PROBLÈME XV

l65. Etant donnée dans un triangle , la perpendiculaire abaissée de l’un quelconque des angles sur la base opposée , et les deux segmens qu’elle forme sur cette base, trouver, i“. les trois côtés et les trois angles du triangle ; a“. les deux perpendiculaires abaissées des autres angles sur leurs bases opposées ; 3“. les segmens et les angles qui résultent des intersections respectives de toutes ces lignes / les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux ; le rayon du cercle circonscrit, &C.

Je nomme x et *' les deux segmens BH , CH (fig. 28) supposés donnés, et^ la perpendiculaire AH, aussi donnée. Il s’agit donc d’exprimer toutes les autres parties du système en valeurs de x, x',y } et comme par le tableau fondamental (i46) elles sont déjà exprimées en /« , n , R , il ne s’agit plus que de trouver celles-ci

eu

DE POSITION. ao.,

en valeurs de x , x',y ; puis de les substituer dans toutes les formules de ce tableau fondamental.

Je prends donc dans ce tableau , les 19®, ao® et ai' formuIes> qui me donnent x,x',y, en valeurs de m, n, R, afin d’en tirer réciproquement m, n, R, en valeurs de x, x\y. Ces trois formules me donnent aR.cos./n cos.n, x = aR.simm cos.n, *' = aR.sin.» cos.m. (A)

En éliminant R entre les deux premières , i’ai - = ” ;

y cos. m ’ * •

en éliminant R entre la première et la troisième , i’ai — =

y cos.n

r I — cos. m*

La première de ces équations me donne — =

cos. m =

cos. m*

ou

. : d’où je tire aussi sin. m =

Par la même raison, on a cos. n= — , et sin.n= —

Substituant ces valeurs de cos. m, cos. n, dans la première des équations (A), et tirant la valeur de R, on aura

Voilà donc les trois quantités m, n, R trouvées en valeurs de ^'}y> il ïi® s’agit plus que d’en faire la substitution dans les formules du tableau fondamental qui deviendra tel qu’il suit, et satisfera ainsi à la question proposée.

Tableau ^ar lequel connaissant dans un triangle ABC la perpendiculaire abaissée de T un A des angles sur le coté opposé , et les deux segmens formés sur ce côté par cette perpendiculaire, on peut trouver immédiatement , i°. les trois angles et les trois côtés du triangle ; 7°. les perpendiculaires menées des autres angles sur les côtés opposés , ainsi que les segmens et les angles résultans de cette construction , &c. les trois données étant Âïï == *, CH = (fig. a8).

VALEU!iS DES ANGLES

i"' tang. B AD

9* tang. CAI)

5' tang. BAC

4' tang. CBD

.5' tang. ABD

6® tang: ABC

7' tang. BCD

8' tang. ACD

9* tang. aCb

lo' tang. ADB

11' tang. AüC

>2' tang. BDC

y'—xx'

y'—xx'

■ zJftjO

XX — y"*