RELATIFS AUX SURFACES

Constn* ire un Triangle dont on connaît les trois cotés.

Pour construire un triangle dont on connaît les trois côtés, AB, BC, ÀE , ( fig. 3i ) on commence par tirer la ligne AB égale à un de ces côtés; ensuite des extrémités de cette ligne , comme centre, et avec les côtés AB, B C , pour rayons, on décrit deux arcs qui se coupent en C. On joint les extrémites de la ligne avec le point d intersection, et le triangle est construit.

AUX SURFACES

Construite un T riangle dont on connaît un côté et les deux ang les adjacens.

Pour construire un triangle en con-^naissant un de ses côtés, AB, et les deux angles adjacens , A et B ( Jig . 32 ), on commence par tirer une ligne DE, égale au côté donné. Sur cette ligne , on fait ensuite deux angles D et E, égaux aux angles donnés, et les côtés de ces angles DF, EF, étant prolongés jusqu’à leur point de rencontre, en F, le triangle se trouve construit.

Construire un Triangle rectangle dont on connaît Vhjrpothénuse et un des autres côtés.

Pour construire un triangle rectangle dont on connaît l’hypothénuse A B (Jig.

33), et un des autres côtés A D, on commence par prendre la ligne E F, égale à ce dernier côté. A l’extrémité F de cette ligne, on élève la ligne perpendiculaire indéfinie F G, et du point E, comme centre et avec un rayon égal à l’hvpothénuse , on décrit lin arc qui coupe la perpendiculaire F G au point

G. On tire la ligne EG pour joindre •ce point d’intersection avec le centre , et on a le triangle demandé.

1 Construire un Carré sur une ligne droite donnée.

Pour construire un carré sur une ligne droite donnée, AB ( fig . 34), on élève les perpendiculaires AC, BD, aux extrémités de cette droite, on prend sur ces

n endiculaires les longueurs A C , B D es au côté , A B ., on joint les points C etD , et l’on a le carré demandé.

Construire un Rectangle dont on connaît deux côtés non parallèles

On procède pour la construction du rectangle delà même manière que pour celle du carré; seulement après avoir élevé des perpendiculaires aux extrémités d’un des côtes donnés, on ne prend sur ces perpendiculaires que la longueur marquée par l’autre côté ; on joint ensuite les points déterminés par cette longueur sur chaque perpendiculaire, et l’on a le v eciangle demandé.

AUX SURFACES. 6 1

Construire un Parallélogramme dont on coiinait deux côtés non parallèles, avec V angle quils forment cntrcux.

Pour construire un parallélogramme dont on connaît deux côtés A B, A G, (fig. 35 ) non parallèles , avec l'angle A qu’ils forment entr’eux , on commence par tirer une ligue. B F égale au côté À B, et par faire à l’extrémité B, decetteligne, l’angle B égal à l’angle donné. A l’autre extrémité F on mène FD parallèle au côté de l’angle que l’on vient de faire, et l’on prend sur cette parallèle F D, et sur le côté BC, les longueurs B C, F 1) égales au second des côtés donnés A C; on joint les

Î ioints C et D par une ligne , et le parai* èlogramme est construit.

Construire un Hexagone dont les côtés soient égaux à une ligne dohnée.

Pour construire un liexagone dont les côtés soient égaux à la jigne donnée 0 A ( fig . 36), on décrit une. circonférence avec cette ligne, et on porte ensuite o fois cette ligne sur la circonférence. Ga

G.’cmrlrie. 4

PROBLÈMES relatifs

circonférence se trouve divisée en 6 parties égales , et liiexagone est formé.

Construire un Polygone régulier quelconque dont les côtés soient égaux à une ligne donnée.

Pour construire un polygone régulier de cinq côtés par exemple , ou un pentagone régulier , dont les côtés devront être égaux à A B {fig> 3 1 ; ), on portera A B sur une droite indéfinie, et du point A , avec A B pour rayon , on décrira une demi-circonférence sur cette droite. On divisera ensuite cette demi-circonférence en autant de parties que le polygone doit avoir de côtés, et l’on tirera une ligne du point A à la seconde division.

Sur le milieu de cette ligne et de A B , on élèvera des perpendiculaires qui se couperont en O, et de ce point comme centre, on décrira une circonférence passant par la seconde division , par A et par B. Du point A on tirera ensuite les lignes A D et A C , passant par les divisions 3 et 4, et les cordes B C , C D, D 2 , etc. , seront les côtés du pentagone demandé.

Si le polygone avait un plus grand

AUX SURFACES. 63

nombre de côtés , on diviserait h> demi-, circonférence en, plus, de parties ipais.

la ligne analogue à la ligne A i devrait toujours être menée à la seconde divir-, sion.

Inscrire un Hexagone et un Triangle équilatéral dans un Cercle donné.

Pour inscrire un liexagone , dans le.

cercle donné A B D E, ifîg' on

commence par chercher le centre du cer-, çle, et ensuite on porte le rayon C À, sur la circonférence. La circonférence se trouve divisée ainsi en 6 parties. On tire les cordes qui soutendent,çes 6 ar.çs, et on a l’hexagone deipandé. Pour avoir le triangle équilatéral , il suffit de joindre les sommets de l’hexagone deux à deux par des lignes droites.

Dans un Cercle donné, inscrire un. Carré et un Octogone ,

Pour inscrire un carré dans un cercle donné A B C D {fi g. 38), on cherche '

le centre de ce cercle , et l’on tire ensuite deux diamètres qui se coupent à angle droit. On joint les extrémités de ces diamètres et l'on a le carré demandé. Pour avoir l’octogone , on divise chacun des côtés du carré en deux par des perpendiculaires prolongées jusqu’à la circonférence ; la circonférence se trouve de la sorte divisée en huit, tant par les diamètres primitivement tirés, que par les nouvelles perpendiculaires ; on joint ces 8 points dfe division par des lignes , et l’octogone est décrit.

En abaissaut des perpendiculaires sur le milieu des côtés de l’octogone, on divi- * serait la circonférence en 18 parties et l’on pourrait inscrire de cette manière un polygone régulier de seize côtés. La même méthode servirait à inscrire des, polygones réguliers de 32 , de 64 , de 128 côtés , etc. Si l’on opérait à l’égard de l’hexagone comme on vient de le faire à l’égard de l’octogone , on obtiendrait des polygones inscrits de 12, 24, 4$ cotés , etc.

AUX SURFACES

Dans un Cercle donné , inscrire un Polygone d'un nombre quelconque de côtés.

Lorsquel’on se propose d’inscrire, dans un cercle donné, un polygone d’un nombre quelconque de côtés , on tire dans ce cercle deux dia mètres qui se coupent à angle droit, on divise l’un en autant de parties que l’on veut donner de côtés au polygone, et on prolonge l’autre d\tne quantité égale aux trois quarts du rayon; ensuite de l’extrémité de ce diamètre

{ >rolougé,on tire une ligue qui passe par a seconde division de l’autre diamètre et qui aboutit jusqu’à la circonférence , et rare compris entre l’extrémité de cette ligne et 1’extrémité du diamètre qu’elle coupe , est l’arc qui a pour corde le côté du polygone demandé. Ainsi poür inscrire unennéagone, ou polygone à neuf côtés , dans la circonférence donnée A B C 9 ( fig . 69 ) , on tire les deux diamètres Â9, C4 qui se coupent à angle droit, on divise le diamètre Aq en neuf parties égales, et l’on prolonge le diamè-

tre C 4 des trois quarts du rayon O 4. Eii* suitede l’extrémité de C 4 ainsi prolongée* on tirera la droite B 7 qui passe par la seconde division de A 9, et la corde A B est le côté de l’ennéagone demandé.

Diyision du Cercle.

L’inscription des polygones d’un nom-, bre quelconque de côtés, ne peut se faire sans que la circonférence se trouve divisée en autant de parties que le polygone compte de côtés. Les méthodes indiquées pour inscrire des polygones, peuvent donc servir lorsqu’il s’agit de diviser la circonférence \ mais quelquefois on peut éviter ces tâtonnemens et procéder immédiatement par le calcul à.la division du cercle. Ainsi supposons^ qu’un architecte voulût tracer les voua-, soirs d’une voûte en plein cintre, dont, le rayon serait 3 o pieds. Le diamètre, étant de 60 pieds , la circonférence , en.

suivant le rapport le plus généralement adopté, serait de 188 pieds et demi, et la demi- circonférence de q 4 pieds un, quart. Chaque voussoir, si l’on voulais

AUX SURFACES/ ôf

en tracer 160, par exemple, devrait donc être le 160 e de 94 pieds un quart; c’est-à-dire, avoir de large à l’intérieur de la voûte 7 pouces et trois quarts de ligne.. La largeur des mêmes, voussoirs à L’extérieur serait subordonnée à leur hauteur : ainsi s’ils devaient avoir 1 pied et demi de haut , il faudrait calculer le 160? d’une demi - circonférence ayant pour diamètre 63. Cette demi-circonfé-* rence serait de 99 pieds, et sa 160 e partie de 7 pouces 5. lignes. IL est bon d’observer que la largeur de chaque voussoir à l’intérieur comme à l’extérieur de la voûte est- une portion de courbe et non.

pas une ligne droite. Mais cette portion de courbe diffère très- peu de la, ligne droite , et elle en diffère d’autant moins que l’on multiplie d’avantage lç.

nombre des voussoirs*

Mesure des Surfaces .

Mesurer une surface, c’est chercher sont rapport avec une surface connue. A cet, effet on porte la surface connue sur la surface qu’on veut mesurer, et l’on voit*

si elle s’y trouve contenue un certain nombre de fois juste ou non. Les surfaces qui servent de mesure commune sont toujours des carrés d’une plus ou moins grande étendue, suivant que les surfaces (jù’on veut mesurer sont plus ■* ou moins étendues elles-mêmes. Nous allons voir comment on peut s’y prendre pour mesurer avec facilité les différentes surfaces.

' Mesure du Carré .

Supposons qu’il s’agît de mesurer un carré dont le côté aurait 8 pieds de longueur. En divisant chaque côté en 8 parties, et en joignant les divisions correspondantes , la surface du carré se trouverait divisée en 64 oarrés égaux , ayant chacun un pied de côté, ou en d’autres termes, elle se trouverait contenir 64 pieds carrés. On voit par là que pour avoir la surface d’un carré, il su-t.

fit cle multiplier par lui-même le nombre qui représente la longueur d’un de ses cotés. Si cette longueur est exprimée en pieds, le produit indiquera le nombre de pieds carrés contenus dans le

AUX surfaces.' 69

carré qu’on veut mesurer; si elle est exprimée en toises, en mètres , en décamères ou autre mesure quelconque , le produit indiquera toujours combien il faut de carrés formés par cette mesure pour équivaloir au carré total.

Mesure du Rectangle et du P arallélogramme.

Le rectangle ou carré long , se mesure en multipliant ses deux côtés adjacens , parceqiie ces côtés sont perpendiculaires comme dans le carré ; ainsi un rectangle

3 ui aurait un côté de 16 pieds , et un autre e 4 , aurait pour mesure 64 pieds carrés.

En comparant ce résultat avec celui que Ton a trouvé dans la question précédente, on voit qu’un rectangle dont la base a 16 pieds, et la hauteur 4> es t équivalent à un carré dont le côté est 8 pieds ; et l’on peut remarquer que cette longueur 8 est moyenne proportionnelle entre 4 et 16. D’où il suit que Uon peut toujours construire un carré équivalent à un rectangle donné. En effet, il suffit de chercher la surface du rectangle et

de prendre la racine carrée de cette surface. Si le produit des deux côtés du rectangle n’était pas un nombre carré parfait r on en extrairait approximativement la racine , et l’on aurait le côté d’un carré différent aussi peu qu’on le désirerait du rectangle donné.

Pour trouver la mesure d’un parallélogramme, il suffit de considérer que si l’on élève une perpendiculaire à chaque extrémité de sa base et qu’on la prolonge jusqu’à la rencontre du côté parallèle à cette base, on détachera, un petit triangle à une des extrémités du parallélogramme, tandis qu’à l’autre extrémité on en ajoutera un pareil*, On pourra donc conclure de là que tout parallélogramme est équivalent au rectangle formé par sa base et par la perpendiculaire comprise entre cette Dase et le côté parallèle opposé , ou , en d’autres termes , par sa hauteur. Ainsi lorsque l’on voudra mesurer un parallélogramme , on multipliera un de ses côtés par la perpendiculaire comprise entre, ce côté et le côté opposé le produit sera la surface cherchée. On voit que le parallélogramme pouvant être converti

AUX SURFÀCE5. 7 I

en un rectangle , et tout rectangle en un carré, il'est facile de faire un carré équivalent à un parallélogramme donné.

Pour cela il suffit de multiplier la base du parallélogramme par sa hauteur, et d’extraire la racine carrée du produit.

Mesure du Triangle .

Il est facile de remarquer, en considérant un triangle, que si, du sommet de deux de ses angles , on tire des parallèles aux côtés opposés à ces deux angles, on construit un parallélogramme qui a même base et même hauteur que.

le triangle , mais qui a une surface double. On peut conclure de là que tout triangle est moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur , et a conséquemmant pout mesure le produit de sa base par la moitié de sa hauteur, ou de sa hauteur par lamoité de sa base. Ainsi un triangle qui a une base de i 5 toises et une hauteur de 8, a pour mesure 60 toises carrées. Le produit est le même , soit que l’on multiplie i 5 par 4, ou 8 par 7 */,; il n’est pas nécessaire de rappeler que la li auteur d’un triangle est la

AUX SURFACES. n$

tat 7 ,o 56 dont la racine carrée 84 serait la superficie du triangle.

• Mesure du Trapèze .

Le trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles , et qui est équivalent en surface au parallélogramme de même hauteur, dont la base serait la demi-somme de la base du trapèze et du côté opposé; d’où il suit que, pour mesurer un trapèze , il faut ajouter ses deux côtés parallèles , prendre la moitié de leur somme et multiplier cette moitié par la hauteur. Ainsi , pour mesurer le trapèze dont un des côtés parallèles serait i5, l’autre n, et la nauteur 7 ; il faudrait ajouter i 5 et 11 , et multiplier 1 3 , demi-somme de ces nombres, par 7.

Le produit 91 serait la surface cherchée.

Mesure des Polygones réguliers et irréguliers.-

Losque l’on se propose de mesurer des polygones réguliers , il faut considérer que ces polygones pouvant se diviser en autant de triangles égaux qu’ils ont de

Géora^trif . 6

«ôtés, leur surface estaussi facile à déterminer que celle des triangles qui les composent. En effet, ces triangles ayant pour mesure le produit de leurbase par la moitié de leur hauteur , il s’ensuit que la mesure dea polygones sera la somme^des mêmes bases multipliées par cette même moitié de hauteur. Or , la somme des bases n’est autre chose que le contour ou pérfrrçètre du polygone , et' la hauteur des triangles u’est autre chose que le rayon dü cercle inscrit dans le polygone; on peut donc dire que la surface des polygones est égale à leur périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit. 4m s i» pour trouver la surface d’un hexagone dont le côté serait de 5 pieds, pendant que le rayon du cercle inscrit serait de 4, on multiplierait le contour du polygone, ou 6 fois 5 pieds, par la moitié de 4 ou par 2 , et le produit 6o serait la surface cherchée.

Pour mesurer les polygones irréguliers , il faut les diviser en triangles en tirant des diagonales de l’un des sommets à tous les sommets opposés; on mesure ensuite séparément tous ces triangles, et leur somme est la surface du polygone.

AUX SURFACES

Mesure du Cercle.

Ce que nous avons dit de la mesure «les polygones réguliers, peut être appliqué à la mesure du cercle ; car le cercle n’est autre chose qu’un polygone d’un nombre infini de côtés. Kn conséquence, pour trouver la mesure du cercle, on n’a qu’à multiplier sa circonférence par la moitié du rayon; et le produit est la surface cherchée. On voit parla qu’il est toujours facile de construire un rectangle ou un carré équivalant, à très-peu dechose près, à un cercle donné.

Nous disons à très-peu de chose près , parce que le rapport de la circonférence au diamètre , ou au rayon , ne pouvant être apprécié justement , il s’ensuit que la surface du cercle ne peut être connue que d’une manière approximative. De là, l’inutilité des efforts que l’on ferait pour trouver une surface carré.e équivalente à un cercle, ou en d’autres termes :

la quadrature du cercle. Cette opération ne pourrait avoir pour résultat qu’une approximation qui différerait aussi peu de la vérité qu’on le voudrait ;

76 PROBLÈMES RÉLATIFS

mais qui en différerait cependant toujours.

Le rapport du diamètre à la circonférence dont on fait le plus d’usage dans les calculs qui ne demandent pas une précision minutieuse , est celui de 7 à 22 , ou mieux de 24 a 75 , 38 . Cela posé, un cercle qui aurait 75 mètres 38 centimètres de circonférence aurait de surface 6 fois 75,38 mètres , ou I\ 5 i mètres carrés 28 centièmes.

Mesure d'une portion de Cercle.

Ces portions de cercle sont des secteurs ou des segmens. On n’a pas oublié que les secteurs sont une partie de cercle comprise entre un arc et deux rayons, et que les segmens sont la surface comprise entre un arc et sa corde ou sous-tendante. Pour mesurer un secteur, il suffit de connaître le rapport de son arc avec la circonférence; il n’est plus besoin alors que de mesurer la surface du cercle et de prendre une partie quelconque de cette mesure comme le quart, le cinquième, le dixième, etc., selon que l’arc du secteur est le quart, le cinquième ou le dixième de la circonférence.

AUX SURFACES. •j’J

On pourrait aussi trouver immédiatement la surface du secteur, si, connaissant Fétendue de son arc, on connaissaiten même teins la longueur du rayon. On multiplierait l’arc par la moitié de ce rayon et le produit serait la surface cherchée. Pour trouver la surface du segment, on commence par chercher celle du secteur dans lequel il est contenu. Ensuite on soustrait de la surface de celui-ci, celle du triangle qui a pour base la corde du segment, et pour côtés, les rayons qui bornent le secteur. La différence de ces deux surfaces est la mesure du segment.

Mesure de L* Ellipse.

Pour trouver la surface d’une ellipse , il suflit de savoir que cette surface est à celle du cercle qui aurait pour diamètre le petit axe de l’ellipse, comme le grand axe de cette ellipse est à son petit axe.

Cela posé . cherchons la surface d’une ellipse dont le grand axe est de 5o pieds, et le petit de 35. Nous prendrons d’abord la surface d’un cercle ayant 35 pieds de diamètre. Cette surface est de 96 ?. pieds carrés et ‘/a- La surface de l’ellipse sera donc le quatrième terme de

«ette proportion ; 35 : 5 o :: 962 :

la surface de l’ellipse. En multipliant 962 '/ 2 par 5 o r et en divisant le produit par 35 , on trouvera 1,375 qui sera la surface demandée.

On pourrait trouver encore la surface de l’ellipse en multipliant ses deux diamètres l’un par l’autre, et en prenant la moitié, le quart et le vingt-huitième du produit que l’on ajouterait ensemble:

cette somme serait la surface cherchée.

Ainsi, le produit de 5 o par 35 est 1,750; et la moitié de ce nombre 875 étant ajoutée au quart 4^7 7* > et au vingthuitième 62 7,, on a pour somme 1,375 qui est la surface cherchée.

Surfaces poljgones semblables.

On appelle surfaces polygones semblables, des surfaces dont les angles sont égaux et les côtés homologues proportionnels. On entend par côtés homologues , les côtés qui sont situés de la même manière dans des figures semblables. Toutes les fois que des triangles ont les côtés homologues proportionnel, on peut conclure qu’ils sont semblables, parce que, dans les triangles, les angles

AVX SURFACES* 79

ne changent pas tant que L’on ne touche pas aux côtés; mais dans les autres polygones, il ne 'suffit pas, pour que Ton puisse conclure la similitude, que les côtés soient proportionnels , il faut encore que les angles soient égaux; sans quoi la figure pourrait changer. .

Rapport des Périmètres des Surfaces semblables.

Delà propriété qu’ont les figures semblables d'avoir leur côtés homologues proportionnels , on peut inférer que la somme des côtés homologues dans Tune est à la somme des côtés homologues dans l’autre , comme un côté quelconque est au côté homologue ; ou en d’autres termes, que dans les polygones semblables , les périmètres sont entre eux comme les côtés pris isolément ; mais ces côtés étant entre eux comme les rayons des cercles inscrits et circonscrits, à cause de la similitude des triangles dans lesquels se divisent les polygones , on peut dire encore que les périmètres des polygones semblables sont entre eux comme Les rayons des cercles qui leur pourraient être inscrits ou circonscrits. Ajoutons encore que les cercles n’étant , autre

chose que des polygones d’un nombre infini de côtés , on peut toujours dire des circonférences qu’elles sont entre elles comme leurs ravons.

Rapport des Surfaces semblables.

Nous avons dit, en parlant de la mesure des surfaces, que toutes les figures polygones pouvaient être converties en un carré équivalent. Or , considérons maintenant , pour simplifier, deux triangles semblables, dans chacun desquels la base serait égale à la hauteur. Ces triangles seraient moitié des carrés construits sur leurs bases, et conséquemment seraient entre . eux comme ces carrés.

Or , ces carrés sont des carrés de côtés homologues, et tous les côtés homologues sont entre eux dans le même rapport; il est donc permis de conclure que toutes les surfaces semblables qui sont entre elles comme les triangles dans lesquels elles se partaient , sont entre elles comme les carres des côtés de ces triangles, ou, en d’autres termes, comme les carrés de leurs propres côtés homologues, et comme les carrés des rayons inscrits ou circonscrits.

En considérant la surface du cercle comme un polygone, on peut dire des cercles

AUX SURFACES. 8l

en généra^ qu’ils, sont entre eux comme les carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres.

La connaissance des rapports des surfaces semblables est souvent utile, parce qu’elle évite la peine de mesurer ces surfaces pour les comparer. Ainsi , deux hexagones dont l’un aurait des côtés de 5 pieds pendant que l’autre les aurait de 9, seraient entre eux comme 2Ô à 81 . 11 en serait de même de deux triangles , de deux pentagones , et en général, de deux figures semblables quelconques dont les côtés homologues seraient dans le même rapport. Quant aux cercles, on peut trouver aussi avec facilité le rapport de leurs surfaces lorsqu’on connaît leurs rayons, en élevant ces rayons au carré , et en comparant :

ainsi, les surfaces de deux cercles, dont l’un a pour rayon 7 et l’autre 9, sont entre elles comme 49 et 81 , tandis que le rapport de leur circonférence est de 7 à 9. La différence du rapport des périmètres et du rapport des surfaces , est une chose à laquelle les commençans doivent faire une attention particulière ; car, dans le monde on voit une multitude de personnes, d’ailleurs fort ins-

8» PROBLÈMES RÉLÀTiFS

triiits , être tentées de dire qu’une surface, dont les côtés sont doubles de ceux d’une autre surface, n’est qu’une surface double , tandis que c’est une surface quadruple ; 2 ayant pour carrré 4 , tandis que 1 a pour carré 1.

Tracer une figure polygone égale à une

autre , ou simplement symétrique.

Pour tracer une figure polygone égale à une autre,' on tiré une ligne égale à un des côtés de la figure qu’on veut retracer ; sur cette ligne on fait des angles égaux à ceux*qui sè trouvent sur le côté homologue dans l’autre figure ; on prend sur les côtés de ces ongles des grandeurs égales aux côtés qu’on veut rapporter , et l’on continue de construire le polygone en traçant successivement des angles et des côtés égaux à ceux de la figure qu’on représente. Cette manière d’opérer est très-praticable sur le terrain ; mais , lorsqu’on a besoin d’une grande exactitude , il faut vérifier plusieurs fois lés résultats que l’on obtient.

Si la nature ou la position de la figure le permettait, on pourrait suivre une autre méthode. De tous les angles sail—

AUX SURFACES

lans ou rentrons de cette figure , on tirerait des parallèles se dirigeant d’un même côté ; on ne laisserait à toutes ces parallèles qu’une même longueur ; ou joindrait leurs extrémités par des lignes, et l’on aurait une figure égale à la ligure donnée pour modèle ( fig . l \ [o ).

Si, après avoir mené les parallèles dont nous venons de parler, on les coupait par une perpendiculaire, en leur laissant ensuite autant de longueur d’un côté delà perpendiculaire que de l’autre, on aurait, en joignant leurs extrémités , une figure qui serait à la vérité égale à la première, mais qui ne pourrait lui être superposée qu’après avoir été renversée. Cette sorte d’égalité est appelée égalité par symétrie.' ün s’en fait une idée en songeant à un dessin et à la planche qui a servi à l’imprimer.

Mesure de la surface convexe d'un Prisme.

-On se rappelle que nous avons donné le nom de prismes à des solides dont les êleux faces sont des polygones égaux , et les faces latérales des parallélogrammes. On conçoit aisément que , si l’on

84 PROBtÊMES RELATIFS

veut mesurer la surface convexe de cette espèce de solide, cette surface doit se composer de celles de tous les parallélogrammes dont elle est formée ; or , ces parallélogrammes ont tous pour hauteur celle du prisme lorsqu’il est droit , et pour base un des côtés du polygone qui lui sert de base. Leur somme , ou la surface convexe du prisme droit, a donc , pour mesure la hauteur de ce même prisme, multipliée par la somme des côtés , ou le périmètre du polygone qui lui sert de base. Quand le prisme est oblique, c’est-à-dire, lorsque ces faces ne sont pas perpendiculaires au plan de sa base , sa hauteur n’est pas la même que celle des parallélogrammes qui forment son contour, et alors, pour avoir sa surface convexe , il faut multiplier la hauteur d’une de ces arêtes par le contour du polygone formé par un plan , qui couperait le prisme à angle droit.

Mesure de la surface convexe d'un Cylindre .

Le cylindre pouvant être considéré comme uu prisme reposant sur des polygones d’un nombre infini de côtés , il

AUX SURFACES

s’ensuit que la surface convexe d’un cylindre droit peut s’obtenir comme celle d’un prisme droit, en multipliant la circonférence du cercle qui lui sert de base par sa hauteur ou par son côté.

Quant au cylindre oblique , on obtient sa surface convexe en multipliant la hauteur de cette surface par la circonférence du cercle qui couperait le cylindre à angle droit.

^Mesure de la surface convexe d’un Cylindre dont un des bouts est coupé par . un plan oblique à V axe.

Si l’on voulait mesurer la surface convexe d’un cylindre droit dont un des bouts serait coupé par un plan oblique , on commencerait par mesurer cette surface jusqu’à l’endroit où commencerait la section oblique. Jusque-là tout serait trouvé très -facile , puisqu’il ne s’agirait que de mesurer la surface convexe d’un cylindre droit. Pour mesurer le reste , taillé en bec, on prendrait la plus grande hauteur du bec, et on multiplierait cette hauteur par la circonférence du cercle servant de base ail cylindre. Le produit serait double de la surface convexe du

bec cylindrique : on en prendrait la moitié, et on l’ajouterait à la surface du cylindre déjà mesuré. La somme serait la surface cherchée.

Ou pourrait mesurer en une seule opération la surface convexe d’un cylindre de cette espèce , en prenant la demi-somme de la plus grande et de la moindre hauteur de ses côtés, et en multipliant cette demi-somme par la circonférence du cercle servant de base au cylindre.

Mesure de la surface convexe d’une

» Pyramide.

On ttouve aisément la surface convexe d’uue pyramide, en ajoutant la surface de tous les triangles dont elle est formée ; mais lorsque cette pyramide est droite et qu’elle a pour base uu polygone régulier , alors , comme tous les triangles qui forment sa surface convexe ont même hauteur, on peut mesurer immédiatement cette surface, en multipliant le périmètre du polygone qui sert de base à la pyramide par la moitié de la hauteur commune aux triangles

Al X SURFACES. 8’"

Mesure de la surface convexe d’un Cône.

Le cône droit pouvant être considéré comme une pyramide droite ayant pour base un polygone d’un nombre intini de côtés , il s’ensuit que sa surface convexe peut être obtenue en multipliant la circonférence du cercle qui lui sert de base par la moitié de la hauteur de son côté.

Ainsi un cône droit qui aurait 1 8 pieds de côté, et qui reposerait sur un cercle dont la circonférence serait de 35 pieds , aurait pour surface convexe 35 , multiplié par q, moitié de 18 , ou 3 i 5 pieds carrés.

Si le cône était oblique, c’est-à-dire, si ses côtés étaient inégalement inclinés sur le cercle qui lui servirait de base, il faudrait prendre la demi-somme du plus grand et du plus petit côté, et multiplier la moitié de cette demi-somme par la circonférence du cercle. Le produit serait la surface cherchée. Ainsi, supposons qu’un cône reposant sur un cercle dont la cii conférence serait de 25 pieds, eût son plus grand côté de 20 pieds et son plus petit de 16 : on multiplierait la -circonférence 2.5 par la moitié de la

#8 rRODLÈMES RELATIFS.

demi -somme de 20 et de 16, ou par g, et le produit serait la surface cherchée.

Mesure de la surface convexe d'un Cône tronqué.

Pour mesurer la surface convexe d’un cône tronqué , il faut ajouter ensemble la circonférence de la base du cône et de celle de la partie tronquée, et multipi; er la moitié de cette somme par le côté du même côqe. Le produit est la surface demandée.

Si le cône tronqué était oblique et

3 ue les bases fussent parallèles , il faurait prendre également la. moitié de la ~ somme des deux circonférences ; après quoi 011 multiplierait cette moitié par la demi-somme du grand et du petit côté ajoutés ensemble.

Mesure de la surface de la Sphère. .

On trouve la mesure de la surface convexe de la sphère, en multipliant la circonférence d’un grand cercle de cette sphère par son diamètre. On appelle grands cercles , dans une sphère,

AUX SURFACES. 89

les cercles qui sont formés par des plans passant par le centre de ce solide.

Supposons que nous ayons à mesurer la surface convexe d’une sphère de 35 pieds de diamètre : la circonférence d’un grand cercle de cette sphère sera de 1 10 pieds ; et en multipliant i io par 35, on aura 385o pieds carrés pour la surface ' demandée.

Mesure de la surface convexe d’une portion de Sphère.

Pour mesurer la surface convexe d’une portion de sphère , on compare sa hau- , teur ou la portion du diamètre qui lui correspond au diamètre entier ; et l’on dit: cette hauteur est au diamètre comme la surface convexe qu’on veut mesurer est à la surface de la sphère. Ainsi , supposons que la sphère ait 35 pieds de diamètre, comme dans l’exemple précédent, et que la hauteur de la surface convexe soit de 12 pieds , on dira : 35 est à 385o , comme 12 est à un quatrième terme que l’on trouvera en multipliant 385o par 12 , et divisant le produit par 35. Le résultat de l’opération donnera 1 320 , qui sera la surface dé la