CBD
9' BCD = m
10' BDC = a» — (tti+ti)
II' BDP = 771+7»
la' CDG = 77»+7»
i5' ADB = a» — (4+7»)
i4' ADC = 4 — 77»
i5' ABD =» i+7» — m
i6* ÂCD = a» — (4 + 7»-— m)
17'. ...... DBF = 3» — (4 + tj — 77»)
i8‘ DCG = 4+7»— 77»
GEOMETRIE aBE = a «■ — (i — m)
to' ADG *= *+n
21® FÊC ^ a»— (t— m)
M* GCB = X + »
25®... i.». BFD 4»
a4® CGD — a* — (t+an)
Valeurs des lignes.
a5* liC = a R.sin. (m + n )
26' AC = 2R.sin.(/t — m)
37® AB = 2 R.sin. ( I+n)
28* AD = aR.sin. (* + « — m)
39' BD = aR.sin. ff»
3o® CD = aR.sin.n
3i® AE = aR.sin. (I" + n) sin. (I — m) coaéc.h
3a®...... BË = 2 R.sin. (^+n)-sin. m.coséc.^
33' CE = aR.sin. (A — m ).sin. n.ooséc. i
34* DE = aR.sin./n.sin. n.coséc. ^
35® AF = aR.sin.(A — m)8În.(<:+7i — <7i)coséc.(I — a/n)
36® BF = a R.sin. /n.sin. (/n+n) coséc.{k — a/n)
37® CF = aR.sin.(I — /n).sin.(/n + »).coséc.(I — 2/71)
38* DF = a R.sin./n.sin. (i&+/> — m) coséc. (I — 2/n)
39® AG = aR.sin.(i+/ï) sin.(I + /j— /n)côséc.(A + an)
4o® BG = 9R.sm.(>I + /j).sin.(/n + //)coséc.(I + an)
4i* CG = 2R.sin./i.sin.(/n + n) co*éc. (I + 2n)
4a® DG = a R.sin./i.sin.(4+/i — m) coséc. (l' + an)
l”f). LiCS formules du tableau précédent ne sont relatives qu’il la ligure sur laquelle le raisonnement a été établi ; c’isl-àdirc, où les points, A, B, C, D, sont disposés dans, l’ordre ABDC. Maintenant, si l’on veut les rendre applicables au cas où elles seroient disposées dans l’ordre ABCD (lig. 58) . il n’y a qu’à imaginer que la première figure passe à cc nouvel état, par le mouvement du point C sur l’arc CDB, jusqu’à ce qu’il ait passé le point D ; alors il est clair que n devient inverse : et comme c’r st la seule des quatre termes de comparaison m, n, I,'R, qui passe par O, il suit qu’il n’y aura, pour rendre les formules propres à ce nouveau cas , qu’à y substituer — n à la place de n , et changer en même temps les signes des premiers membres que ce changement de signe de n rend inverses.
Par la même raison, si les points se trouvoient rangés sur la circonférence dans l’ordre ADCB, (fig. 5g) , il n’y auroit d’autre changement à faire, que de substituer dans les formules — màla place de m, et de changer les signes des premiers membres que cc changement de signe de m rend pareillement inverses.
Ces trois dispositions embrassent évidemment tous les cas possibles ; et par conséquent, il est facile d’appliquer le tableau ci-dessus, à tout quadrilatère inscrit de quelque forme qu’il soit.
Toutes les parties tant angulaires que linéaires qui entrent dans la composition du quadrilatère inscrit an cercle étant comprises au tableau précédent, il sera facile aussi d’y comprendre , si l’on veut, les aires des triangles qui le composent; puisque chacun d’eux est égal au produit de deux quelconques de ces côtes, multipliés par la moitié du sinus de l’angle compris.
l8o. Le tableau précédent donne donc la solution de ce problème général parmi les quantités , tant linéaires qu’angtilaires ou superficielles qui entrent dans la composition du quadrilatère inscrit au cercle , quatre quelconques indépendantes les unes des autres étant données, trouver tout le reste. Car il n’y aura qu’à chercher , par le tableau , l’expression de chacune des quatre nouvelles données, en valeurs des premières m, n,
24a GEOMETRIE
A, R; en tirer celles-ci comme inconnues, et substituer lenrs
valeurs dans toutes les formules du tableau.
Supposons , par exemple , qu’on donne les quatre côtés du quadrilatère , et qu’un demande tout le reste.
Nommons a, b, c, d, ces quatre côtés AB, AC, BD, CD respectivement : les 26', 27', aq' et 3o' formules donneront
ô=HR.sin.(A — m), a = aR.sin.(A+n), c=aR.sin.TO, d= aR.sin.n.
Il n’y a donc qu’à tirer de ces quatre équations les valeurs de m , n, k,R comme inconnues, et substituer ces valeurs d.'iiis toutes les formules du tableau. Je ne m’arrêterai point a ce calcul ; mon projet étant de revenir sur cette question particulière dans la section suivante.
181. Si l’on suppose, comme cela se rencontre souvent, que dans ce quadrilatère il y ait deux angles opposés droits, par
exemple ABD, ACD, nous aurons ÂBD = », ou k + n — m = » ou A = — n). Substituant cette valeur de iè au tableau pré-
cédent, il deviendra tel qu’il suit.
Tableau général des rapports qui existent entre toutes les parties tant angulaires que linéaires du quadrilatère inscrit au cercle , et ayant deux angles droits opposés en diagonale.
Valeurs des angles.
BAD = m '
CAD = n
AEC = — «)
ÂED = «• — (rn—^ n)
BAC = m-pn ABC = V — n
7* ACB = » — m
8* CBD = n
g* BCD = m
10* BDC = a»— (m+n)
11* BDF = m + n
12* CÊG = IB+»
i3* AJJB = •» — m
j4* ADC = « — n
i5* ABD = *
i6* ACD = •
17* BDF = •
18' DCG = »
19* AÛF = (am — n)
20* A13G* = k+fn
ai* FBC = » — (am — n)
aa*. • ■ • • • GCB = v-\-m
a3* BFD = » — (m+n)
34* CGD = *-• (m+n)
VAIjBUBS des dignes.
a5* BC = aR.8in.(m+«)
a6* AC = aR.cos.n
ar^« ÂB = 2 R.cos.m
