
se transforme en un paraboloïde
la relation précédente (I) se change en même temps dans celle-ci
(T) p.p' = cos a. cos p.cos 7. cos S . 2 K1,
où p, p' désignent les demi-paramètres principaux et a, (3, y, 0 les compléments des inclinaisons de l'axe du paraboloïde sur les faces d'un tétraèdre conjugué.
§ III. — De l'elli, >se de plus grande surface parmi toutes celles que l’on peut inscrire à un quadrilatère donné, et de l’ellipsoïde de plus grand volume parmi tous ceux que Von peut inscrire à un système de Indt plans.
218. Les théorèmes du paragraphe précédent permettent de ramener à son véritable principe la construction obtenue par Steiner de V ellipse de surface maximum ou minimum parmi toutes celles que l’on peut inscrire à un quadrilatère donné. Fondée effectivement sur l’évaluation préalable du rectangle des axes d’une conique inscrite à un triangle, la méthode de l’illustre géomètre ne s’applique ni au problème plan corrélatif, ni aux problèmes analogues pour les surfaces du second ordre; et c’est encore au grand ouvrage d’où procède toute la géométrie contemporaine qu’il faut demander le principe autour duquel se rangent naturellement tous les cas du problème et qui réside dans l'existence d’un triangle ou d’un tétraèdre conjugué commun à une série de courbes ou de surfaces du second ordre assujetties à n conditions communes (n — 4> ou n = 8) ( Traité des propriétés projectives, p. 386).
Une conique étant inscrite à un quadrilatère, on sait effectivement que le triangle A, As A3 formé des trois diagonales de celui-ci est conjugué à cette conique dont le rectangle des carrés des axes est proportionnel au produit des distances du centre de la courbe aux côtés de ce triangle et devient maximum ou minimum en même temps que ce produit :
(Théorème III, p. 224> n° 210).
D'ailleurs, la médiane d’un quadrilatère est le lieu des centres de toutes les coniques inscrites. Si donc (fig. 45) a,, désignent les traces de cette droite sur les côtés du triangle diagonal A, As A3 (et ces traces sont justement
Fig. ijj.
/ nA \
les points-milieux des trois diagonales), le centre O de la courbe cherchée devra satisfaire à la condition
Ofl, .0«j.0«3 = maximum.
De là, avec une notation qu’il est inutile d’expliquer, y(x) = [x — «,) [x — a,) ( x — a3) maximum,
CAS DU QUADRILATÈRE CIRC0NSC1UPTIBLE .
et, par suite,
ou
\ uu
Otfj
équation du second degré en x, dont les racines, toujours réelles, sont séparées par les nombres <7, et a „ «, et a,. Deux coniques répondent donc toujours à la question : une ellipse dont le centre est compris entre les points- milieux a,, a , des deux premières diagonales, et dont la surface est maximum; une hyperbole dont le rectangle des axes est aussi maximum et dont le centre tombe entre les pointsmilieux rt,, a j des deux dernières diagonales (*).
Le cas des coniques circonscrites à un quadrilatère se traiterait d’une manière semblable ( Nouvelles Annales de Mathématiques, 1 865, p. 3o8).
219. Si le quadrilatère proposé est circonscriptible, l’ellipse de surface maximum ne coïncide avec le cercle inscrit que d’une manière accidentelle. Le centre O de celte ellipse doit vérifier, en effet, la condition (fig- 46)
Ou, °’
où lesdivers segments On,,... sont pris en valeur absolue. Si l’on désigne d’ailleurs par 1, 1', 2, 2', 3, 3' les six demi-
V*) La droite des centres esl effectivement divisée par les points
en quatre segments consécutifs parmi lesquels le premier et le troisième reçoivent les centres de toutes les hyperboles, le second et le quatrième les centres de toutes les ellipses inscrites. C’est ce qui résulte, en particulier, de la formule
a1. h' = — îiR.P, P, P,.
angles intérieurs du quadrilatère circonscriptible consi-
Fig. /|6.
déré, on trouve par la géométrie que le centre O du cercle
inscrit satisfait à celte double proportion
O a, 0«j Oa,
sinl.sinl' sin2.sin2' sin3.sin3'
L’égalité conditionnelle (1') 11e serait donc vérifiée par le centre O du cercle inscrit qu’autant que l’on aurait
(1' ) sinl . sin 1' — sin 2. sin 2' — stn 3.sin 3' = o?
Or cette relation linéaire et homogène entre les sinus des demi-inclinaisons de l’un quelconque des côtés du quadrilatère sur les trois autres, définit la direction de celui de ces côtés que l’on voudra regarder comme arbitraire ; elle 11e sera donc point satisfaite d’elle-mèine pour un quadrilatère circonscriptible quelconque dont les quatre côtés à la fois peuvent être dirigés arbitrairement.
220. Le problème relatif à Y ellipsoïde de plus grand volume parmi tous ceux que l'on peut inscrire à huit plans
ELLIPSOÏDE MAXIMUM INSCRIT A l' OCTAÈDRE. 243
donnés se traiterait d’une manière semblable; et comme tous ces ellipsoïdes ont leurs centres sur une droite Ox que nous savons construire; comme ils admettent un tétraèdre conjugué commun que nous apprendrons à construire (Chapitre XII), et que le rectangle a* b* c* des carrés de leurs axes principaux est dès lors proportionnel au produit des distances de leur centre, ou d’un point de cette droite, aux plans des faces de ce tétraèdre: on voit, en supposant cette double construction, et désignant par at, at. a,, «4 les traces de cette droite sur les faces de ce tétraèdre, que le centre O de la surface cherchée devra satisfaire à la condition
0«, .0«,.0fl,.0<74= maximum,
et que sa position sur la droite des centres Ox sera définie par l’une des équations suivantes
/(x) = (x — a,) (x — a ,) (x — «,) (x — a,) == maximum,
c’est-à-dire, en développant,
équation du troisièmedegrédont les racines, toujours réelles, sont séparées par les nombres a,, at,a3, a,. Trois surfaces distinctes répondent donc toujours à la question, dont les centres tombent alternativement entre les points fl, et fl», fl, etn„ a, et a, ( fig . 47); cl qui sont alternativement à
Fie- 47-
courbures opposées ou de même sens : ainsi que cela résulte
a44 CHAPITRE VI.
des changements de signe du produit
^ IV. — Des axes principaux d'un ellipsoïde défini par trois diamètres conjugués et de leur construction à l'aide d'une hyperbole et d'un cercle.
221. Étant donnes trois points A, B, C et le centre O d’une conique, les directions des axes principaux de la courbe se peuvent déterminer à priori de la manière suivante :
Prenant les points-milieux A', IV, C' des côtés du triangle ABC, et le point de concours H' des hauteurs du triangle résultant A' IV C', on mène la droite OH' et l'on détermine le point, de concours F des symétriques de cette droite par rapport à deux des côtés du triangle A'B'C'; les bissectrices de l'angle
