AK+BK +CK

AF‘ + Bp‘+Cf‘+ &c. +n.FK;

ce qu’il falloit prouver. t

3“^ 5. Il suit de-là, que la somme des carrés des distances, de tous les angles d’un polygone quelconque, au cenfM^c leurs moyennes distances , est un minimum ,• c’est>^dir^^boindre que la somme des carrés des distances de ces' mêmes angles à tout autre point quelconque pris dans l’espace; car il clair

que le cas où AK+BK+CK &c. est la plus petite possible, est

celui où F K = o, puisque FK. étant un carré, ne peut jamais devenir négative.

2 y 6. Nous avons déjà remarqué qu’on peut appliquer à un système quelconque de points, ce qui a lieu pour les angles d’un polygone quelconque plan ou gauche. On peut donc regarder le théorème précédent comme exprimant une propriété d’un système quelconque de points. On peut parla même raison eu conclure la proposition suivante.

2 y y. Si ayant dans l’espace un système quelconque die points , on imagine une surface sphérique d’un diamètre quelconque dont le centre soit celui des moyennes distances de tous les points du système proposé , la somme des carrés des distances de ces mêmes points , « un autre point quelconque pris sur la surface de la sphère ^ sera égale à la somme des carrés des distances de ces mêmes points du système proposé , au centre de la sphère ou des moyennes distances , plus au carré du rayon de celte sphère , multiplié par le nombre de ces mêmes points pris dans l’espace. Ainsi celte somme sera la même pour tous les points de la surface sphérique.

Si tous ces points pris dans l’espace se trouvent dans un même plan, on pourra appliquera une circonférence tracée dans ce

ji8 GEOMETRIE

plan , et ayant poui' centre celui des moyennes distances de tous ces points , ce que nous venons de dire en général de la surface sphérique.

Supposons que ces points forment les sommets d’un polygone régulier quelconque, on en pourra conclure la proposition suivante. }'

tî j8. La somme des carrés des distances de tous les angles d’un polygone régulier , à l’un quelconque des points d’une circonférence , dont le centre est le même que celui du polygone , et le rayon à volonté , est égale à la somme faite du carré du *

rayon du polygone , et du carré du^rayon de la circonférence / à cette somme , dis-je, multipliée par le nombre des côtés du • polygonet *

Cette conséquence particulière du théorème précédent est remarquable, parce^u’on peut la regarder comme une extension de la proposition du carré de l’hypothénuse.

En efl'et, soit ÂKB (fig. loo) une circonférence dont je suppose le centre au point o, soient pris sur cette circonférence deux points A, B, diamétralement opposés, et qui par conséquent la divisent en deux parties égales, si de chacun des points

A, B, on mène les droites AK, BK, à un troisième point K, pris à volonté sur la circonférence, le triangle AKB sera rectangle; et nous aurons AK-f-BK égal le carré du diamètre, ou quatre fois le carré du rayon, et par conséquent une quantité * constante J c’est-à-dire, la meme, quel que soit le point K.

Soit divisée celte meme circonférence en trois parties égales aux points A, B, C (üg. loi), de manière que ABC soit un triangle équilatéral ; il suit de la proposition précédente, que si

l’on mène de ses angles les trois droites A K , BK , CK à un quatrième point K pris sur la circonférence, la somme des carrés de CCS trois droites sera six fois le carré du rayon ; et par consé- »

quent aussi une quantité constante; c’est-à-dire, toujours la même, quel que soit le point K.

DEPOSITION. 5i9

Soit maintenant divisée cette mémo circonférence en quatre parties égales, puis en cinq, puis en six; enfin en un nombre quelconque de parties égales (fig. loa , io3) par les points A, 11 ,

C, D, &c. ; de manière que ABCD, &c. soit un polygoné régulier. Il suit de la proposition que si l’on prend à volonté sur la circonférence un nouveau point K, la somme des carrés des droites menées de tous les angles de ce polygone à oe point K sera encore une quantité constante , et égale au carré du rayon • multiplié par deux fois le nombre des côtés du polygone.

Si l’cn décrit une autre circonférence MNK (fig. io3) concentrique à la première, d’un rayon plus grand ou plus petit que celui de cette première circonférence ; il suit de la inôme-proposition, que si l’on prend à volonté sur cette nouvelle circonférencè un point K, et que de tous les angles de ce polygone on mène à ce point des droites , la somme dra.carrés de ces droites sera encore une quantité constante ou la même pour tous les points de la circonférence où l’on voudra placer le point K : et cette quantité sera la somme faite des carrés des rayons des deux circonférences concentriques multipliée par le nombre des côté» du polygone. La meme chose a lieu pour les polygones inscrits qui seroient seulement symétriques.

Enfin on peut dire la incme chose des polyèdres régulier» ou symétriques rapportés à une surface sphérique dont le centre coïncide avec celui du polyèdre, et cela n’est encore évidemment qu’une nouvelle extension de la même proposition du carré de l’hypothéuuse.

De ce que nous venons de dire, on peut conlure encore, que si dans le plan d’un cercle on. prend à volonté un point fixe soit au-dedans soit au-dehors do l’aire; la somme des cafrés des distances de ce point aux deux extrémités d’un diamètre quelconque est toujours la même ; c’esUà-dire , deux fois le carré du rayon, plus deux fois le carré de la distance du point en question au centre du cercle. La même proposition a ^ lieu également, pour tout point pris, soit au-dedans, soit audchors d’une sphère. La sopimc des carres des distances de ce

3îo GEOMETRIE

point aux deux exlrémilés d’un diamètre quelconque est pareillement égale à deux fois le carré du rayon , plus deux fois le carré de la distance du point en question au centre de la .sphère.

Si l’on conçoit un cercle tracé , et qu’ayant pris à volonté un point dans l’espace, on inscrive un polygone régulier dans ce cercle, la somme des carrés des distances de ce point à tous les angles de-çc polygone, sera toujours la même, quelle que soit la I position de ce polygone dans le cercle, pourvu qu’il lui demeure toujours inscrit.

La même chose a lieu pour les polygones réguliers circonscrits, et en général pour les polygones qui ont un centre de £gure placé au centre du cercle.

11 en est de même des polyèdres réguliers ou ayant un centre de figure , inscrits ou circonscrits à la .sphère ; la somme des carrés des distances de tous les angles solides à un point quelconque de l’espace est toujours la même, quelle que soit la position du polyèdre au-dedans ou autour de la sphère, pourvu qu’il lui demeure toujours inscrit ou circonscrit.

279. Sif 'on conçoit que d’un point quelconque donné dans le plan d’une section conique, on mène quatre droites aux extrémités de deua( diamètres conjugués quelconques , la somme des r*rrés de ces quatre droites sera toujours la même quels que soient ces diamètres, et égale a deux fois le carré du demi grand axe, plus deux lois le carré du demi petit axe, plus quatre fois le carré de la distance du point en question au centre de la courbe j car ce centre de la courbe est aussi le centre des moyennes distances des quatre points qui forment les extrémités des diamètres conjugués : donc la somme des carrés des quatre distances de ces points au point proposé est égale à la moitié de la somme des carrés des deux diamètres conjugués, plus quatre fois la distance du point proposé au centre de la section conique. Mais on sait que la somme des carrés des diamètres conjugués ^ est toujours la même. Donc , &c.

On prouveroit de même que la somme des carrés des distances du pointdonnéauxqualre angles du parallélogramme circonscrit

à la section conique, est toujours la même , quel que soit ce parallélogramme, le point proposé restant fixe ; et que cette somme ■«, est égale à la somme des carrés des deu*x axes de la courbe , plus .

'■ quatre fois le carré de la distance du.poinl donné au centre de celle

courbe.

Tl est aisé , comme on voit, de multiplier les applications du principe.

280. En rapporlênt tous les points du système à l’un quelconque d’entre eux, on voit que la somme des carrés des distances de ce point à tous les autres , est égale à la somme des carrés des distances de tous ces autres points, au centre des moyennes distances du système général ; plus le carré delà distance du premier à co centre des moyennes distances, multiplié par le nombre des points du système général.

Si l’on dit la même chose successivement pour tous les points du système, cl qu’on ajoute toutes les équations qui en résui- * lent, on en conclura la proposition suivante :

: THioRâsiEXXVII.

Si l’on a dans l’espace un nombre quelconque de points , cl qu’on les joigne tous deux à deux par des droites , la somme des carrés de toutes ces droites sera égale à la somme des carrés des distances de tous les points du système proposé , au centre des moyennes distances , multipliée par le nombre de ces points.

28 1 . Par exemple , dans un triangle, il est facile de voir que le centre des moyennes distances, est le point où se croisent les trois droites menées de chacun des angles au point milieu du côté opposé. Et en vertu de la proposition précédente, la somme des carrés des distances de ce point aux trois angles du triangle , est le tiers de la somme des caiTés des trois côtés de ce même triangle.

282. Dans une pyramide triangulaire, on voit aisément que le centre des moyennes distances des quatre sommets , étant celui où se croisent les quatre droites ou transversales menées

' 5j9 GEOMETRIE

<lc chacnn de ces sommets au centre des moyennes distances des sommets de la base opposée , doit se trouver éloigné de ce sommet d’une quantité égale auxirois quarts de la transversale, qui part de ce même sommet. Donc en^vertu de la proposition précédente» la somme des carrés des distances de chacun des sommets de la pyramide triangulaire à ce centre de leurs pioyennes distances, est le quart de la somme des carrés des six arêtes de la pyramide.

285. Il est clair que quand un pol3'gone, un polj'èdre, ou un systêmequakonque de pointsa un centre de figure, ce centre est aussi celui des moyennes distances de tous ces points. Ainsi, par exemple, le centre des moyennes distances d’un parallélogramme, d’un parallélipipède , est le point où su croisent les diagonales.

284. On sait que dans tout parallélogramme, la somme des carrés des deux diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés. Cetté proposition .se déduit visiblement du théolème précédent , puisque chaque diagonale est coupée en deux ' parties égales par le centre des moj'ennes distances. Car par ce «théorème, la somme des carrés des quatre côtés, plus la somiue des jarres des deux diagonales, est égale à quatre fois la souinv» des carrés des quatre demi-diagonales, ou deux fois la somme des carrés des deux diagonales entières. Otant donede part et d'autre, la somme des càrrcs de ces diagonales entières, il reste l’égalité qu'il fiilloît démontx'cr.

285. Legcndi’c a fait voir dans ses Elémens de géométrie, que dans tout parallélipipède , la somme des carrés des quatre diagonales est égale à la somme des carrés des douze .arêtes.

Nous pouvons également nous servir du théorème précédent pour établir cette proposition. Car chaque diagonale étant coupée en deux parties égales par le centre des moyennes distances, il suit de ce théorème, que la somme des carrés des douxe arêtes, plus la somme des carrés des douxe diagonales dosfa^^s, plus la somme des carres des quatre diagonales qui traversent le solide, = 8 fois la somme des carrés des huit demi-diagonales qui travcricut le solide ou quatre fo^^ somme des carrés des quatre

DE r O S ï T I O N. j^5

diagonales cniicrcs. Mais (a84) la somme des carrés des dou7e diagonales deà faces est double de la somme des carrés des douze arrêtes. Donc 5 fois la somme des carrés des arêtes, plus la somme des carres des diagonales = 4 fois la so^g|pe des carrés de ces diagonales. Otant de part et d’autre la sommé. carrés des diagonales, et divisant par 3, il reste régalité qu’on avoit à démontrer.

286, On peut étendre ces proportions à tous les polygones et polyèdres qui ont un centre de iigurc, et dont le nombre des angles est pair. Soit, par exemple, ABCDEF (fig. io4) iniliexagone , dont le centre de figure soit K ; c’est- à- dire tel que les trois

diagonales AD, BE, CF soient toutes coupées au même point K en deux parties égales : je dis que la somme des carrés de ces trois diagonales est égale à deux fois la somme faite des carrés des six côtévs, et des carrés des six diagonales qui ne passent point par le centre K.

En effet , par le théorème précédent , la somme des carrés des six côtés , plus'la somme des carrés des neuf diagonales , est ég.ilc à six fois la somme des carrés des six demi-diagonales comprises entre le point K et chacun des angles.

Faisons donc la somnie des carrés des six côtés du poly^gone,*;,. plus la somme des carrés des six diagonales qui ne passent point

par le centre K , C

La sommé des carrés des trois diagonales qui passent par le

centre K,

La somme des carrés des six demi-diagonales sera par consc-

quent — . Donc jiar le théorème , nous aurons C-J-D = 6.-^,

ou C = aD. Ce qu’il falloit prouver.

Le même raisonnement appliqué à tout autre polygone ou polyèdre , ayant un centre de figure et un nombre pair de sommets exprimé par an, prouvera qu’en général, on aC = (n — i)D. C’est-à-dire que la somme des'earrés des côtés ou arêtes, plus la somme des carrés des diagonales qui ne passent pas par le centre.

Si* GEOMETRI;fi.

t!t iîgiire, est égale à la sominc des earrés des diagonales passant par le centre, prise un nombre de fuis marqué par la moitié du nombre des côtés, moins l'unité.

Ainsi, par exemple, dans tout octaèdre qui a un centre de ftl'nre , c’est à-dire , dont les trois diagonales se croisent en un même point et sont divisées par ce point chacune en deux parties égales^ la somme des carrés de ces trois diagonales est la ittoitié de la somme des carrés des douze arêtes de l’octaèdre.

28y. C’est encore une propriété connue , que dans tout parallélogramme rectangle, sa somme des carrés des distances d’un point -quelconque de la surface, à deux quelconques des angles opposés en diagonale, est égale à lasomme des carrés desdistances du même point,auÿ deux autres angles; soit quecepointsoit pris surl’alre même du parallélogramme, soit qu’il suit pris au dehors. Cela SC démontre facilement par la considération des centres de nio3 cnnes distances ; car le centre des moyennes distances des «leux angles de ce rectangle placés aux cxtréh.ités de chaque diagonale, est le point où se croisent ces deux diagonales. Donc la somme des carrés des distances du point propo.sé à ces angles, est égale à la moitié du carré de cetté diagonale, plus deux fois le carré de la distance de ce même point, au point où se croisent Jes diagonales. Donc puisque ces diagonales sont égales entre elles , la somme des carrés des distances du point en «[uestion , aux deux extrémités de l’une, est égale à la somme des carrés des^dislances de ce meme point aux deux extrémités de l’autre. Il est clair que la même démonstration s’appliqueroil au cas où le point proposé scroit pris hors du plan du polygone, c'est-à-dire un point quelconque pris dans l’espace. ^

Celte proposition s’étend aux parallélipipèdcsreeianglcs, et se démontre de même; c’est-à-dire, que si d’un point quelconque pris dans l’espace , soit au dedans soit bu-dcliors d’un parallélipipède rei tungle , on mène deux droites aux extrémités de l’une des diagonales qui traversent le solide , la somme des c'arrés de ces deux droites' sera la même pour chacune des quatre diagonales, lesquelles sont nécessairement toutes égales entre clics. Il

esl.aisé ilc voir que dans tous les cas , soit que le point soit pris aii'dcdans ou au dehors , la souimc des deux carrés dont pn vient de pni 1er est égal6 n la sornmc des carrés des six pcrpeiidiculaire.<i abui>sées de ce point sur les six faces du £uijüiélipipcde.

288. Nous avons vu ci-dessus (180) comment ayant les distances respectives d’un nombre quckonque de points, comparés deux là deux, on peut trouver la suiVime des carrés de leurs distances , au centre général de leurs moyennes distances; Proposons-nous maintenant de trouver en particulier la distance de chacun de ces points à ce môme centre gôum al,

Concevons doue .un système quelconque de points dans l’espace. Soit K (fig. io5);le centre général des moyennes distances, A l’un quelconque d’entre eux. Nie nombre total de ces points, P la somme des carrés des distances du point A à chacun de*s autres , Q la somme des cariés des distances de tous les points du

système comparés deux à deux : il s’agit donc de trouver AK ,