THÉORÈME XXII

Dans tout polygone plan ou gauche, la somme des carrés des ciUés est égale au double de la somme des produits de ces côtés multipliés deux à deux , et par le cosinus de l’angle qu’ils comprennent.

•Si

DEPOSITION. 5o9

258. Si dans la démonstration que nous venons de donner de celte prupusitiou , au lieu d’ajouter ensemble toutes les équations, on retranche lu première de ta somme de toutes les autres, on aura en transposant

a* = i* + c’-l-fZ’+ &c. — a(Z>c.cos.i c+bd.cos.b tZ+ &c.)

C’est-.à-dire , que dans tout pofjgone , le carré de quelconque des côtés est égal à la somme des carres de tourtes aktrcs ' moins deux fois la somme des produits de tous c^^d^ÀcÔiés , multipliés deux à deux , et par le cosinus de l’.qngle qu^ils comprennent. *

Par exemple, dans un triangle dont les angles sont A, B, C,

et les cotés rc>pcclivcincnt opposés, a, b, c ; b c devient A, a e

devient B , a b devient C; donc la formule devient û* = 6* + c* — aie. cos. A.

Si dans la démonstration du même théorème, au lieu d'ajouter ensemble toutes les équations , on en ajonte seulement un certain nombre à volonté d’une part , et de l’autre part toutes les autres; qu’ensuile on retranche celle dernière somme de la première, on en conclura qu’en général ,

Dans tout polygone plan ou gauche la somme des carrés d’un nombre quelconque de côtés , moins deux fois la somme des produits de ces côtés multipliés deux à deux et par le cosinus de ■ "f l’angle qu’ils comprennent, est égale à la somme des carrés de tous les autres côtés , moins deux fois la somme des produits de ces autres côtés , multipliés deux à deux et par le cosinus de l’angle qu’ils comprennent.

260. Si le polygone vient à changer de forme, les côtés restant néanmoins toujours les mêmes, de manière qu’il n’y ail de changement que dans les angles, la somme des carrés des côtés restera la même : donc la valeur que nous avons trouvée (aSy) être égale à celte somme de carrés, demeurera aussi la même. Donc en général ,

, Si un polygone plan ou gauche se transforme d’une manière

3io GEOMETRIE

quelcortijue en demeurant neanmoins toujours fermé, et en conservant toujours chacun de ces côtés de même grandeur, la " somme des produits de tous ces côtés, multipliés deux à deux et par le cosinus de l’angle compris, sera une quantité constante.

Cette théorie des polygones s’applique aux polyèdres , c’est-àdire , que nous avons aussi pour les polyèdres la proposition suivante.