II
. . ADC = 2 '»■ — B
la'. . . .
sin.BDC = ysin.B cos.B + ^‘”‘? V b' — b b
c*sin. B‘
Valeurs des lignes.
BC = ccos. B + \/6* — c*sin. B'’
AC = ô
i5®. . . . AB = ÂD = 17'.... BD = 18'.... CD =
19*. ... AH = 20'. . . . BFI =
21' CH
u5'.... CF =
a6' DF =
27'.... ÂG =
28'. . . . Bü =
ag'.... CG =
00' . • • • DG
3i' ÏG =
3a'.... FÏi = 35'.... GH =
c sin. B — cot. B \/6*— c* sin. B* b cot. B
— - v/ 6* — c* sin. B* sin. B
c sin. B
6' — c* sin. B*
cot. B \/i* — c‘ sin. B*
csIn.B* — cos. B \/6’ — c' sin. B*
c cos. B*+ cos. By/b'— c' sin. B*
c sin. B cos. B + sin. B y/ A* — c'sin. B*
c sin. B cos. B— cos. B cot.B y/ b' — c'sin. B*
sin. B* — 7 cos. B y/ b' — c* sin. B* b b '
.^sin.B cos.B + 7y/^>* — c'sin. B* b b
~ cos. B \ b' — c* sin. B‘+5 — — sin. B* b b
-sin.B \ b' — c'sin.B' — 6cot.B + — sin.Bcos.B b 0
(ccos. B+y/ 6*-c*sin.B*) ^^sin.B'- -cos.Bv/6*-c‘siii.B'^ b cos. B
^ y/ b' — c'sin. B* b
2 sin. B
i + c+c cos.B+y/i' — c'sin.B*
7 c sin. B — {p—^ b'— c* sin. B')
’ a sin. B
je* sin. B cos.B+jcsin.By/ 5*— c'sin. B*
JOO
GEOMETRIE Ce Inlilcan n’csl relatif qu’au triangle pris pour terme de comparaison, c’csl-à-clire , qui a scs trois angles aigus; mais il est évident que pour le rendre applicable aux divers systèmes corrélatifs, il n’y a qu’à reprendre les nièincs observations exactement, que celles qui ont été faites à la fin du problème précédent.
rROBLÊME XIII.
1 63. Etant donnés dans un irianfçle deux côtés et l’angle compris , trouver i”. le troisième côté et les deux autres angles ; a”, les perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés ; 5‘. les segmens et les angles qui résultent des intersections respectives de toutes ces lignes } les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux , &c.
Supposons que les deux côtés donnés soient AB, BC(fig. 28),
et par conséquent ABC l’angle donné. Il s’agit donc de trouver toutes les quantités énumérées au tableau fondamental (i46) en
valeurs des trois quantités AB , RC, ABC.
Soient pour abréger les expressions, AB = c, BC= a, ABC=B : nous aurons à exprimer toutes les quantités du S3'stème eu valeurs de c, o, B.
Pour cela, je cliercbe parmi les formules du tableau fondamental les trois qui expriment ces nouvelles données en valeurs des trois premières R; ce sont les i5', ii>', 6', lesquelles donnent,
a = aR.sin.(m + n) , e = s R. cos. n , B = « — m.
Cette dernière donne «»=-» — B, sin.77i = cos.B, cos.m = sin.B. En éliminant R entre les deux autrcs,j’ai acos.n = c siti.(m + 7i), ou a cos.n =c sin./n COS.7J + C sin.n cos.OT. Mettant dans cette équation les valeurs de sin. m , cos. ni, trouvées ci-dessus, on aura a cos. n = c cos. B cos. n c sin. n sin. B , ou cos. n{a — c cos. B ) = c sin. B \/ 1 — cos. n*, ou cos.n’ (a'+c* — 3 ac cos. B = c* sin. B’ ,
ou
csin.B
ou cos. n — ■ ■ ■ , et par conséquent ,
' o*+c* — aac cos.B
a — cos-. B
sin. n ~ .
^ a* + e’— aac cos.B
Substituant cette valeur de cos. n dans l’équation c = a R cos. n, nous aurons
R= — r—x^a‘+c‘ — aac cos.B.' a sin. il
Nous avons donc les valeurs qui doivent être substituées pour m, n, R, dans les formules du tableau, afin de les obtenir comme on les demande en a, c, B. De ces substitutions résultera le tableau suivant, lequel, par conséquent, satisfait à la question proposée.
Tableau par lequel connoissant dans un triangle ABC, deux
côtés AB, BC, et l'angle compris ABC, on peut trouver immédiatement, 1°. les trois choses àconsidérer dans le triangle; a“. les perpendiculaires abaissées de chacun des angles sur le côté opposé ; 3®. les angles et segmens qui résultent de cette
construction , &a en supposant les trois données AB = c, BC = a, ABC = B.
Valeurs des angle s.
.ere
