THÉORÈME XXIII

a6 1 . Dans tout polyèdre , la somme des carrés des faces qui le terminent est égale au double de la somme des produits de toutes ces faces multipliées deux à deitx et par le cosinus de Pan- • gle qu’elles comprennent.

Car si l’on nomme a,b,c. Sic. les faces de ce polyèdre, c’està-dire, les aires des polygones qui forment ces faces, lions aurons par le théorème xix (i54)

/\ et

a = A, cos. a i+e.cos.o c-l- &c. .

b a cos. a b + c cos. b c+ &c.

Sic., Sic. .

Multipliant la première de ces équations par a, Iq seconde par b, la troisième par c, &c. puis ajoutant ensemble toutes ces équations , on aura :

a’ -f Zi’ -h c* -b &c. = aab. cos. a b -t- sac. cos. a c+ &c.

Ce qu’il fulloit démontrer.

Si au lieu d’ajouter toutes les équations trouvées ci-dessus, on retranche l’une d’entre elles, la première, par exemple, de la somme de toutcs-lcs autres ; on en conclura que

262. Le carré de l’une quelconque des faces qui terminent un polyèdre est égal à la somme des carrés de toutes les autres faces , moins le double de la somme des produits de toutes ces autres faces , multipliées deux à deux , et par le cosinus de l’angle qu’elles comprennent.

Supposons , par exemple , que le polyèdre se réduise à un*.

DEPOSITION. 5i»

pyramide triangalaire, et que les trois faces qui partent du sommet soient perpendiculaires entre elles, les cosinus des angles que formeront ces trois faces entre elles seront tous zéro; donc le carré de la base de cette pyramide sera égal à la somme des carrés des trois autres faces; c’est-à-dire que

263. Dana toute pyramide triangulaire dont trois faces sont perpendiculaires entre elles, le carré de la quatrième face est égal à la somme des carrés des trois premières. Propriété connue.

, Imaginons dans l’espace trois autres plans parallèles aux trois faces qui partent du sommet de la pyramide proposée chacune à chacune; ces trois plans seront par conséquent aussi perpendiculaires entre eux, et les trois projections de la base sur ces nouveaux plans seront évidemment parfaitement égales respectivement aux trois autres faces de la pyramide chacune à celle de ces faces qui lui est parallèle. Donc puisque le carré de cette base est égal à la somme des carrés des trois autres, il sera aussi égal à la somme des carrés de ses trois projections.

De plus , il est évident que des surfaces égales tracées dans un même plan, ont des projections aussi égales en surface sur tout autre plan donné. Donc si l’on substitue à la place de la base de la pyramide en question, un polygone de forme quelconque qui lui soit égal en surface, les projections de ce polygone seront* respectivement égales au.x projections correspondantes du triangle, qui est la base de la pyramide. Donc ce triangle pouvant être de grandeur quelconque, on peut en. conclure es principe connu.

• 264. Le carré de V aire d’un polygone quelconque tracé sur un plan , est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois plans quelconques perpendiculaires entre eux.

Il est à remarquer que dans la pyramide triangulaire cidessus considérée, chacune des trois faces qui sont supposées perpendiculaires entre elles, est la projection même de la base sur le plan qui contient celte face , et que de plus, cette base

3ia GEOMETRIE

est à son tour la somme des Trois triangles que forment sur elle les projections des trois autres faces de la pyramide, c’est-àdire, que celle base est la somme des trois projections de projections de cetteraêmebase. Etcomme d’apiès ce qui vient d’étro dit, le même raisonnement est applicable à tout autre polygone , on peut en conclure qu’en général ,

260. La surface d’un polygone est égale à la somme des trois projections de projections formées , en projetant d’abord le \ polygone proposé sur trois plans quelconques perpendiculaires entre eux , et projetant ensuite de nouveau chacune de ces projections sur le plan du polygone proposé.

266# Soit donc S l’aire d’un polygone quelconque p, y, r, les trois angles que forme ce polygone avec trois plans quelconques perpendiculaires entre eux; les projections de S sur ces trois plans seront donc S cos.p, S cos. q, S cos. r,- ci les trois projections de projections seront S cos.p’, S cos.^*, S cos. r\ Doue la somme de ces trois projections de projections étant égale à l’aire même du polygone, on aura

S = S. cos.p* + S cos. ÿ* -j- S cos. r" } ou divbant par S , on aura

cos.p*-t-cos. y’ + cos. r* = 1 ;

c’csl-à-dirc, que la somme des carrés des cosinus des angles que fait une surface plane avec trois plans perpendiculaires entre eux , est toujours égale au carré du sinus total. Propriété connue.

Et comme on a (sin.p*-bcos.p*) = i, sin. y’ -f cos. y* = 1, sin. r'+cos.r* = 1 , on aura, en ajoutant ces trois équations et rclr.ancbant de leur somme l’équation trouvée ci-dessus,

sin.p‘-l-sin.y’-fsin.r* = 2. ^

Ces équations s’appliquent évidemment aux trois angles formés sur la base d’une pyramide triangulaire par ses trois autres faces, lorsque celles-ci sont pcrpcjidiculaires entre elles.

‘ifi’j , Au lieu du carré de l’aire d’un polygone, on peut prendre le produit des surfaces de deux autres polygones égaux

* cliacuM à ce premier. Si l’on suppose qu’ensuitc l’un de ces nou-

• veaux

DEPOSITION. 3i‘i

veaux polygones devienne double , triple , quadruple , &c. J’aulrc demeurant le même, le produit de ces deux polygones deviendra également double, triple, quadruple. De même, chacune des projections du polygone supposé variable deviendra aussi double, triple, quadruple, &c.; c’est-à-dire, qu’en général,

Le produit des aires de deux polygones tracés dans un même plan est égal à la somme des trois produits formés , en multipliant les projections des deux polygones faites sur chacun de trois plans quelconques perpendiculaires entre eux.

268. Si au lieu d’ajouter ensemble toutes les équations trouvées (a6 1), on en ajoute seulement un certain nombre d’une part, et d’une autre part toutes les autres ; qu’ensuite on retranche cette dernière somme de la première , on trouvera qu’en général ,

Dans tout polyèdre , la somme des carrés d’un nombre quelconque des faces qui le terminent , moins deux fois la somme des produits de toutes ces faces multipliées deux à deux , et par le cosinus de l’angle qu’elles comprennent , est égale à la somme des carrés de toutes les autres faces , moins deux fois le produit {le ces faces multipliées aussi deux à deux , et par le cosinus de l’angle qu’elles comprennent.

26g. Concevons que 'd’un point ou foyer quelconque pris dans l’espace , on fasse partir autant de droites qu’il y a de côtés dans un polygone plan ou gauche, et que ces droites soient égales et parallèles, chacune à chacun de ces côtés, et menées dans le même sens qu’eux; concevons de plus, par le même point, une autre droite ou transversale indéllaie menée sui^ vanl une direction quelconque, il suit de ce qui a été dit (aSô), que dans ce système de lignes, la somme de toutes cylles qui le composent, sauf la transversale, multipliées cha^fune par le cosinus de l’angle qu’elles forment avec cette dernière, est égale à zéro.

Soient (11g. 98) F, le foyer en question; FA, FB, FC, &c les droites ou rayons parallèles et égaux aux côtés du polygone

5i4 GEOMETRIE

proposé , chacun à chacun , et dans le même sens. Formons un nouveau polygone ABC DG II, en joignant les c.xlrémités de ces raj'ons. Enfin par le point ou foj'cr F qui réunit toutes les

autres extrémités, menons à volonté une droite LFK, et concevons un plan MFN qtn lui .soit perpendiculaire.

Suivant ce qui vient d’être dit, la somme des rayons du polygone ABCDGII, multipliés chacun par le cosinus de l’angle

qu’il forme avrcLK, est égale à zéro.

Or chacun de ces raj'ons multiplié par la valeur absolue cosinus de l’angle qu’il forme avecLK, est évidemment égal a la perpendiculaire abaissée de son autre extrémité sur le plan

MN. Mais il est facile de voir que la valeur de corrélation de ces cosinus étant positive pour les points A, B, C, qui se trou-, vent d’un quelconque des côtés du plan MN, sera négative pour les poirjts II, C, D qui se trouvent de l’autre côté. Donc les perpendiculaires qui répondent à cet autre côté sont inverses; ' donc la somme totale des perpendiculaires ahais.sées des extrémités des rayons ou des angles du polygone ABCDGII sur le jilan MN est égale h zéro, en prenant positivement celles qui tombent sur un des côtés du plan, et négativement celles qui tombent sur l’autre.

Concevons maintenant un antre phn quelconque liKc parallèle à MN, et mené hors du polygone; je .dis que la droite FK sera égale à la somme des perpendiculaires menées de tous les angles du polygone ABCDGHsur ce nouveau plan, divisée par leur nombre, on par le nombre des angles. En effet, chacune d’elles est cvidemmenl égale à FK , plus ou moins la perpendiculaire menée du même angle sur le plan MN, suivant que ce point est au-dessous ou au-dessus de ce dernier plan par rapport à l’autie ôKeî donc la somme de tontes les perpendiculaires menées sur liKc est égale à autant de fois FK qu’il y a d’angles ; plus une somme que nous venons tie prouver être égale à zéro. Donc FK est réellement, comme on vient de le diie, égale à cette

DE POSITION. 5i5

somme des perpendiculaires menées de tous les angles sur AKc,

divisée par le nombre de ces angles. FK est donc la distance moyenne de tous ces angles au plan hK.c : et comme nous avons

pris LK à volonté, il suit que la distance du foyer K à un plan quelconque , est la distance moyenne entre celles de tous les points du polygone au même plan. Appelons donc ce foyer centre des moyennes distances : chacune des droites qui, comme

LFK, passe par ce point, ligne ou axe des moyennes distances ; et chacun des plans qui comme MN passe par ce même point, plan des moyennes distances. Nous pourrons établir cette proposition.

THÉOnâME XXIV.

IJ O. Dans tout polygone plan ou gauche, il y a un.centre des moyennes distances dont la propriété est que sa distance à un plan quelconque , est effectivement moyenne entre celles de tous les angles de ce polygone au même plan , c’est-à-dire égale à la somme de toutes ces dernières divisées par leur nombre y en prenant négativement celles qui se trouvent du côté de ce plan oà la somme est la plus petite. ■'* '

D’où il suit que si ce plan passe par le centre même des moyennes distances, 1# somme des distances de ce plan aux angles qui se trouvent d’un même côté , est égale à la somme des distances de ce même plan aux angles qui se trouvent de l’autre.

IJ 1. Comme les distances d’un point à trois plans donnés suffisent pour déterminer la position de ce point dans l’espace , il est clair que dans chaque polygone, il ne peut y avoir qi\’un seul centre des moyennes distances.

1J1. Soit dans l’espace un système quelconque de points. On pourra toujours les concevoir réunis par une suite de lignes droites formant le périmètre d’un polygone, soit plan, soit gauche , dont ces points peuvent être par conséquent considérés comme les sommets des angles. Donc la proposition précédente

3i6 GEOMETRIE

ayant lieu pour toute espèce de polygone, soit plan , soit gauche, ' on peut l’appliquer à un système quelconque de points pris à volonté dans l’espace.

TIIÉOn^ME XXV.

2” 3. Si par le centre des moyennes distances des angles d’un polygone plan ou gauche on imagine une droite ou transversale indéfinie quelœnque , et que du même centre à chacun des angles du polygoHf^on mène aussi un rayon, la somme des produits de chacun de ces rayons par le cosinus de l’angle qu’il forme avec la dir^jfl^ de la transversale est égale à zéro.

Celte proposition est une suite évidente des articles 234 cl 269.

THÉOnÈME XXVI.

Dans tout polygone plan ou gauche, la somme des carrés des distances de tous les angles à un point quelconque pris dans l’espace , est égale à la somme des carrés de ces mêmes angles au centre des moyennes distances ; plus au carré de la distance du premier point pris dans l’espace « ce centre des moyennes distances , multiplié par le nombre des angles du polj gone. *•

Suit en effet ABCD (Cg. 99), nn polygone quelconque, F le centre des moyennes distances, K un^autre point quelconque pris dans l’cspiTcc , et soient menées de chacun des angles A, B, C, D, deux droites, l’une au point F, l’autre au point K. Cela posé dans le triangle AFK , nous aurons

Âk’= ÂF*+ FÏc’— aÂï'.ï^.cos. AFK w- Bk’== BfV 2BF.FK.c08.BFK