RELATIFS AUX LIGNES

Moyen de Tracer une Ligne droite.

Lorsqu’il s’agit de tracer une ligne droite sur une surface d’une très-petite étendue , on emploie la règle ; et comme nous avons vu, l’exactitude du procédé est subordonnée à celle de l’instrument qu’on emploie. Sur les surfaces qui ont une longueur un peu considérable, comme les solives, on emploie une corde que l’on frotte avec de la craie et dont on fixe les deux extrémités sur la solive.

On la pince ensuite pour la faire vibrer, et lui faire frapper la solive sur laquelle elle laisse l’empreinte d’une ligne tracée en blanc.

De pareils moyens se trouveraient insuffisans s’il sagissait de décrire, sur le terrain, une ligne droite d’une certaine étendue. Alors on a recours à de minces pièces

de bois qu’on nomme jalons, et l’on commence par en planter un à chaque extrémité de la ligne que Ton veut tracer. On se place ensuite contre le premier, de manière que les deux jalons qu’on vient de planter , se trouvent tous deux dans la direction du rayon visuel; et pendant que l’on est ainsi placé , une seconde personne plante des jalons dans la direction de la ligne droite que l’œil parcourt. Si cette personne plaçait les jalons trop à droite ou trop à gauche de cette ligne, on lui ferait signe qu’elle s’en écarte , et elle ne cesserait de tâtonner qu’au moment où l’on trouverait que le jalon est dans une position convenable.

Les jalons sont ordinairement de simples baguettes droites , au sommet desquelles on ajoute un petit carré de papier pour mieux les voir. De tels jalons sont presque toujours suffisans; et l’oit assure un nouveau degré d’exactitude à l’opération , lorsqu’en les plantant , on examine , au moyen d’un ül à plomb , s’ils sont dans une position verticale.

Quelquefois il est nécessaire de prolonger une ligne droite au-delà d’un objet qui forme un obstacle; et dans ce

cas, le moyen que nous venons de décrire est insuffisant. Nous ferons* connaître,

Ï ilus tard , après avoir parlé des paralèles, comment on doit s’y prendre pour

opérer malgré cette espèce de difficulté.

Tracer un Cercle et une Courbe irré- • gulière.

Lorsqu’il sagit de tracer un cercle sur une surface de peu d’étendue , on a recours au conlpas dont une des branches est fixée sur le point intérieur que l’on veut prendre pour centre , tandis que l’extrémité de l’autre branche décrit la circbnférence. Ce moyen a toute l’exactitude qu’on peut désirer , surtout lorsque l’on emploie un compas dont on

Ï ieut rendre l’ouverture invariable. Mais orsque les dimensions de la circonférence s’étendent un peu , les* compas ordinaires sont insuffisans, et alors, ce . que l’on peut faire de mieux pour y suppléer, c’est de fixer deux pointes dans utie règle. L’une immobile pour marquer le centre , et l’autre susceptible de se rapprocher plus ou moins de celle-ci , selon Fétendue de la circonférence que s l’on veut décrire. Une pareille règle,

vec ses deux pointes, remplace avec îccès le compas.

Si la circonférence devait avoir une tendue plus considérable , on pourrait mployer une corde, dont on fixerait un# es extrémités avec un piquet. Après da, on tournerait autour du piquet, a tenant la corde tendue, et la surface arcourue par la corde serait un cercle, ’il sagissait de décrire une circonférence ès-vaste dans une campagne , on se lacerait au centre , et de là on tirerait es lignes droites dans toutes les direct ons, en employant des jalons. Ensuite n prendrait sur chacune de ces lignes, partir du centre, une longueur égale a rayon de la circonférence qu’on vourait décrire; et l’on obtiendrait, de nte manière, différens points par lesuels la circonférence devrait passer.

Il n’y a pas de règles & prescrire pour acer les courbes irrégulières, puisque ces îurbes ne sont soumises à aucune règle ; laissi l’on donnait une courbe irréguère, et qu’il s’agîtd’en tracer unesemblale, voici comme l’on devrait opérer : on tmmencerait par tracer une ligne droite i regard de la courbe que l’on voudrait liter ; ensuite de différens points de

Geomélri*. ~

cette courbe, assez rapprochés , on abaisserait des perpendiculaires qui coupe- » raient la ligne droite en se prolongeant suffisamment au-delà, et l’on prendrait «sur le prolongement de chacune d’elles à partir de la ligne droite, une distance égale à celle qui se trouverait entre le

{ joint de la courbe d’où la perpendicuaire est abaissée , et la ligne droite. La courbe que l’on conduirait par l’extrémité des lignes ainsi mesurées , serait une représentation de la courbe irrégulière donnée pour modèle , et cette représentation serait d’autant plus fidèle, que le nombre des perpendiculaires serait plus grand.

Abaisser ou E lever une Perpendiculaire sur une ligne droite .

L’équerre peut être employée avec succès et facilité pour élever ou abaisser des perpendiculaires sur une droite.

Ainsi , par exemple , lorsque l’on veut élever une perpendiculaire sur une droite A C (Jig. i re ), à un point donné B, A B , on porte une des branches de l’équerre le long de cette droite, de manière que le point B soit précisément au point de

ncontre des deux branches , et ensuite )n tire la ligne B D le long de la bran- 1e de l’équerre qui tombe à plomb sur droite donnée. La ligne tirée le long ; cette branche est la perpendiculaire îmandée. Si le point donné était hors ; la ligne droite, en D , par exemple , que de ce point on voulût abaisser *»e perpendiculaire sur cette droite, on spôserait un des côtés de l’équerre le ng de la ligne A C , comme dans l’oîration précédente , et on ferait glisser nstrument jusqu’à ce que la branche :rticale se trouvât juste dans la direc- >n du point D. La ligne droite que >n conduirait alors selon cette direction, rait la perpendiculaire demandée.

L’on peut aussi élever ou abaisser des rpendiculaires sur une droite au oyen d’un compas, d’une règle armée pointes , ou d’une ficelle. Supposons, .r exemple , que l’on voulût élever une •rpendiculaire sur le milieu de la droite B ( fig. 2 ) : des deux extrémités de tte droite , comme centres , et avec les yons égaux A E, B D, plus grands que moitié de la ligne , on décrirait deux mi-circonférences qui se couperaient dessus et au dessous de cette ligne;

on joindrait ensuite les points d’intersection des demi-circonférences par la droite E F , et cesserait la perpendiculaire demandée.

Si le point donné n’était pas au milieu de îaligne droite, il faudrait prendre deux poinis sur cette ligne à une égale distance du point donné, et un de chaque côté ; et* de ces points comme centres , on décrirait des demi-circonférences qui se couperaient en deux points. La ligne conduite par les points d’intersection serait la perpendiculaire demandée.

Si le point donné pour y élever une

Ï ierpendiculaire, était en B ( fig . 3) , à 'extrémité de la ligne A B , et que cette ligne ne pût pas être prolongée pour donner lieu à une construction semblable à la précédente, on se porterait au point B, et de ce point, avec un rayon quelconque , B D , par exemple , plus grand que la moitié de C B , on décrirait un arc . Bu point C r et avec le même rayon , on décrirait ensuite un autre arc , qui couperait le premier, et du point d’intersection , comme centre, toujours avec le même rayon , on décrirait la demicirconférence CBE; on tirerait alors

AUX J.IGHE».- 319

e diamètre C E ; ou joindrait B E ; et IE serait la perpendiculaire cherchée.

)n pourrait aussi parvenir au même réultat d’une autre manière. A cet effet , n élèverait une perpendiculaire à un •oint quelconque sur la droite donnée , t il ne s’agirait ensuite que de mener me parallèle à la perpendiculaire déjà racée , en partant du point désigné.

*ious verrons plus bas par quelle raéhode on peut mener une parallèle à me ligne donnée, en partant d’un point lésigné. Disons maintenant comment , ’un point donné hors d’une droite , on ouïrait abaisser une perpendiculaire Lir ceyté droite ou sur son prolongeîent.

Pour abaisser d’un point A, donné ors de la droite B C (Jig . 4 ) , une perendiculaire sur cetle droite ou sur sou rolongement , on se portera au point A offime centre , et de là, avec un rayon □fïisainment grand r on décrira l’arc ! G, qui coupera la ligne donnée ou son rolongement en deux points. De ces oints , on décrira alors deux arcs qui se Duperont au point E; on joindra ce ' oint et le point donné par une ligne ,

JO problèmes relatifs

et cette ligne sera la perpendiculaire demandée.

Si le terrain , ou le champ de l’opération quel qu’il fût , -ne permettait pas de seniblables constructions, on s’y prendrait d une autre manière : on élèverait une perpendiculaire à un point quelconque , sur la li^ne donnée , et l’opération se bornerait alors à mener, en partant du point donltié , une parallèle à cette perpendiculaire.

Diviser une Ligne , un Arc ou un Angle en deux parties égales. '

L’on a vu plus haut {fig. 2) , comment il fallait s’y prendre pour élever une perpendiculaire au milieu d’une droite donnée ; et nous avons dit que la ligne E F, qui joignait les points d’intersection des demi-circonférences décrites, était la perpendiculaire demandée. En faisant quelque attention à la construction, il devient évident que cela doit être:

en effet , les extrémités de cette ligne se trouvant également distantes des deux points pris comme centres sur la droite donnée , on peut conclure de là qu’elle

n’inclined’aucun côté, et conséquemment qu’elle est perpendiculaire. Mais ses extrémités ne sontpas seules également distantes des deux points pris comme centres : lesdeux obliques quel’onmcneraità cesmêmespoints, d’un point quelconque pris sur cette ligne, auraient aussi la même longueur. Par une raison semblable , le pied de la perpendiculaire se trouve également éloigné des deux centres. et la ligne se trouve divisée en deux parties égales. On voit donc de quelle manière il faut s’y prendre pour diviser une ligne donnée en deux parties égales.

Si c’était l’arc AB (jig- 5 ), que l’on voulût diviser de la sorte , on tirerait sa corde, et on élèverait une perpendicuculaire sur le milieu de cette corde.

Cette perpendiculaire diviserait l’arc en deux parties égales. Une construction semblable servirait à diviser aussi , en deux parties égales, l’angle donné A fi g. 6). En eilet, du sommet de cet angle, comme centre, et avec lé rayon A B , on décrirait l’arc B C , qui aboutirait aux deux côtés de cet angle ; après quoi l’opération se bornerait à diviser 1 aie en deux parties égales et à tirer une ligne du sommet de l’angle au mi-

lieu de l’arc. Cette ligne diviserait l’angle donné en <leux parties égales.

Faire un Angle égal à un Angle donné.

On a avancé , dans le problème précédent que la droite qui était tirée du sommet d’un angle au milieu de l’arc compris entre ses côtés, divisait cet angle en deux parties égales. On ne sera pas étonné de cette assertion , si l’on considère les relations qui existent entre les angles qui ont leur sommet au centre d’ün cercle, et les arcs qui leur correspondent. En effet, si l’on tire un diamètre dans un cercle , et si on le coupe

Î >ar un autre diamètre dont on fera varier ’inclinaison, on verra que la dimension de l’arc opposé variera comme cette inclinaison , et il sera permis d’inférer de là que les arcs peuvent toujours servir de mesure aux angles. On en conclura aussi que, dans des circonférences égales, les arcs égaux correspondent à des angles au centre égaux , et sont soutendus P® r des cordes égales, et réciproquement.

Cela posé, voyons comment il faudra s’y prendre pour faire un angle égal à un angle donné. Pour faire un angle égal à un

ÀLX LIGNES.' 33 '

angle donné A, par exemple ( Jig . 7), on se placera au point A , comme centre, et de là , avec un rayon quelconque , on décrira l’arc G H , qui embrassera toute l’ouverture de l’angle. Alors on portera le compas sur le point B de la droite BD, où devra être le sommet de l’angle demandé, et avec la même ouverture

3 ue précédemment , on décrira l’arc inéfini D E. Sur cet arc, on prendra une partie D F, égale à l’arc G H , qui sert de mesure à l’angle donné ; on joindra le point F et le centre B, et l’angle formé sera égal à l’angle doifhé.

Mener une Parallèle à une Ligne droite et à une Ligne sinueuse.

Soit proposé de mener, par le point donné C {fig. 8), une parallèle à la ligne A B : du point C comme centre , et avec un rayon quelconque , on décrira l’arc indéfini B E. Du point B , et avec le même rayon , on décrira ensuite l’arc C A ; on prendra sur B E une grandeur B D égale à CA; on tirera C D, et ce sera la parallèle demandée.

On aurait pu mener la même parallèle CD, au moyen d’une équerre. A cet

effet , on aurait fait glisser une des branches de l'équerre F, le long de À B, et lorsqu’on aurait eu en vue le point G dans la direction de l’autre branche, on aurait tiré la ligne GC. L’équerre aurait alors été portée en C , de manière à avoir une de ses branches le long de C G, et la ligne C D , tirée dans la direction de l’autre branche, aurait été la parallèle demandée.

Si l’on voulait mener une parallèle à la ligne sinueuse donnée A B C D E F (fig- 9), on tirerait la droite G H , et sur cette droite on abaisserait une suite de perpendiculaires que l’on prolongerait indéfiniment. On prendrait ensuite, sur chacune de ces perpendiculaires , une grandeur égale à une ligne quelconque A «, par exemple, et la ligne abc de f , conduite par les extrémités de toutes ces droites égales, serait la parallèle demandée.

On conçoit qu’il sera facile , de cette manière, de connaître la forme du lit d’une rivière. En effet, on n’aura qu’à laisser tomber la sonde à des intervalles très-rapprochés dans le sens de la lar— , geur du courant ensuite on tirera une ligne sur le terrain égale en longueur à

la largeur du courant , et l’on élèvera des perpendiculaires égales en longueur à la profondeur des sondes , et distantes .comme les sondes l’étaient. La ligne sinueuse que l’on conduira pour joindre l’extrémité de ces perpendiculaires représentera le fond de la rivière , et le dessin sera d’autant plus exact que les sondes auront été plus rapprochées.

Si l’on voulait rapporter ce dessin sur le papier, on réduirait, dans la même proportion , la largeur de la rivière et la profondeur donnée par les sondes. Ainsi, par exemple , si la rivière avait cinquante mètres de largeur, on pourrait tirer une ligne de cinquante centimètres sur le

S *. La distance des sondes et la proar donnée par chacune seraient réduites également au centième ; et le dessin que l’on tracerait serait une image fidèle de l’objet naturel.

Si l’on se proposait de tirer une ligne droite parallèlement à l’axe du cylindre AB {fig- io), ocPferait tourner ce cylindre sur son axe , et l’on décrirait le cercle CD. Ensuite, d’un point quelconque de ce cercle , et avec un rayon à volonté , par exemple du point E , et avec le rayon E F, on décrirait un arc # indé-

terminé ; après quoi on porterait le compas au point F, et avec la même ouverture on décrirait, un nouvel arc qui couperait en deux points le premier. La ligne G H , que l’on mènerait par ces deux points, serait la parallèle demandée. On appelle axe dans un cylindre, la ligne que l’on suppose passer par le centre des deux cercles parallèles qui servent de base au cylindre.

Dessins en Géomélrale.

Les lignes parallèles sont d'un grand usage pour l’exécution des dessins que l’on appelle en géométrale. Dans ces dessins on n’a aucun égard à la perspective, et on représente les objets comme on les verrait si tous leurs points s’avançaient parallèlement et venaient se peindre sur un seul plan , comme serait une toile, par exemple, que l’on tendrait entre ces objets et le spectateur.

Soit HH' un plan interposé entre l’édifice À B C D et le spectateur (Jig . 1 1 ) ; les divers points de cet édifice , en supposant qu’ils s’avançassent parallèlement dans la direction de N O, viendraient se. peindre aux points abc de

jfg, etc., du plan HH'; le point B resterait caché, et la figure entière serait comprise entre les points a et tl.

Si l’on connaissait la hauteur de cet édifice , il serait facile d’en tracer le dessin géométral , en supposant toujours qu’il fut vu suivant la direction NO. En effet, il suffirait de tirer HH' égale à HH' {fig. 12 ) , et de prendre sur cette ligne les distances a b, be, etc., égales à leurs correspondantes a b , b e.

On élèverait ensuite des perpendiculaires en b, e, etc., pour représenter la hauteur connue , et , en joignant le sommet de ces perpendiculaires , on aurait le dessin des parties, les plus importantes de l’édifice. On conçoit qu’en multipliant les opérations, on pourrait représenter toutes les autres parties visibles , comme les portes, les fenêtres et les diverses

Ï >artiesdel’entableinent; mais dans tous es cas, on se conduirait d’après les principes que nous avons exposés.

Prolonger une Ligne droite sur le terrain au-delà d'un obstacle.

Ge que nous avons dit sqr-les parallèles suffit pour que la solution de ce

G^omi-lric. 3

problème ne présente pas de difficulté.

En effet, on commencera par mener une parallèle à la ligne qu’on veut prolonger, et l’on placera cette parallèle de manière que l’obstacle n’empêche pas de la prolonger. Ensuite on tirera une per-

Î iendiculaire allant de la parallèle à la igné ; on en prendra la longueur, et l’on portera cette longueur sur deux autres perpendiculaires que l’on élèvera sur le prolongement de la parallèle. La ligne qui passera par l’extrémité de ces perpendiculaires , ainsi limitées , sera le prolongement de la ligne droite donnée.

La fig. i3 représente une ligne droite AB, qui a été prolongée; CD est la

S irallèle qui lui a été menée , et C A , E , F G , sont les perpendiculaires au moyen desquelles on a opéré le prolongement. On a pris F G et D E égales en grandeur à C A , et on a tiré la ligne G E, qui s’est trouvée le prolongement demandé.

Diviser une Ligne droite en parties égales ou proportionnelles.

Soit la ligne AF, cpie l’on se propose de diviser en cinq parties égales { fig . 1 4 ) •

ÀLX LlOKÊS. 3g

Du point À j On mènera, dans une direction quelconque , une droite indéterminée A X ; on prendra sur cette droite cinq parties égales 1 , 2 , 3 , 4 » 5 , et l’on tirera la ligne F 5. Il ne restera plus alors qu’à mener des parallèles à cette ligne par les points 4» 3 , 2 et 1 ; et la ligne A F sera divisée en cinq parties égales , puisque ces parties seront comprises entre des parallèles également distantes.

Si l’on se fût proposé de diviser la même ligne A F en parties proportionnelles à d’autres lignes , on aurait porté toutes ces lignes, l’une après l’autre, sur la droite indéterminée AX, on aurait joint l’extrémité de la dernière , et le point F, par une li^jne, et des divers points marqués par l’extrémité des autres , on aurait mené des parallèles à cette ligne. Ces parallèles auraient coupé la ligne AF en parties proportionnelles aux lignes données.

Trouver une quatrième proportionnelle à trois Lignes données .

Si l’on voulait trouver une quatrième proportionnelle aux trois lignes données

4o PROBLÈMES RELATIFS

A B, B C , A D, ou tirerait deux lignes indéfinies formant un angle quelconque, comme A F, À G {fig. i5 ) ; on porterait sur l’une d’elles les deux premières des trois lignes données , par exemple , A B et B C ; on poiterait A D sur l’autre ; on joindrait BD ; on mènerait CX, parallèle à cette ligne B D ,'et D X serait la quatrième proportionnelle demandée.

"Trouver une moyenne proportionnelle à deux Lignes données.

S’il s’agissait de trouver une moyenne proportionnelle à deux lignes données, on mettrait ces deux lignes à la suite l’une de l’autre en ligne droite, et du milieu de' leur somme comme, centre, et avec un rayon égal à la moitié de leur somme, on décrirait une demi-circonférence. On se porterait ensuite à leur point de jonction , et là on élèverait upe perpendiculaire jusqu’à la rencontre de la circonférence. Cette perpendiculaire serait la moyenne proportionnelle .demandée. .

Division des Echelles.

Les parallèles servant à diviser une ligne en parties égales ou proportionnelles , on a fondé sur ces propriétés la construction des échelles. Soit proposé , par exemple f de réduire un dessin donné dans la proportion de la ligne A B, à la ligne A C. On disposera ces lignes (fig. 16), de manière qu’elles forment un angle en A ; et la ligne A B ayant été préalablement divisée en dix parties égales , par exemple , on divisera de même la ligne A C. Chacune de ces divisions pourra être subdivisée elle-même en dix parties , et l’échelle fournira ainsi le moyen de transformer le dessin dont A B serait un côté , en un autre dont A C serait le côté semblable.

On conçoit que la division des échelles demande une grande attention, et que de leur exactitude dépend l’exactitude des tracés auxquels elles doivent servir.

Si l’on voulait diviser l’unité de l’échelle en parties trop petites pour qu’elles pussent être marquées bien distinctement , comme , par exemple , si l’on

voulait diviser A4 {fig* i 7 ) , en dix parties , ou mènerait au point A , une perpendiculaire A 10, que l’on diviserait fin dix parties ; on tirerait la diagonale 4 ïo, et cette diagonale marquerait successivement tous les dixièmes de A 4 , sur les parallèles partant des points 1 , 2,3, 4 , etc. , avec des échelles ainsi construites , on n’est pas obligé de porter les pointes du compas toujours à la même place , et les échelles se conservent beaucoup plus long-tems.

Compas de proportion ..

Le compas de proportion facilite singulièrement les réductions proportionnelles. 11 se compose de deux branches divisées de la même manière ; et voici comment on doit opérer pour obtenir, par son moyen, une échelle proportionnelle. On portera sur une des branches , par exemple de A en M (fig. 18) , la longueur de l’une des lignes données ; on marquera sur l’autre branche , au point IN, le point correspondant au point M ; et l’on ouvrira le compas jusqu’à ce que l’ouverture M N soit égale à Pautre dpnnée. Les lignes A A 7, A 6, etc,,

on rcploie le rectangle cylindriqueserontdes divisions de AM, et les lignes 138 , 77 , 66 , etc., le seront de M N, dans la même proportion. On conçoit qu’il serait facile de suppléer au compas de proportion , à l’aide de deux lignes qpe l’on diviserait en parties égales , et qui se réuniraient en un point, en formant un angle. Ainsi, en considérant les branches du compas comme des lignes , on prendrait AM égale à une des lignes données. Avec le rayon A M, on décrirait un arc indéfini M O ; du point M , avec une ouverture de coqipas égale à la seconde ligne donnée , ori couperait cet arc en -N, par un second petit arc ; on joindrait M N , et la construction serait terminée.

'Tracer une Hélice ou Spirale cylindrique.

Un cylindre droit, c’est-à-dire, dont les bases sont perpendiculaires à la direction de son axe , produit un rectangle lorsqu’on en développe la surface. Si l’on divise, en parties égales, les • cotés OH,fli {fig* 19 ) , qui représentent la longueur du cylindre, et qu’après avoir mené lesdiagonalesH A, G F/, etc.

ment, de manière que a i vienne s’appliquer sur Ho ; le point h tombera sur le point G? le point g-, sur le point F, etc. , et les diagonales ne formeront plus qu’une seule ligne spirale contournée au tour du cylindre. C’est cette courbe que l’on nomme hélice ou spirale cylindrique. On aurait pu la décrire en fixant le cylindre II a sur le tour, et en lui présentant une pointe qui, pour chaque révolution du cylindre r se serait avancée parallèlement à son axe d’une quantité GH. On conçoit que, si une pointe tournant autour d’un cylindre, et s’avançant régulièrement dans le sens de l’axe de ce cylindre , produit une ligne spirale , un instrument triangulaire, qui entaillerait le cylindre , diviserait sa surface en creux et en reliefs , et formerait une vis..

Une vis n’est donc autre chose qu’un cylindre sur la surface convexe duquel est enroulé un filet. On produirait ce qu’on appelle un écrou , si l’on avait un creux cylindrique, et que l’on enroulât le filet autour de sa surlace concave.

Rien n’est plus facile que de tourner le filet à droite ou à gauche , et de produire des vis ou des écrous tournés dans l’un -ou l’autre de ces deux sens.

Escaliers en Vis pleine et en Vis à jour.

L’hélice est le principe des escaliers en vis , que l’on pratique ordinairement dans des tours ou cylindres creux, mais que l’on isole aussi quelquefois. Poulies décrire, on doit connaître le diamètre de la tour, la hauteur de chaque révolution de l’escalier, et la hauteur de chaque marche. Supposons que le diamètre de la tour soit de 10 pieds, la hauteur de chaque révolution aussi de 10 pieds , et que la hauteur de chaque marche soit d’un demi-pied : il est évident que le nombre des marches sera de 20. Quant à leur largeur, contre les

S arois de la tour, elle sera le vingtième e la circonférence de la tour, plus la petite quantité dont chaque marche doit être recouverte par la suivante. Leur longueur sera de 5 pieds; et -, en se superposant l’une à l’autre , au centre de la tour, elles formeront une espèce de cylindre que l’on appelle le noyau de l’escalier. Ces sortes d’escaliers sont appelés en vis pleine {fig- 20 ).

Les escaliers en vis à jour ne diffèrent des précédens qu’en ce qu’ils n’ont

S as de noyau, et que les marches,, ait lieu e se prolonger jusqu’au centre, se terminent à un cercle qui a le même centre que celui qui sert de base à la tour.

Quelquefois ces escaliers sont isolés , au lieu de s’élever le long des parois intérieures d’une cage cylindrique. Alors on les garnit de deux rampes , l’une sur le bord extérieur, et l’autre sur le bord intérieur ( fi g. 20). Le tracé des escaliers en vis à jour n’est pas moins facile que celui des escaliers en vis pleine. On décrit la forme des marches, en traçant un ' cercle égal à la base du cylindre creux dans lequel doit s’élever l’escalier. On divise * ensuite ce cercle en autant de parties égales qu’il doit y avoir de marches dans une révolution, et on a la forme des marches pour un escalier en vis pleine. Il ne reste plus alors qu’à séparer de ces marches, par un cercle concentrique au premier, toute la partie qui avoisine le noyau , en leur laissant une longueur convenable. Il n’est pas nécessaire de rappeler qu’en construisant les marches pour les mettre en place, on doit les faire plus larges que le tracé, de toute la quantité dont elles se recouvrent, les. unes les autres.

AUX J.ICHES.

Moyens de tracer une Ellipse.-

L’ellipse {fig. 21 ) est une sorte de cercle allongé , d’après de certaines règles , de telle sorte que le plus grand de ses diamètres et le plus petit se coupent mutuellement en parties égales et à angles droits. Le point de leur intersection est appelé centre de .l’ellipse; et chacun d’eux coupe l’ellipse en deux parties parfaitement égales, susceptibles de se superposer. Toutes les ligues, telles que D E , qui passent par le centre , coupent aussi l’ellipse en deux parties égales ; mais , pour que la superposition de ces parties puisse avoir lieu , il faut faire faire une espèce de révolution à l’une d’elles, et porter le point E de la

E artie E B D , sur le point D de la partie i A E.

Sur le grand diamètre de l’ellipse , il y a deux points, un de chaque côté du centre, dont les propriétés sont telles , qu’en les joignant par des lignes à quelque point de la circonférence que ce soit, la somme des lignes aboutissant à ces divers points de la circonférence est toujours la même. Les points du grand

axe qui jouissent de ces propriétés , se nomment foyers . D’après cela, on pourrait toujours tracer une ellipse dont on connaîtrait les foyers ; mais si l’on ne connaissait aucun des deux axes, la quantité d’ellipses que l’on pourrait tracer avec les mêmes foyers serait infinie. En effet, supposons que l’on voulût tracer une ellipse sur le terrain , et que ses foyers fussent distans de 6 pieds’, on n’aurait qu’à prendre une corde de 8, g j to, ou 20 pieds , etc. ; à fixer les extrémités de cette corde aux foyers ; à placer une pointe dans l’angle formé par ses deux parties , et à décrire une circonférence en faisant varier continuellement la longueur des côtés de l’angle; cette circonférence serait une ellipse^ ,

Si les deux foyers étaient donnés avec l’un des deux axes , par exemple le plus grand , on se porterait successivement aux deux foyers , et avec un rayon égat à la moitié du grand axe, on décrirait des arcs qui se couperaient aux extrémités du petit axe. Si l’on avait donné les deux foyers et le petit axe, on disposerait la ligne qui représente la distance des foyers et celle qui représente le

À'UX LIGKE5. . fo

petit axe , de manière 'qu’elles se coupassent à angle droit 'et en deux parties égales, et l’on aurait la longueur du grand axe en doublant la distance qui séparerait les extrémités du petit axe de chaque foyer.

Si l’on ne connaissait pas les foyers f et que l’on se proposât de décrire l’ellipse, en connaissant seulement ses deux axes , on disposerait ces axes de manière qu’ils se coupassent à angle droit et en deux parties égales ; après quoi des extrémités du petit axe , et avec un rayon égal à la moitié du grand , on décrirait des arcs qui couperaient le grand axe au point aes foyers* Alors il ne resterait plus > pour décrire l’ellipse , qu’à prendre une corde que l’on ployerait en angle , de manière que le sommet de l’angle se trouvât à l’une des extrémités du petit axe , pendant que ses bouts seraient fixés aux foyers , et à tracer une circonférence , avec une

Ï iointe ou un crayon, suivant le plan sur equel on opérerait, en faisant varier progressivement les côtés de l’angle.

Cômpas à Ellipse. •>

On trace ordinairement les ellipses sur les plans de petite dimension , à l’aide d’un instrument qui a été appelé compas ’ à. ellipse, et qui consiste dans deux * coulisses qui se coupent à angle droit, telles crue CD, EF ( fig . 22), et dans une alidade fendue dans sa longueur, et qui porte les pointes 1 , 2,3, que l’on peut fixer à des distances variables au moyen de vis. Or, voici comment on s’y prend pour opérer : on fixe les pointes ou coulisseaux 1 et 3 , de manière

3 ue leur distance soit égale à la mpitié u grand axe donné, et la pointe 2 de manière qu’elle soit distante de la pointe 1 de la moitié du petit axe.

La pointe 1 est garnie d’uu crayon qui doit décrire l’ellipse , et les pointes 2 et 3 , fixées à l’alidade , glissent librement dans les coulisses rectangulaires , de telle sorte cependant que la pointe 2 ne doit jamais sortir de la coulisse C D , ni la pointe 3 de- la coulisse E F. Les.

choses étant dans cet état , on porte la main à la pointe 1 , où est le crayon , et , en la faisant, avancer d’un côté ou de

AUX LIGNES. St

l’autre, on décrit l’ellipse. On conçoit, en effet , qu’en allant vers B , par exemple, la pointe 3 est forcée de s’élever le long, de EF, tandis que la pointe a marche un peu vers B. Le crayon étant arrivé au point B., la pointe 3 s’engage dans la partie supérieure de E F, tandis la pointe 2 retourne vers. C ,■ et l’ellipse décrite réunit les conditions demandées.

L’ellipse dont nous venons de pailer est l’ellipse régulière, telle que celle qui est produite dans le cône lorsqu’on le coupe par un plan incliné à son axe.

O11 donne le nom d 1 ellipses irrégulières , ellipsoïdes ou ovales , à des courbes formées par des arcs de cercle tracés avec des rayons différens. Celle de ces courbes qui offre le moins d’inconvéniens dans son emploi pour les constructions, se trace en divisant le grand axe donné en trois, parties. Ensuite, des extrémités de lapartie du milieu ,1 comme centre,, et avec un rayon égal au tiers de l’axe , on décrit des circonférences qui se coupent?

alors de ces points d’intersections, comme centres , et avec un rayon égal au diamètre des cercles, on décrit des arcs qui joignent ces cercles et forment une . .ellipse irrégulière avec le reste de leur

circonférence , comme on le voit dans la fig. i4,a3.

Dans le cas de l’ellipsoïde précédent, le petit axe est toujours subordonné au grand ; mais lorsqu’on donne A la fois le grand axe et le petit, H faut employer uneautre méthode. Ainsi, soit proposé de tracer l’ovale dit en anse de panier (fig. 24) , dont le grand àxe est AB, et D T la moitié du petit.On décrira deux circonférences sur AB, avec un rayon arbitraire , mais moindre que DF: on prendra sur DF, une grandeur F N, égale au rayon A C, on joindra C N, 'et on élèvera sur son milieu une peroendiculaire

S ue l’on prolongera jusqu’à la rencontre, e FD prolongé. Du pointO de rencontre on tirera O E, passant par le centre C, et la ligne O E sera le rayon du cercle pro— pre à terminer l’ellipsoïde. En tirant DM égale à DF, et en prenant MH égale à O F, on aura en H le centre de l’axe qui devra joindre les deux cercles de l’autre^ côté.

Tracer une Parabole.

On appelle parabole une courbe produite par l’intersection d’un plan qui

coupe un cône parallèlement à un de se»

côtés. Cette courbe a cela de remarquable, que tous ses points, considérés isolément , se trouvent également distans d’un point intérieur de ïa parabole qu’on nomme foyer, et d’une ligne nommée directrice , qui est au dehors de la parabole et qui est perpendiculaire à son axe.

Ainsi l’on a ( fg. 2.5), GF égale G g, H F égale HA, IF égale Iz, etc. Maintenant voici comment l’on doit opérer pour décrire une parabole dont le sommet doit être en A , par exemple , et le foyer en F. On tirera l’axe indéfini AO;, on prendra A D égale à AF, et l’on élèvera DC perpendiculaire au point D. On élèvera ensuite sur D O une multitude de

Ï >erpendieulaires à des points pris à voonté ; et pour tracer la parabole , ort prendra une ouverture de compas égale à D F, et du point F , comme centre , oit coupera la perpendiculaire F G en G, par un petit aïe. La parabole devra passer par ce point d’intersection. On prendra ensuite une ouverture de compas égale à 1) i, et du point F, comme centre, on coupera la perpendiculaire H i en H. Le point H sera un nouveau point par le-, quel passera la parabole. On déterminera

(le la même manière le point I et le point K; ou en fera autant de Faute côté de l’axe , et on donnera à la parabole telle longueur qu’on voudra.

Les droites FI, F H, FK, qui vont du foyer à divers points de la courbe sont appelées les rayons vecteurs de la parabole.

T racer une Hyperbole.

Si l’on suppose deux cônes égaux opposés l’un à l’autre par leur sommet , et si on les coupe par un plan parallèle à leur axe, on aura deux courbes, une dans chaque cône , qui seront parfaitement égales , mais opposées dans leur direction} ces courbes sont appelées hyperboles. Les propriétés de l’hyperbole sont assez saillantes pour que l’on puisse la tracer aisément, après les avoir remarquées. En effet, en considérant isolément tous les points de cette courbe, la différence des lignes menées de chacun de cespoints à son foyeretà celui de l’hyperbole opposée, est toujours égale. Ainsi ( ûg 26 ) on a constammentB/moinsBF egaleC/moins C F égale D/moins D F. Maintenant supposons que l’on veuille décrire une liy-

perbole dont on connaîtra les foyers F f, et un point quelconque, par exemple B.

On tirera F/et B F, et Ton soustraira la plus petite de cés lignes de la plus grande.

Ensuite on prendra une ouverture de compas quelconque, telle que fc , avec laquelle on décrira un arc en c,en se plaçant au foyer extérieur /; après quoi on soustraira de fc, la ligne/g- égale f e différence de B/et de BF, et avec C g du point F, comme centre, on coupera fc. Le

Ï rnint d’intersection sera un point par equel passera la courbe. On pourra déterminer de la même manière, le point D et tous les autres points de la courbe.

On prendra des grandeurs à volonté pour rayons vecteurs extérieurs , c'est-à-dire , pour aboutir d’un point quelconque de la courbe au foyer extérieur, et ces mêmes grandeurs desquelles on soustraira la différence fc serviront de rayons vecteurs intérieurs.

Tracer une Spirale.

La spirale est une courbequi tourne sur elle-même, et dont les spires s’éloignent d’une quantité toujours égale. Il est trèsaisé de la décrire en connaissant la dis—

tance tra’il doit y avoir entre chaque spire. Èn effet, soit AB cette distance prise sur une ligne indétinieF G (Jîg. 27).

On divisera A B en deux parties égales , et avec O B moitié de A B , on décrira la demi-circonférence B A Ensuite du point B comme centre, et avec AB pour rayon, on décrira la démi-circonférence À D ; après quoi du point O, comme centre, et avec O D pour rayon , on décrira la demi-circonférence DC. On coutinuerade la sorte, en prenantaltemativementpour centre le point O et le point B, et l’on donnera à la spirale telle étendue que l’on voudra.

Mener une Tangente à un Cercle .

Si l’on se proposait de mener une tangente au cercle donné A D E, à un point A ( fig . 28 ) pris sur la circonférence, on tirerait le rayon G A aboutissant à ce point, après quoi on élèverait la perpendiculaire A B à l’extrémié de ce rayon.

Cette perpendiculaire serait la tangente demandée, parce qu’elle ne toucherait la circonférence qu’à l’extrémité du rayon.

Tous ses autres points se trouvant plus éloignés du centre, seraient hors du cercle.

Si le point donné était hors du cercle, en B, par exemple, et que de ce point, on voulût mener une tangente, on joindrait ce point et le centre par la ligne droite B C , et du point D milieu de cette ligne, comme centre avec un rayon égal à la moitié de la ligne, on décrirait une circonférence qui couperaitla première aux points À et S. Les lignes AB, BE, menées du point donné B à ces points d’intersection seraient des tangentes.

Si l’on se proposait de trouver le centre du cercle ABD ( Jig . 29), on tirerait deux cordes quelconques, non parallèles AB, CD, et on élèverait sur le milieu de ces cordes les perpendiculaires O E , O F; ces perpendiculaires se rencontreraient au centre du cercle.

En opérant de la même manière, on trouverait le centre d’un arc quelconque.

JF a ire passer une Circon fêrence par trois points donnés , non en ligne droite.

Pour faire passer une circonférence par trois points donnés, B, D, E, {fg 3o), non en ligne droite, on joint ces points par les lignes BD, D E , et l’on élève une perpendiculaire sur le milieu

de chacune. Du point de rencontre des perpendiculaires CF, C Gr, comme centre, et avec un rayon égal à CD, on décrit un cercle , et ce cercle satisfait aux conditions exigées. Eu effet, il passe par les trois points donnés, les lignes menées de ces points au centre étant des obliques égales.