PROBLEME XIV

l64. Etant donné dans un triangle les trois côtés, trouver 1°. les trois angles ; a“. les perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés ; 3®. les segmens et les angles qui résultent des intersections respectives de toutes ces lignes , les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux , &c.

ao4 G E P M E T R I E

Je suppose, pour abréger, les expressions des seconds membres, BC=a, AC = b y AB = c; il s’agit donc de trouver toutes les autres quantités énumérées au tableau en valeurs de ces trois données (fig. a8).

Pour cela, je cherche parmi les formules de ce tableau, les trois qui expriment ces nouvelles données en valeurs des trois premières /n, n , R, ce sont les i3% i4' et i5*; et j’en tire réciproquement /n , n , R en valeurs des trois autres , pour les substituer dans toutes les formules du même tableau; il en résultera donc un nouveau tableau , où chacune des quantités du système sera exprimée comme on le demande , en valeurs des trois côtés a, b, c.

Or les i3% 14' et i5* formules du tableau fondamental sont: a— 3R.sin.(OT+n) , b= 2R.cos.7»,c= aR.cosn; il faut donc de ces trois équations tirer les valeurs de m , n , R , et les substituer dans les formules de ce tableau fondamental.

Pour cela, je développe d’abord sin. (/»+«) par les formules ordinaires de la théorie des quantités linéo-angulaires (ia5), et j’ai pour mes trois équations

a = aR.sin./n cos.n + ^R.sin.n cos.m ; b = 3R.c0s.ffi , c=aR.cos.n. (A)

Substituant dans la première de ces équations pour cos.fftsa valeur tirée de laseconde, et pour cos. « sa valeur tirée de la troisième , elle deviendra a — c sin.ffz-|-ô sin.n; de plus , l’élimination de R entre les deux dernières donne ô cos.» = c eos.ffi. Il faut donc de ces deux nouvelles équations tirer ffi et n.

Dans la première, je transpose ôsin.n, et j’élève au carré; il vient a’-hô’sin.»* — aaô sin.n = c* sin.i»’. J’élève pareillement la seconde an carré, et j’ai ô*cos.»* = c’cos.ffi*. Ajoutant cette équation a la précédente, il vient à cause de sin.ffi’-l-cos./n* = 1 ; et de sin. n’ + cos. n* = 1 ;

o’+ô* — aab sin.n = c*; d’où je tire sin.n = -,

' uao

et par la meme raison on a sin.ff»= •

DEPOSITION. 9o5

Voilà m,n, trouvés ; il faut maintenant trouver R. Or de la dernière, par exemple, des deux précédentes , je tire

cos. ;n = i^aa'b' + 2a'c' + 7b’c‘ — fa^ + à‘ + c').

lac

substituant donc dans la seconde des équations (A) et dégageant R, j’ai

t/aai + iac+aéc — (a* + 6* + c*)’

Ayant donc ainsi les trois valeurs de m,n,Rena,è,c,il ne reste plus qu’à les substituer au tableau fondamental, pour obtenir celui qu’on cherche ; mais pour simplifier quelques unes des formules , on y a laissé R au lieu de sa valeur trouvée ci-dessus. Ainsi, pour appliquer ces formules, il faudra remettre d’abord dans celle qu’on voudra employer , au lieu de R , sa valeur telle qu’elle est donnée par la 34'.

Nous aurons donc pour opérer nos substitutions ,

aR ’

cos. n =

sia.m= -, sm.n:

aab

siii. (m+n) = -, cos.(/» + n)

a bc

Cela posé , le tableau suivant renferme le résultat de ces substitutions et satisfait par conséquent à la question proposée.

2o6 GEOMETRIE

Tableau par lequel connaissant les trois côtés d'un triangle quelconque ABC (fîg. 28), on peut trouver immédiatement , I ®. les trois angles , a®, les perpendiculaires abaissées de ces angles sur les côtés opposés , ainsi que tous les angles et segmens qui résultent de cette construction, les droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires , le rayon du cercle circonscrit , les trois côtés étant donnés.

Valeurs des angles.

1'" sin. BaD

a' sin. CAD

3' 00s. BAC

4' sin.CBD

5* .sin. ABD

6' cos.AEîC

7' sin. BCD

8' sin. ACD

9® cos.ACB ;

10' cos.ÂDB

il® cos. ADC :

la* cos.BDC :

aac

a*+b' — c* "xab

2 bc

a'■^>rb'~(^

aab

&Hc‘— a®

3 bc

a®+c®— 6® •iac

3 ac

b'+c'—a' a bc

a-jf-b'—c'

aab

c' — a® — 3* 2 ab

oac

a®— b'—c' s bc

A^aleurs des lignes.

.. ÂC =

.. ÂB =

.. ÂD =

i*+c*— a* ^ bc

„ a'Jrc'—b'

.. ÂH =

âR