V) DISSERTATION

comme noua le verrons bientôt. Néanmoins ce peu do paroles laisse entrevoir une théorie juste, et l’on regrette qu’elle ne soit pas développée davantage dans cet article.

On ne peut douter qu’Euler, toujours clair autant que profond , qui mettoit en œuvre , avec tant de dextérité , les valeurs négatives et imaginaires, et qui même est celui qui , par la subtilité de son analyse , a mis fin à la discussion élevée sur la nature des logarithmes des quantités négatives ; on ne peut , dis-je , douter qu’Euler ne fût guidé par une métaphysique sûre. Cependant , dans son Introduction à Vudnalyse infinitésinuile , Uvre II , n°. , il dit que les quantités négatives sont

moindres que zéro. Mais il est à présumer que ne voulant pas , dans cet ouvrage , s’occuper spécialement de cet objet, il s’en est tenu à la notion qui se présente le plus naturellement , quoique dénuée d’exactitude. Au surplus , Newton lui - même avoit déjà adopté cette définition dans son arithmétique universelle, probablement par le même motif.

Les notions qu’on a données jusqu’ici des quantités négatives isolées , se réduisent à deux ; celle dont nous venons de parler, savoir que ce sont des quantités moindres que zéro , et celle qui consiste à dire , que les quantités négatives sont de même nature que les quantités positives, mais prises dans un sens contraire : d’Alembert détruit l’une et l’autre de ces notions. Il repousse d’abord la première par un argument qui me paroit sans réplique.

Soit, dit-il, cette proportion i : ^ — i :: — i ; i ; si la notion combattue étoit exacte , c’est-à-dire , si — - 1 étoit moindre que o, à plus forte raison seroit-il moindre

PRÉLIMINAIRE. vij

que 1 ; donc le second terme do cette proportion seroit moindre que le premier ; donc le quatrième devroit être moindre que le troisième ; c’est-à-dire , que i devroit être moindre que — i ; donc — i seroit tout ensemble moindre et plus grand que i ; oe qui est contradictoire.

Quant à la seconde des notions données ci-dessus , d’Alemberl l’attaque avec le même succès dans son mémoire sur les quantités négatives dont j’ai parlé ci-dessus ; et cependant , comme il n’a rien à mettre à la place, il semble adopter cette notion pour le fond, et vouloir montrer seulement qu’elle est sujette à diverses exceptions. // es/, dit-il, d’autant plus nécessaire de démontrer cette position (des quantités négatives en sens contraires des positives) qu’elle n’a pas toujours lieu. Mais d’Alembert ne tlonne pas le moyen de distinguer les cas où l’application de cette règle peut être exacte ; et d’après les raisons et les exemples qu’il donne, il est clair qu’elle est tout-à-fait vague ou plutôt absolument fausse. Voici un de ces exemples, aussi simple que frappant, et qui seul suffit pour renverser toute" cette doctrine. On en trouvera grand nombre d’autres dans le corps de cet ouvrage.

D’un point K pris hors d’un cercle donné , soit proposé de mener une droite ILmm', telle que la portion mm' , interceptée dans le cercle soit égale à une droite donnée.

Du point K , et par le centre du cercle , menons une droite KAB , qui rencontre la circonférendfe en A et B. Supposons KA = a , KB = ù, mm'^c, K»i = <r, on aura donc par les propriétés du cercle ab = X {c -k- x) <= ex XX ; donc xx-\-cx — aô=o, ou a *7C±y^ ^c’-t-oô.

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« a donc deux valeurs : la première, qui est positive, satisfait sans difficulté à la question : mais que signifie la seconde qui est négative ? Il paroît qu’elle ne peut répondre qu’au point /re', qui est le second de ceux ou Km coupe la circonférence : et en effet, si l’on cherche " directement Km', en prenant cette droite pour l’inconnue X, on aura x{x — c)=aô, ou x=-jo=i=v/ ^c'-^-ab , dont la valeur positive est précisément la même que celle qui s’étoit présentée dans le premier cas avec le signe négatif. Donc , quoique les deux racines de l’équation ar = — a b soient l’une positive et l’autre

négative, elles doivent être prises toutes les dfux dans le même sens par rapport au point fixe K. Ainsi la règle qui veut que ces racines soient prises en sens oi>posés porte à faux. Si au contraire le point fixe K étoit pris sur le diamètre même AB et non sur le prolongement, on trouveroit pour x deux valeurs positives , et cependant elles devroient . jfelre prises^ en sens contraire l’une de l’autre; ne cas.

Si l’on dit que ce n’est • ’

pas ainsi qu’il faut entendre ce principe , que les racines positives et négatirés doivent être prises en sens opposés , je demanderai comment il faut

l’entehdre ?*et"fen con^ ' ' > SI r

durai par-là même , qu’il faut une explication pour empêcher qu’il'ne soit pris dans l’acception la plus naturelle , il suit que ce principe est obscur et vague.

V A ces argumens de d’Alembert contre l’une et l’autre

des

PRÉLIMINAIRE

des notions données ci-dessus^ j’en ajouterai quelques autres qui me paroissent également devoir entraîner la conviction.

Je dis d’abord que la première de ces notions est absurde , et pour la détruire , il sufiit de remarquer , qu’étant en droit de négliger dans un calcul les quantités nullcs, par comparaison à celles qui ne le sont pas, k plus forte raison devroit-on être en droit de négliger celles qui se trouveroient moindres que o ; c’est-àdire , les quantités négatives ; ce qui est certainement faux : donc les quantités négatives ne sont pas moindres que o.

Une multitude de paradoxes , ou plutôt d’absurdités palpables , résultcroient de la même notion ; par exemple, — 3 seroit moindre que a , cependant ( — 3)’ seroil plus grand que a’ ; puisque ( — 3)’ est g , et que a* n’est que 4; c’est-à-dire, qu’entre ces deux quantités inégales a et — 3 , le carré de la plus grande seroit moindre que le carré de la plus petite ,' et réciproquement. Ce qui choque toutes les idées claires qu’on peut se former de la quantité.

Passons à la seconde notion, qui consiste à dire que les quantités négatives ne diflèrcnt des quantités positives qu’en ce qu’elles sont prises dans un sons opposé. Cette idée est ingénieuse, mais elle n’est pas plus juste que la précédente. En effet, si deux quantités, l’une positive, l’autre négative, étoient aussi réelles l’une que l’autre et ne différoient que par leurs positions , pourquoi la racine de l’une seroit-elle une quantité imaginaire tandis que celle de l’autre seroit effective ? Pourquoi \/ — a ne

seroit-elle pas aussi réelle que -t- a 7 Conçoit-on une