PROBLÈME XII

162. Etant donnés dans un triangle deux côtés , et l’angle opposé à l’un d'eux , trouver i“. le troisième côté et les deux autres angles ; a®, les perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés ; 5°. les segmens et les angles qui résultent des

intersections respectives de toutes ces lipptes , les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux, &c. Supposons que les deux côtés donnés soient AB, AC, (fig. 28),

et l’angle donné ABC, il s’agit donc de trouvée toutes les quantités énumérées au tableau fondamental (i46), en valeurs des

trois quantités AB, AC, ABC.

Soient pour abréger les expressions, AB=c, AC — A,

abc = B, nous aurons à exprimer toutes les quantités du système en valeurs de c, ô, B.

Pour cela, je cherche parmi les formules du tableau fondamental, les trois qui expriment ces nouvelles données en valeurs des trois premières m, n, R; ce sont les i-i', i5' et 6% lesquelles donnent b = aR.cos./n, e= aR.cos.n, B = w — m; c’est donc de ces équations qu’il faut tirer, m, n, R comme inconnues, poulies substituer ensuite dans toutes les formules du tableau.

Eu éliminant R entre les deux premières équations, j’ni b cQs.n = c cos.m; or la dernière me donne cos.w» = sin.B. Substituant dans la précédente, on a ô.cos.n = c.sin.B ou

coi.n = - sin.B; substituant pareillement cette même \alOur de b

cos.m dans l’équation b = 2 R. cos. m, on aura b = aR. sin.B ou

R= — -7:; donc pour déterminer m , n, R, nous avons les asm. B

équations suivantes :

-.'a — B, sin.m = cos. B, cos. /w = sin.B} cos./i = - sin.B,

sin. n :

•c* sin.B*, R =

s sin. B

Il n’y a donc qu’à substituer ces valeurs au tableau fondamental (i46), pour obtenir toutes les quantités qui y entrent, exprimées comme on le veut, en b, c, B. De ces substitutions , résultera le tableau suivant, lequel par conséquent satisfait à la question proposée.

Tableau par lequel connaissant dans un triangle ABC deux côtés AB, AC, et l’angle B opposé à l’un d’eux , on peut trouver immédiatement , i“. les trois autres choses à considérer dans le triangle ; 2“. les perpendiculaires abaissées de chacun des angles sur le côté opposé ; 5“. tes angles et segmens qui résultent de cette construction , &c., en supposant les trois

données AB = c, AC = b, A BC = B.

Valeurs des angles.

COS. CAD = ysin.B b

siii. BAC = ^sin.B cos.B + — ^ V b'— “b b

-c’sin. B*

COS. CBD r= -r sin. B b

cos. ABD = Y sin. B cos. B+^*^~ - V b' — b b

c* sin. B*