R.COS

2 R. cos. (»7»+7»)

3R.sin. 77»

2R.sin. 7»

2R.c0s.rn cos. 71

i3' BC =

i4' ÂC =

i5' ÂB =

i6“ ÂD =

18' CD

19' ÂH =

i8a GEOMETRIE

ao* BH = aR.sIn. m cos.n

ai* T CH = aR.sin. n cos.m

aa* DH = aR.sin. m sin.n

a5* AF = aR.cos. m cos.(m+n)

a4* BF = aR.sin. m sin. (m+n)

a5* CF = aR. cos.m sin.(m-i-n)

a6* DF = aR.sin. m cos.(m4-n)

a7*...... AG = aR.cos. n cos. (m+n)

a8* BG = aR.cos. n sin. (m+n)

ag* CG = aR.sin. n sin. (m+n)

5o* DG = aR.sin. n cos. (m+n)

5i* FG = aR.sin. (m+n) cos.(m+n)

3a' FH = aR.sin.m cos.m

53* GH= aR. sin.n cos. n

35* P = aR [cos.m+cos. n+sin. (m+n)]

36* r = R [sin. m+ sin. n+ cos. (m+n) — i]

57* S = 3 R*. cos.m cos.n sin. (m+n)

La formation de ce tableau se tire évidemment de celui qui a été donné (laa). On peut aussi le former immédiatement avec

facilité ; car d’abord les angles se trouvent tous par simples additions ou soustractions, en vertu du principe de l'égalité des trois angIc.H de tout triangle n dcu.x droits. Ensuite on obtient tontes les lignes par le seul principe de la proportionnalité des côtés dans tout triangle, avec les sinus des angles opposés. Puisque l’on sait déjà que AB = aR. cos.n, AC = aR. cos.m, BC = aR.sin. (m+n) ; (lai).

La valeur de P se trouve en ajoutant les valeurs ci-dessus, des trois côtés AB, AC, BC.

DEPOSITION. i85

La valeur de r résulte évidemment de la proposition démontrée ( 1 37) , en mettant dans l’équation aR + ar = AD + BC + CD les valeurs que donnent pour ces trois droites les 16% 17', 18' formules du tableau , et tirant ensuite la valeur de r.

Enfin l’aire S se trouve par ce principe connu, que l’aire de tout triangle est égale au produit de deux quelconques de ses côtés, multiplié par la moitié du sinus de l’angle compris. Ce qui donnes = 7 AB. AC.sin.(/»+7j), où substituant pour AB , AC, leurs valeurs tirées des i5' et i4' formules, on obtient la 37'.

On peut trouver de suite, par le même principe, l’aire do chacun des autres triangles qui entrent dans la composition de

la figure examinée, comme ADB, ADF, BCO, &c.

Les seconds termes de ces formules se transforment au besoin , à l’aide de celles qui composent le tableau formé (i23), pour exprimer les rapports des quantités linéo-angulairésen général.

l4y. Ce tableau n’est relatif qu’à la (fig. a8) prise pour système primitif, et où le triangle proposé A BC a scs trois angles aigus. Il faut voir maintenant quelles modifications il doit éprouver, lorsqu’on vent le rendre applicable au cas où l’un des angles seroit obtus. On peut y parvenir de deux manières, ou en recommençant en entier le calcul sur la nouvelle figure ; ou en examinant quelles' sont dans le passage de l’iinc .i l’autre, les quantités qui deviennent inverses , et changeant dans les formules du tableau le signe de chacune d’elles.

Supposons d’abord que ce soit l’angle BAC (fig. 3i) qui devienne obtus, ce qui peut se faire en imaginant qu’il y a échange de positions entre A et D j alors parmi les trois quantités m, n, R, les seules qui entrent dans la composition des derniers membres , aucune n’aura passé ni par o , ni par so : donc chacun de ces derniers membres restera tel qu’il est sans changement de signe.

.Voyons maintenant ce que deviennent les premiers membres.

BAC devenant obtus par hypothèse, ou il résulte

j84 GEOMETRIE

des cinquième et Iiuilièiiie formules, que ABD, ACDdcvienncnt inverses, et que par conséquent leur signe de corrélation doit être — .

De plus, le cosinus d’un angle obtus est inverse (i Donc en vertu des i6', 23', 26', 27', 3o', 3i' formules , les droites AD,

AF, DF, AG, DG, FG deviennent aussi inverses , et doivent prendre le signe — ; donc si les rapports des 37 quantités qui composent les premiers termes de ces formules éloient exprimés par des équations quelconques, il n’y auroit, pour rendre

CCS équations applicables au cas où l’angle B.^VC seroit obtus, qu’à changer dans ce premier tableau , les signes des huit quantités : ABD , ACD , ÂD , AF , Ï5f, ÂG, DG , FG.

Ce résultat s’accorde avec celui qu’offre la seconde ligne horizontale du tableau de corrélation établi (g8) ; car on voit de meme, parce tableau, que les quantités qui deviennent inverses, et dont par conséquent le signe doit être changé, sont comme

ci-dessus , AD , AF, DF, AG, DG, ABD, ACD;il n’3^ aque FG qui ne s’y trouve point , parce qu’elle n’étoit p.as comprise dans le système dont il s’agit au tableau de corrélation.

Supposons maintenant que ce soit ABC (fig. 32) qui devienne obtus; ce qui peut se faire en imaginant que le point B sc meut sur BC jusqu’au-delà du point H ; il est clair que parmi les trois quantités wi, n, R, qui entrent dans la composition des seconds membres des formules , m seule deviendra inverse. Donc d’abord pour savoir ce que deviennent ces seconds membres, il suffit de mettre — m à la place de m. Voj'ons maintenant ce que deviennent les premiers.

Puisque m devient inverse , ou que sa valeur prend le signe négatif, on voit parles première et septième formules, que BAD

et BCD deviennent inverses.

De plus (1 16), sin./n devient aussi une quantité inverse; donc par les 17', ao', 22', a4% ab', 3a' formules, les quantités, BD,

BÏl,

BH, DH , BF, DF, FH doivent devenir inverses, et leur signe de corrélation — . Donc si les rapports cxistans entre les Z’j quantités qui composent les premiers termes de ces formules étoient exprimés par des équations quelconques, il n’y auroit, pour rendre ces équations applicables à la nouvelle hypothèse,

c’est-à-dire , au cas où l’angle ABC seroit obtus (Gg. 5^), qu’à y changer les signes des huit quantités suivantes BAD, BCD , BD ,

BH, DH, BF, DF, FH; ce qui s’accorde avec la troisième ligne horizontale du tableau de corrélation établi (g8).

Par la même raison , on voit que si les rapports qui existent entre les 57 quantités qui composent les premiers termes des formules du tableau étoient exprimées par des équations quelconques, il n’y auroit, pour rendre ces équations applicables

au cas où l’angle ACB devieudroit obtus (Gg. 35), qu’à y changer les signes des huit quantités CAD , CBD, CD , CH, DH, CG , DG, HG; ce qui s’accorde avec la quatrième ligne du tableau de corrélation établi (98).

1 48. Concluons de là i“. que les formules du tableau s’.ippUquent immédiatement au triangle ABC, lorsque les trois angles sont aigus (Gg. a8) ; a”, que pour le rendre tel qu’on l’auroil trouvé si le calcul avoit été établi sur l’hypothèse que l’angle BAC seroit obtus, il n’y a qu’à changer dans les premiers membres les signes des huit quantités ABD, ACD, AD, AF,

DF, AG, DG, sans rien changer aux seconds membres;

.3®. que pour rendre ce môme tableau tel qu’on l’auroit trouvé

en établissant immédiatement le calcul sur l’hypothèse que ABC seroit obtus, il faut, dans les seconds membres des formules, mettre — m à la place de m , et changer dans les premiers les

signes des huit quantités BAD , BCD, BD, BH, DH, BF, Dh , J'H; qu’enfin pour rendre ce tableau tel qu’on l’auroit trouvé

i86 GEOMETRIE

en établissant immédiatement le calcul sur l’hypothèse que

ACB seroit obtus, il faut dans les seconds membres des formules mettre — ti, à la place de n et changer dans les premiers les

signes des huit quantités CAD , CBD , CD , CH , DH , CG , DG , ÏÏG.

Tirons maintenant quelques conséquences particulières de ce tableau général.

1 4g. Si je compare FG avec AD, je trouve

-r=- = sin. (m+H) où FG : AD :: sin. (m+«) ; i ; A Tl

c’csl-à-dire , que dans un quadrilatère qui, comme AFDG, a deux angles droits opposés en diagonale, cette diagonale FG, est à l’autre diagonale AD, comme'le sinus de l’un quelconque des angles joints par cette dernière diagonale est au sinus total. On voit la même chose par les quadrilatères du même genre BFDII, CGDH, et par celui AFCH, par exemple, qui forme un quadrilatère composé de deux triangles opposés au sommet

AFD, CDU, et qui a deux angles droits AFC, AHC, car scs deux diagonales sont FH , AC; or par le tableau, on a

ÂC

sin. m ou FH : AC :: sin. m : i. Ainsi des autres.

l5o. Si l’on compare BD avec CD , on trouvera BD : CD :: sin.m : sin.n,

ou parce que m est complément de ABC, et n complément de

ACB, on aura

BD : CDj: cos. ABC : cos. ACB; c’csl-à-dire, que de même qu’il y a proportionnalité entre les côtés d’un triangle cl les sinus des angles opposés, il y a aussi proportionnalité entre les cosinus de ces mêmes angles, et les

distances de leurs sommels, au point où se croisent les trois perpendiculaires menées de ces sommets sur les côtés opposés.

l5l. Si d’une part on divise AF par AG , on aura cos. m . ' . . — — —

, et si d’une autre part on divise AC par AB , on aura pa-

cos VV

reillement ^ — : donc^s— r = ou AF : AG :: AC : AB.

cos. n AG AB

Donc les triangles AGF , ABC ont un angle commun compris entre côtés proportionnels ; donc ils sont semblables, quoique FG ne soit point parallèle à BC; mais elles sont ce qu’on nomme anti-parallèles , parce que les côtés analogues sont placés en sens opposés. On prouveroit de même , que les autres triangles BFH, CGH, sont aussi semblables chacun au triangle, proposé ABC, et par conséquent aussi semblables entre eux.

1S1. Si sur BC comme diamètre on décrit un cercle, la circonférence passera par les points F, G, à. cause des angles

droites BFC, BGC; donc BFGC sera un quadrilatère inscrit, et aura par conséquent les propriétés connues de cette figure. Il en sera de même de AGHB, AFHC,BFDII, &c., elles formules donneront les mêmes résultats.

153. Si d’une part je multiplie AU par DH , j’aurai sin./n sin.ncos.m cos.ra et si d’autre part je multiplie BH par CH, j’aurai le même résultat Donc AH. DH = BH.CH. On trouve de même BG . DG = iJÎÆ.CG , et CF.DF =ÂF.BF.

154. Si je carre les i3' et 16' formules, et qu’ensuite jeles ajoute, j’aurai 4R‘, qui est le carré du diamètre du cercle circonscrit : la même chose a lieu , si je carre la 1 4” et la 1 7% et q uc j’en fasse la somme, ou la i5* et la 18% c’est-à-dire, qu’entre les quatre points A, B, C, D, la somme des carrés de la droite qui t n joint deux quelconque , et de celle qui joint les deux autres ,

i88 GEOMETRIE

est toniouTS la même et égale au carré du diamètre du cercle

circonscrit.

1 55. Si j’ajoute ensemble les six carrés dont il s’agit dans l’article précédent; c’est-à-dire, AB, AC, BC , AD , BD,

CD; la somme sera laR*; c’est-à-dire, que la somme des carrés des distances des quatre points A, B, C, D, pris deux à deux , est égale à trois fois le carré du diamètre du cercle circonscrit.

156. Si d’une part on multiplie la 1 4' et la i5' formules, et d’une autre la ig' par aR, on aura le même produit; donc

AC. AB = AH.aR, ou AU : AB:; AC : aR; c’est-ii-dirC, que dans to'it triangle, la perpendiculaire abaissée de l’un quelconque des angles sur le côté opposé , est à l’un quelconque des côtés adjacens à cet angle, comme l’autre des côtés adjacens est au diamètre du cercle circonscrit : ce qui est bien connu.

l5y. Si l’on multiplie l’une par l’autre, les i5'et i8' formules d’une part, et d’une autre, la 33‘ par a R, les résultats

seront les mêmes. Donc AB. CD = GH. aR.

i58. Si l’on multiplie d’une part, les ao', aâ' et 29' formules , et de l’autre les 21', a4' et 37', on aura le même résultat.

Donc ÂÊ.BÏÏ.CG = ÂG.bP.CH.

l5^« Si l’on multiplie d’une part les i4'’, 26% et 28' formules, et de l’autre, les 17', 25', et 27', on aura le même résultat

Donc ÂC.BG.Î5f = ÂG.BÏ5.CF.

Enfin ces combinaisons, qui peuvent sc multipliera l'infini, donnent, comme on le voit, une multitude de propositions qu’il seroit pénible de rechercher isolément ; et comme le tabkau contient toutes les quantités du système, il en renferme implicitement toutes les propriétés ; de manière qu’on peut en tirer en particulier chacun des ropports dont on a besoin ; ainsi qu’on va

DE POSITION. i8n

le voir par les autres tableaux que nous tirerons de ce premier dans les problèmes sulvaiis.