PR0BI.ÉM£ XXII

182. Z,es quatre côtés d’un trapèze ABDC (fig. 60) étant donnés , trouver 1°. les deux diagonales et leurs segmens ; 2®. les segmens formés sur les côtés opposés et non parallèles prolongés jusqu’à leur rencontre ,■ 3°. tous les angles formés par les intersections de ces droites deux à deux.

Soit H le point d’intcrscclion des deux diagonales, E celui des côtés oppo.sés et non parallèles ÂB,CD. Je mène par le point A la droite Am parallèle à ED, et par le point C, la droite Cn parallèle à EB ; et je suppose AB=a, CD = ô, A C = c, BD = d. Cela posé ,

Il est clair que j aurai Am = ô, — c ; donc à cause

de la proportion B/n : AB : ; BD : BE, j’aurai d’abord BE = ;

2iJ

DE POSITION, pareillement j’ai DE = — A® > “ rf^c

et DE — CD ou CE

: : voyons maintenant comment

nous trouverons les diagonales et leurs segmens.

Le triangle A BD me donne

Xd’ =Xb + BÏΗ aÂB .BD . cos. AB D ,

ouAD=a’ + d* — aaûfcos. ABD;

pareillement le triangle ABm donne Am ou ,

b‘ — a' -\-{d — c)’ — 20 {d — c) cos. A BD;

multipliant la première de ces équations par d — c, la seconde

par d, puis retranchant l’une de l’autre pour éliminer cos. ABD,

, . » b'd — o*c+crf(rf — c)

on aura en réduisant AD = :

d'd — b'c + cd (d — e)

Far un semblable calcul , on aura BC

Voilà les diagonales trouvées, il faut maintenant chercher leurs segmens. Or les triangles semblables BDH, ACH donnent

BH:CH ::BD: AC, ou BC : BH ::BD + AC:BD;

d a'd — b'c + cd {d — c)

doncBiI = g^~, ou BII

Pareillement on aura. . . . CH

d — b'c-hcd^d — e)

c b'd — a'c + cd[d — c)

d b'd — a'c-\-cd{d—c)

Toutes les quantités linéaires étant ainsi trouvées, on aura sans dilTiculté toutes les (juaiitités angulaires, puisque les trois côtés de tout triangle étant donnés, on a chacun des angles par ce principe général que dans tout triangle ABC, dont les angles

sont rcpré«entés par A, B, C, et les côtés respecÜTement opposés par a, ô J c, on a toujours

C03.A = -, ,COS.B = , C03.c = .

abc aac aab

Ce principe donnant toujours de suite, le cosinus de chacun des angles d’un triangle dont les côtés sont connus , je ne comprendrai dans le tableau suivant que les quantités linéaires de la figure proposée.

Tableau général des rapports qui existent entre les diverses parties d’un trapèze dont les quatre côtés AB, CD, AC, BD, sont respectivement représentés par a, b, c, d.

. . AB = a .. CD = 5 . . AC = c .. BD = d

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