PROBLÈME X
1 6o. Etant donnés dans un triangle , deux quelconques des angles et le côté opposé à l’un d’eux , trouver i“. le troisième angle et les deux autres côtés ; a”, les perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés; 3®. les segmens et les angles qui résultent des intersections respectives de toutes ces lignes ; 4°. les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux , &ic.
Supposons que les deux angles donnés soient (fig. a8) ABC ,
ACB, et le côté connu AC; il s’agit donc de trouver toutes les quantités énumérées au tableau formé ci-dessus, eu valeurs des
trois seules quantités ABC, ACB, AC.
Mais puisque par le premier tableau toutes ces quantités sc
trouvent exprimées en valeurs des trois BAD, CAD, R, il ne s’agit plus que de substituer de nouvelles données aux premières. Supposons, pour abréger, les expressions des seconds nicni-
bres ABC = B, ACB = C , AC = ô ; B, C, 6 seront les trois nouveaux termes de comparaison auxquels toutes les autres quantités du système devront être rapportées, et en valeurs desquelles seules clics devront être exprimées.
Pour cela , je cherche parmi les formules du tableau précédent, les trois qui expriment les nouvelles données ABC,
ACB, AC en valeurs des trois premières m, n, R; ce sont les 6', g' et 1 4' formules. Je tire donc réciproquement de ces formules m,n, R, en v.aleurs des trois autres, et je les substitue dan.s toutes les formules du premier tableau. Il en résultera évidemment un nouveau tableau, où chacune des quantités du sj'slèmc sera exprimée comme on le demande en valeurs des seules quantités ABC, ACB, AC, ou B, C, b.
I a» GEOMETRIE
Or les 6% 9*, et i4' formules sont B = -» — m, C = •» — n, b = 4 R. cos. w, c’cst donc de ces trois équations qu’il faut tirer les valeurs de m, n, R, comme inconnues , pour les substituer dans toutes les formules du tableau.
La première de ces équations me donne m = •» — B, et par conséquent, sin.m = cos.B, et cos./n = sin.B.
La seconde me donne » = — C , et par conséquent
sin.7t = cos.C et cos.n = sin.C.
La troisième me donne, en y substituant pour cos. m la
valeur que nous venons de trouver , aR =
’ sjn.B
Il n’y a donc plus qu’à substituer au tableau ces valeurs de m , n , R , pour obtenir toutes les quantités qui y entrent exprimées , comme on vent les avoir en B , C , b.
De ces substitutions, résultera le tableau suivant, lequel par conséquent , satisfait à la question proposée.
Tableau par lequel connoissant dans un triangle ABC, deux
angles a6c , ACB , et le côté AC opposé à l’un d’eux , on peut trouver immédiatement 1®. les trois autres chçses à considérer dans le triangle / a®, les perpendiculaires abaisées de chacun des angles sur le côté opposé , tous les angles et segmens qui résultent de celte construction , &c. en supposant les trois
données AÊC = B , ACB = C, AC = b (fig a 8).
Valeurs des angles.
a* CAD,= •» — C
