DISSERTATION

PRELIMINAIRE

Le titre de cet ouvrage peut rappeler aux Géomètres, que l’illustre Leibnitz avoit conçu l’idée d’une Analyse de situation ; idée qui n’a point été suivie , quoiqu’elle mérite l’attention des Savans. « Il est certain, dit d’Alem- » bert, que l’analyse de situation est une chose qui man- )) que à l’algèbre ordinaire : c’est le défaut de cette ana- » lyse qui fait qu’un problème paroît souvent avoir plus » de solutions qu’il n’en doit avoir dans les circons- » tances limitées où on le considère. Il est vrai que cette » abondance de l’algèbre , qui donne ce qu’on ne lui » demande pas , est admirable à plusieurs égards; mais » aussi elle fait souvent qu’un problème qui n’a réelle- » ment qu'une solution , en prenant son énoncé à la » rigueur , se trouve renfermé dans une équation do » plusieurs dimensions , et par-là , ne peut , en quelque M manière , être résolu. Il seroit à souhaiter que l’on )) trouvât moyen de faire entrer la situation dans le cal- » cul des problèmes ; cela les simplifieroit extrêmement )) pour la plupart ; mais l’état et la nature de l’analyse » algébrique ne paroissent pas le permettre ». ( Ency~ clopédie , art. Situation.)

L’objet de cet ouvrage diffère de celui de l’analyse de

* Cette diuertation doit £tre regtxdée comme üuMDt partie CMcntiellei de Poanrage mtme.

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situation dont on vient de parler; mais il lui est analogue. Leibnitz voiiloit qu’on fît entrer dans l’expression des conditions d’un problème géométrique , la diversité de position des parties correspondantes des figures comparées , ^fin qu’en les séparant par un caractère bien distinctif^ on pût les isoler plus facilement dans le calcul. Or cette diversité de positions s’exprime souvent par de simples mutations de signes; et c’est précisément la théorie de ces mutations qui fait l’objet essentiel des recherches que j’ai en vue, et que je nomme Géométrie de position.

La Géométrie de position est donc, à proprement parler, la doctrine des quantités dites positives et négatives, ou plutôt le moyen d’j suppléer; car cette doctrine y est entièrement rejetée. Il y along-tcmps que l’on a reconnu que plusieurs formules algébriques , dont les termes ne different que par les signes -t- et — , expriment souvent, comme on vient de le dire, les propriétés analogues de diverses figures, dont la construction est essentiellement la même, et qui ne different entre elles que par la transposition des parties correspondantes. C’est à Descartes qu’on âoit cette remarque ingénieuse ; mais on s’est trompé, ce me semble , en voulant trop en généraliser les conséquences. Je me propose ici de remonter aux principes, et de montrer l’abus qui en peut résulter.

Rien n’est plus simple que la notion des quantités négatives précédées par des quantités positives plus grandes qu’elles ; mais en algèbre , on est à chaque instant conduit à des expressions de formes négatives isolées, et lorsqu’on veut savoir au juste le sens de ces expressions, on manque de principes clairs , parce qu’elles sont ame-

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nées par des opérations qui ne sont claires elles-mêmes et exécutables , que pour les quantités positives ou plutôt absolues. Aussi les plus grands <Jéomètres n’ont-ils pu s’accorder sur la véritable signification de ces quantités négatives isolées : on en peut juger par la Longue discussion qui s’est élevée d’abord entre Leibnitz et BernouilU 1 et ensuite, entre Euler et d’Aleipbert, sur la question de savoir si les logarithmes do ces quantités sont réels ou imaginaires ; et quoique cette discussion soit aujourd’hui terminée, il reste ce paradoxe, savoir que quoiqu’on ait log. ( — a)" = log. (a)’, on n’a cependant pas a log. — a = a log. a , comipe semble l’exiger, la théorie ordinaire des logarithmes. Mais au fond , si l’on ne s’accorde pas sur ce point , c’est qu’on parle de choses qui sont réellement inintelligibles par leur essence. Les opérations algébriques , telles que l’addition , la soustrac-t tion , la multiplication , etc. n’ont jamais été démontrées , et ne peuvent l’étre véritablement que pour les cas ou elles sont exécutables. Ainsi , par exeniple , il est aisé de prouver que si a > ê , on doit avoir (a — ê)c==ac — bc ; mais il est impossible de prouver la ipéme chose lorsque b ^ a, parce qu’il est impossible de concevoir alors ce que c’est que a—~b, ni ac — b c.

Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudroit retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ?

D’Alembert , à qui l’on est redevable de s’ètre particuliérement occupé de la partie philosophique des sciences exactes , a traité cette question à l’article Négatif

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de V Encyclopédie ; il y est ensuite revenu à diverses reprises , particulièrement dans son Mémoire sur les quantités négatives insérées dans le huitième volume de ses Opuscules mathématiques ; et il paroît qu’il avoit à cœur de résoudre les difficultés que présente ce' sujet délicat. « Il seroit à souhaiter , dit-il , dans le mémoire ndont je viens de parler, que dans les traités élémen- )) taires , on s’appliquât à bien éclaircir la théorie ma- M thématique de ces quantités, ou du moins qu’on ne la » présentât pas de manière à laisser dans l’esprit des Mcommençans, des notions fausses».

Ce grand Géomètre démontre parfaitement dans' ce mémoire ,. sur lequel je reviendrai bientôt , l’insuffisance et le faux des théories ordinaires ; mais il ne propose rien pour en tenir lieu ; et il se borne à quelques explications particulières dans un sens peu différent de la théorie môme qu’il vient de renverser : aussi paroîtil n’être pas entièrement satisfait lui-même de ces explications, puisqu’il ajoute : « Je remarquerai, en finis- » sant , que toute cette théorie des quantités négatives » n’est pas encore bien éclaircie ». Le même auteur s’exprime comme il suit dans V Encyclopédie , article Négatif.

« Il faut avouer , dit-il , qu’il n’est pas facile de fixer » l’idée des quantités négatives , et que quelques habiles » gens ont même contribué à l’embrouiller par les no- « tions peu exactes qu’ils en ont données

» Quand on considère l’exactitude et la simplicité des » opérations algébriques sur les quantités négatives , on » est bien tenté de croire que l’idée précise qu’on doit » attacher aux quantités négatives , doit être une idée

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)) simple , et n’être point déduite d’une métaphysique » alambiquée. Pour tâcher d’en découvrir la vraie no- » tion , on doit d’abord remarquer que les quantités )) qu’on appelle négatives, et qu’on regarde faussement )) comme au-dessous de zéro , sont très-souvent repré- » sentées par des quantités réelles , comme dans la géo- )) métrie , où les lignes négatives ne di£R;rent des posi- M tives , que par leur situation à l’égard de quelque ligne

» ou point commun

» Les quantités négatives indiquent réellement, dans » le calcul , des quantités positives, mais qu’on a suppo- » sécs dans une fausse position. Le signe — que l’on » trouve avant une quantité , sert à redreser et à corri-

» ger une erreur que l’on a faite dans l’hypothèse

» Il n’y a donc point réellement et absolument , de » quantité négative isolée; — 3, pris abstraitement, ne M présente à l’esprit aucune idée : mais si je dis qu’un )) homme a donné à un autre — 5 écus ; cela veut dire en

» langage intelligible, qu’il lui a ôté 3 écus

» Il n’est pas possible, dans un ouvrage de la nature î) de celui-ci , de développer davantage cette idée ; mais î) elle est si simple , que je doute qu’on puisse lui en J) substituer une plus nette et plus exacte ; et je crois 5) pouvoir assurer que si on l’applique à tous les problèî) mes que l’on peut résoudre , et qui renferment des î) quantités négatives , on ne la trouvera jamais en dé- » faut ».

Il semble , d’après ces expressions , que d’Alembcrt regardoit les quantités négatives comme réelles et prises dans un sens contraire à celui des quantités positives ; notion qu’il combat lui-méme victorieusement ailleurs.