c \ y a‘d — b'c+cd{d — c

c b'd — a'c^cd{d — c)

Ï)H— ^ ^ — a'c-¥cd{d — c)

Les formules de ce tableau ne se rapportent qu’à la figure sur laquelle le raisonnement a été établi; c’est-à-dire, au cas où BO est plus grande que AC. Four savoir maintenant les modifications qui devront avoir lieu lorsque AC devient plus grand que BD, il faut concevoir que le premier système prend insensiblement la forme du second. On peut faire cela , en imaginant que AC (fig. 6i) s’alonge par un mouvement progressif de A et C sur cette même droite AC en sens contraire l’un de l’autre, tandis que BD restera la même, ainsi que la distance de AC à B D. Il est d’abord clair que par ce mouvement aucune des

quatre quantités AB, CD, AC, BD, prises pour termes de comparaison , ne passera ni par o ni par oo : donc aucune d’elles ne deviendra inverse; donc d’abord il n’y aura aucun changement à faire dans les seconds termes. Il est pareillement clair

qu’aucune des quantités AD, BC, BU , CII, Ali, DH, ne passera ni par o ni par oo . Donc toutes ces quantités resteront directes et garderont le signe +.

Il n’y a donc que les quatre quantités AE, BE, CE, DE, qui ayant passé par oo , puissent devenir inverses ; et elles le deviennent en effet; car chacune d’elles, AE par exemple, a une

valeur qui devient inverse, puisque c devient plus grand

qnc d. Donc pour rendre les formules trouvées applica'^les an cas où AC seroit plus grande que BD, il n’y a d’autre chose à faire, que de changer le signe des quatre quantités AE , BE,CE, DE.

On peut aussi trouver les formules relatives à Ija figure 68 , en

4i8 GEO M E T R I E

clnbli.ssant sa corrélation directe arec la ûgure primitive qui

existe cvideninienl comme il suit :

syst.prim AB DCE H,

syst. transf. BÂCDE H,

Ainsi pour appliquer les formules trouvées ci-dessus à la figure 58, il n’y a qu’à y remettre d’abord pour a ,b , d,c les

quatre quantités A B, CD, AC, BD qu’elles représentent; ensuite par la corrélation précédente on substituera à chacun des points, le point qui lui correspond, c’est-à-dire, B à la place de A ; A à la place de B ; D pour C , et C pour D ; sans rien changer aux signes. Alors on aura les nouvelles formules , où l’on pourra

remettre pour AB, CD, AC, BD, les quantités a, b, c, d, qui les représentent dans les formules. C’est-à-dire, donc que pour obtenir ces nouvelles formules, il suffit de mettre dans les premiers membres B pour A ; A pour B , D pour C ; C pour D, et dans les derniers membres, a pour a; b pour b) d pour c; e pour d , sans rien changer aux signes.

La même méthode peut s’appliquer à tous les cas semblables.

l83. En comparant ces formules deux à deux, trois à trois, &c. , on peut en tirer diverses conséquences. Par exemple, si l’on fait le carré de la neuvième, celui de la dixième et qu’ensuite on fasse l’addilioi) et la soustraction , on aura

AD -^-^C^a'+b'+ibc, AD — BC = (Z.’— ainsi des autres.

La première de ces équations nous fait voir que dans tout trapeze , la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés non parallèles plus deux fois le produit des côtés parallèles. Ce qui est une généralisation de la propriété connue des parallélogramcs , sur les carrés de leurs diagonales et de leurs côtés.

La seconde nous donne celte proportion

AD’ — BC’ ; b' — o* :: d+c : d — c;

c’est-

DEPOSITION. sig

c’esl-à-dirc qne dans tout trapèze , la différence des carrés des deux diagonales , est à la différence des carrés des côtés non parallèles , comme la somme des côtés parallèles est à leur différence.

Ce même tableau <Ionne la solution de ce problème général. Parmi toutes les quantités tant linéaires qu’ angulaires , qui entrent dans la composition d’un trapèze , quatre quelconques étant données qui soient indépendantes les unes des autres , trouver le reste. Car il n’y aura qu’à chercher par le tableau l’expression de chacune des nouvelles données en valeurs des premières a, b, c, d, en tirer celles-ci comme inconnues, et substituer leurs valeurs dans toutes les formules du tableau.

FROBLÉMn XXIII.

1 84 . Parmi toutes les quantités tant linéaires qu’angulaires qui sont à considérer dans un quadrilatère simple avec ses deux diagonales y cinq quelconques indépendantes les unes des autres étant données , trouver tout le reste.

Soit ABDC (fig. Ga) le quadrilatère proposé, H le point d’intersection des deux diagonales. Il y a dans cette hgurc vingttrois choses à considérer j savoir dix quantités linéaires seulement , parce qu’on ne considère pas les prolongemens des côtés , et treize angles , en comptant pour un seul les quatre angles formés par les deux diagonales. Il s’agit donc d’exprimer ces vingt trois quantités en valeurs de cinq quelconques d’entreelles indépendantes les unes des autres. Prenons, par exemple, pour les cinq termes de comparaison les quatre segmens formés sur les diagonales, et l’angle qu’elles comprennent Supposons donc

ÂH = a, BH = Ô, CH = c, DH=«f, AHC = I; nous avons par conséquent à exprimer toutes les quantités du système en valeurs àc a, b , c ydyLliC tableau suivant satisfait à cette question.

aSo

Tableau général des rapports qui existent entre toutes les parties tant linéaires qu’ angulaires qui entrent dans la composition d’un quadrilatère simple avec ses deux diagonales.

»•". ... ÂÏÏ = O

a' BÏÏ = i

S‘ CH = c

6* AHC = k

6* ÂD = o+d

7*. ... BC =

8* AB = \/a* + 6* 4- aaô cos. A

9* AC = \/o*4-c* — aac cos.I

Bü = y b'-\-d' — 'xbd co\à»k

ÏI*

CD = \/c* + %cd cos. k

la'

sin. ABH = — rV cos. A:

sin.Ai • ,

sin. BAH = a‘4-b’+aab coa, k

aixLk

sin. DBH = — -^b’ + d" — abdcoa.k

bin.k

sin. BDH '= b'+d‘ — abd coa.i

sm. A

sin.DCH = — ryb'+d’+ abdcoa.k

Sin. A;

siii.CDH = -^—rWb'+d'+abdcoa.k sin.k

sin. CAH = — rV o* + c* — aaccoa.k

Sin. A:

lÿ

sin. ACH = y/ «*+ c* — a « c cos. k

siu.Ai

DE POSITION, 25i

cos. BAC cos. ABD cos. BDC cos. ACD

a' — bc+(a6 — oc)cos.)I (a* + 6* + 'xab cos.k){a‘+c‘ — aac cos.A) b' — ad-t- {ba — bd) cos. Jt \/ (o“+i*+3oi coa.k){b' + d' — abd cos. A) d‘ — bc + (dc — db) cos. h ^ (A' + d* — •2bdcoa.k)(c'+d'+2cdco&.k) c'—ad+ (cd — cd) cos. k c* — 2ac cos.A)(c’ + aciicos.A)

La démonstration des formules de ce tableau est facile. Les cinq premières ne sont que l’expression des données; les 6' et 7* sont évidentes ; les 8®, 9®, 10® et 11' se tirent immédiatement du

principe déjà cité (ib3), en observant que les angles AHB, CDD étant suppléraens de AHC , on doit avoir

cos. AHB = cos.CHD = — cos. AHC = — cos. k.

Les la®, i3®, i4®, i5®, i6®, 17', 18', 19', se démontrent par la proportionnalité des sinus des angles avec les côtés opposés. Par

e.xemple , le triangle AHB donne AB : AH :: sin. k : sin. ABH ou AH

sin. ABH = sin. A. Mettant dans celte équation les valeurs

de AH, AB, données par les 1®" et 8' formules , on a la la®, ainsi des autres.

Enfin les 20®, 21®, 32® et 23® se démontrent par le principe déjà cité (i65). Par exemple, le triangle ABC donne, en vertu de ce

. . y, AB -4* AC — * BC « , . ,

principe , cos. BAC = — . Substituant dans cette

a AB . AC

équation pour AB, AC, BC, leurs valeurs données par les 8®, g® et 7' formules , on aura la 20', ainsi des autres.

Les formules de ce tableau ne sont relatives qu’à la figure sur laquelle le raisonnement a été établi; c’est-à-dire, au cas où le quadrilatère ABDC a ses quatre angles saillans et renferme un

GEOMETRIE espace continu. Mais d’après le tableau de corrélation formé (102), entre cette figure primitive et les deux figures qui lui sont corrélatives , il ne faut , pour appliquer ces formules au cas où il y a un angle rentrant (fig. 63), que changer les signes des

trois quantités suivantes BF, CG, DH, et pour les rendre , applicables au cas où le quadrilatère forme deux triangles opposés par le sommet (fig. 64) , il n’y a qu’a y changer les signes des

cinq quantités CD, CG, Dll, CH , DG. On peut donc appliquer facilement les formules du tableau précédent à un quadrilatère de figure quelconque.

l85. Ce même tableau résout le problème général suivant. Des vingt-trois choses qui sont à considérer dans un quadrilatère avec ses deux diagonales , en y comprenant leurs quatre segmens , cinq quelconques indépendantes l’une de l’autre étant données , trouver les dix-huit inconnues. Car il n’y aura qu’à chercher par le tableau l’expression de chacune des nouvelles données en valeurs des premières a,b , c, d, k ; en tirer celles-ci comme inconnues, et substituer leurs valeurs dans toutes les formules du tableau.

J 86. La méthode de représenter l'ensemble des rapports qui existent entre toutes les parties d’une figure, par des formules analytiques, et d’y rapporter les figures corrélatives, me paroît suffisamment développée daus les exemples précédons; je ne doute pas qu’on ne puisse en tirer beaucoup d’avantage; que cette méthode étendue à un grand nombre de figures diverses ne fournisse le moyen le plus fécond pour en découvrir les propriétés, et les lier par leurs analogies, et qu’on ne puisse meme l’appliquer avec succè.i aux autres parties des mathématiques.