BA

= 2 R . sin. ï A

agS”.

= 2 R . cos. 7 ( A — C )

= 2 R. sin. 7 C

Cg.'

= a R. sin. 7 B

= aR.cos.7(A — B)

CA

= aR.sin. 7A

3oo”.

= a R . cos. 7 A

3oi“.

= a R. cos. 7 C

3oa".

= 3R.cos.7B

l'J2, Les quatre derniers problèmes ne forment, comme on le voit, tous ensemble, qu’un seul et même problème général, qui est celui-ci :

Dans un triangle ABC des 3oa choses énumérées aux quatre tableaux précédons , trois quelconques indépendantes l une de Vautre étant données, trouver les agg inconnues.

lî faut considérer ces quatre tableaux comme n’en formant qu’un seul ; chercher dans la première colonne de ce tabjcaii général , les trois quantités données , et des trois formules qui les expriment en A, B, C, R, tirer chacune de celles-ci comme inconnue, puis substituer ces valeurs de A, B, C, R, dans toutes les formules du tableau général. Il y a quatre inconnues à déterminer , et seulement trois équations ; mais il ne faut pas oublier, que c’est seulement pour simplifier que nous avons introduit dans les formules les trois angles A, B, C, et qu’on peut toujours faire disparoître celui qu’on veut par l’équation A+B+C = 3'5-.

On voit par-l.à quel prodigieux nombre de formes on peut donnera ce tableau, et chacune de ces formes répond à 399 questions.

Toutes les quantités énumérées dans ce tableau général étant rapportées aux mêmes termes de comparaison, c’est-à-dire, exprimées par les mêmes quantités , on peut facilement les comparer deux à deux , trois à trois , &c. , et en déduire un nombre infini de propriétés.

Il est à remarquer, que les mutations de signes qui doivent avoir lieu, lorsque le système auquel elles se rapportent vient à changer, se trouvent de suite, par la théorie, développées au chapitre précédent sur les quantités linéo-angulaires. Car on voit d’abord par cette théorie, qUe puisqu’aucune des quatre quantités A, B,C, R qui entrent dans la composition des seconds membres ne passe ni par o ni par x , il n’y a aucun changement à faire à ces seconds membres. Mais par la nature de ces angles , on voit quels sont parmi les premiers membres , ceux qui doivent prendre le signe — , pour que les formules du tableau général puissent devenir applicables aux diverses liypothèses qui peuvent avoir lieu , sans qu’il soit nécessaire de former pour ce cas un tableau particulier de corrélation ; ou plutôt , ce tableau de corrélation se trouve ainsi facilement, par la théorie, développée au chapitre précédent sur les quantités linéo-angulaires.

1 y 5. Les quaire figarcs (48 , 4g , 5o, .3i) q;ii ne rapportent aux quatre problcmeg précédcns, doivent pareillement n’èlre considérées que comme une seule et même figure, dont on a séparé les parties pour ne pas l’embrouiller trop.

En les imaginant toutes réunies en une seule (Bg. 5a), il y aura sur la circonférence douze points de division, savoir les trois sommets du triangle proposé j les trois points où clic est coupée par les perpendiculaires abaissées de ces sommets sur les côtés opposés; les trois points où cette môme circonférence est coupée par les diamètres menés des mêmes sommets ; enfin les trois points où elle est coupée par les transversales qui , menées de ces mêmes sommets, coupent les angles en deux parties égales. Ces douze points de division étant joints deux à deux par des cordes, chacune de ces cordes, et les angles que forment entre elles toutes celles qui se réunissent à chacun des douze points d’intersection dont nous venons de parler, seront connues par le tableau général ci-dessus.

Si l’on conçoit maintenant que toutes ces cordes soient indéfiniment prolongeés, il en résultera une grande quantité de nouvelles intersections de ces lignes entre elles , et par conséquent de nouveaux angles et de nouveaux segraens formés sur elles. Or on peut demander la valeur de chacun de ces nouveaux angles et segmens , et il est facile de les trouver tous au moyen du tableau général ci-dessus.

En effet , soit ABCDE (fig. 55) un polygone quelconque inscrit , dont les côtés , les diagonales et les angles formés à chacun des sommets  , B , C , D , E , par ces droites deux à deux soient connus : je dis qu’on aura facilement chacun des angles, comme

AHC, ApC, formés ailleurs qu’aux sommets, parle croisement de ces droites , et chacun des segmens comme EH, py , déterminés par ce croisement , soit au-dedans soit au-dchors du cercle.

Car , par hypothèse , on connoit les angles CED , ADE ; donc dans le triangle EpD , ou connoit les deux angles adjacens à la

base ED ; donc le troisième EpD, qui est l’angle cherché , sera

a34 GEOMETRIE

connu pnr la seule propriété des angles de tout triangle égaux n

deux droits. Le même raisonnement s’applique h l’angle EHD et à tous les autres.

Maintenant, pour avoir le segment 757, on observera que /\

dans le triangle E/»D on connoît la base ED, et tous les angles, comme on vient de le voir; donc on aura Ep. Alors dans le

triangle Epq on connoîtra la base Ep, qui vient d’être trouvée , et tous les angles, comme on l’a expliqué ci-dessus, donc on connoîtra 717. Par la simple proportionnalité des sinus avec Us côtés opposés, il ne s’agit donc, en général , que d’établir une chaîne de triangles entre les données et les inconnues.

] y4. Si par l’un A des sommets on mène un diamètre AK, l’angle formé par ce diamètre, et chacune des autres lignes du système sera connu. Car en menant BK, on voit que l’angle ABK est droit , et que par conséquent l’angle BAK est le complé-

ment de AKB ; mais AKB est connu , puisqu’il est égal a tout

autre angle comme AD B, ayant son sommet k la circonférence et appuyé sur la corde AB. Or cet angle ADB est par hypothèse

au nombre des quantités données. L’angle formé par AB et AK étant ainsi trouvé, on aura, comme on l’a expliqué ci-dessus, tous les angles formés par ce même diamètre AK , et chacune des autres lignes du système; ainsi que tous les segmens formés sur celte droite indéfiniment prolongée, ou déterminée par elle sur les autres lignes du système.

Enfin si par le même sommet A on mène une tangente At,

l’angle B A/ sera égal à l’angle ADB qui est au nombre des données. Donc on connoîtra aussi tous les angles formés par celte tangente, et chacune des autres droites du .système, ainsi que tous les segmens déterminés sur elle, ou par elle sur les autres droites; et toutes ces quantités se ti-ouveront, d’après le tableau ,

DE POSITION, savoir, tous les angles par ce seul principe que dans tout triangle, la somme des trois angles vaut deux droits , et ensuite toutes les quantités linéaires, par le seul principe <lc la proportionnalité des sinus avec les côtés opposés. On pourroit donc comprendre toutes CCS quantités tant angulaires que linéaires au tableau général. Mais pour éviter la confusion , on s’est borné aux 5oa quantités énumérées; les autres étant, comme on vient de voir, faciles à retrouver au besoin chacune en particulier.

1 y 5. Il est facile également de trouver l’aire de chacun des triangles formés par le croisement de ces droites dans tous les sens , puisque les angles et les côtés de chacun d’eux sont connus d’après ce qui vient d’étre dit : car pour avoir l’un quelconque d’entre cu.x , il n’y a qu’à multiplier deux quelconques de ses côtés par la moitié du sinus de l’angle compris.