Dan» un qui^latère donné, inscrire un carré

Suit A BCD le quadéîlatcrc proposé (fig. ib5); carré

cherché qui doit être inscrit dans ce quadril alère. '

Le quadrilatère étant donné, j’en connois les an^cs , et je vois facilement qiw si en ^utre-'*)e connoÎMoIs un seul d’entre ceuxquisont déterminés paries positions respectives du quadrilatère et du carré, B/zm , par exemple , tous les autres se trouveroien.t de suite par de simples additions et soustractions. Les angles trouvés, il n’y auroit plus à chercher que I^.valenr absolue du côté du carré, oe qu’on obtiendroit visiblement par le principe de la proportionnai klé des côtés dans les triangles, avec les sinus des angles opposés. Je prends donc pour iaconnue;i^

le côté mn, et l’angle B/n 71, et je suppose . ~ ,

l’inconnue mn = ‘. y

linconnue B/n/> = -

DE .POSITI Q.N. 375

le» quatre angles du quadrilatère proposé A, B, C| D,

AD les côtés decemêineqiilhlrüatère m,nÿp, q

l’angle droit as: »

Cela posé, je cherche d’abord tous le» angles de la figure.

A cause de Patiglo droit jr/;m, j’ai évidemment = ensuite Kqm=^ — A+r; puisDÿp=A — x; puis D/iy = a'» — D — A + *.

PareilIemenfmnB=5»«— B — z, /»nC=B^4‘*—»»”i>C=i3»

Voilà tou» le» angle» trouvés en waleur» de a. Il est filcile maintenant de calculer les lignes de la figure.

Le triangle B mn donne

, — f.sin.x

. Bn : mn -.csm.Bmn : sin.mBn, ou B/i =‘ — : —

am.D

,, y.sin.(B + *)

et Bot

sin.B

De môme, le triangle' âotot diwne Am

y cos.(A~3)

sin.A ’

‘.J.. , ^ y co».(B+C+i)

et le triangle npC donne nC^ — sïrTC

Sufaaliluant ces valeurs de âot, Bm, lia, nC, dans les équation» suivantes qui sont évidentes ; savoir,

AB, oafl^=AOT-t-BOT, BC, on n — Bn + nC ; on aura

■ >-.cos.(A — x) , ^.sin.(B + x) ■

ain.A sin.lf

. \y.sîn.x y cos.(B + C+x) .

V Sin.B sin.L

Multipliant ce» deux équations en croix, pour iaire diapa-

roîlre^., nous aurons

' m sin. A sin. C sin. x — otuh. A sin. B cos..( C + x)

& n sin. B SOI. C co». (A— -*) + nain. AsIn.tJsin. (B+x).

376 G E Ô M E T R I Ji

Dëveioj^ant les quantités cos. (B+C + e), oos.(A-rx), sip. (B+z), pour sé^cr z des quautit«is A, B,C; on aura

/ TTj'sin. A sin. C + n» sin. A siii. B sin. [B+C] \

V— «sin.'Asln.Bsin. C— -nsin. Asin. C cos. B )

• , / n sin. A sin. B sin. C + n sin. B sin. C cos. A \

W/rasin.A3in.Bcos.i;B + Cj. )'

. , sin.x

, Divisant par cos.x, et observant qae =tane. z. on aura,

' * cos. Z • ♦

en dégageant l’inconnue lang. Z , ^

n<ln. Asin.Bsin.Cq-wsin.B^inCcos.A-l-wsin.Asi^.B co^B-KC)

^ /«sin.AsiH.C+miin..\sln.Bsin.(B+C)— /isin.Asin.Bsûi.C— n®i.Asip.Ccos.li'

Ce qu’il falloit trouver.

525. Celte équation du premier degr^Mindique qu\ine solution. Il est vrai qu’à tang. z répondent d^ix arcs différili^s; ..^nais comme la diQcrcnce de ecs do^x arcs est 39, la secunde solutiqn SC trouve identique avec la première.

C'cpcndanl le problème pris s<r g^néraTIté a frois'solu»

tionsj car le calcul a été établi dans l'Hypothèse que le point;ffl doit se trouver placé entre A et B; mais il pourroilse trouver f sur le prolongement soit aa-del.\ de A , soit au-delà de B j ce qui fait trois cas. On dira peut-être que ces trois cas font trois problèmes dilTérens, et non une seule ef même question : mais on pourrott dire la même chose de toutes les aulicjajieslions'qui ont plusieurs solutions^ car ces solutions ont loujSnrs quelques ’ parlicnlarilés qui les distinguent les unes des autres. Les trois cas'dont il s’agit ici s’expriment par de^équalions qui ne différent entre elles qiic paf les sigaes^uialTecteal les quantités qui y entrent, et peuvenï^rc rafijenées à une forme idenliqinc par de simples transformations n1ÿ|briqucs;'cufin, l’on pas^d’im système à l’auüSb par mutatioli insensible^ ce sont donc bien véritablement trois solutions diffétsnles d\ine même q^lstion ; et la ^cst«^ pourroit conduirtf^'à une équation du troisième degré, si l’on cRÔisissoit d’aultés îneonnnes. Mois par le olioi.x

qae nous avons adopte:, les trois racines se trouvent rationnelles, et c’est ce qui fait que l’cqualion est seulement du premier degré.

'•PROBIiAMEXIil.

3‘î4. Dans un triangle donné, inscrire un autre triangle donné.

Soit ABC (fig. 126) le triangle d.ans lequel doit étie luscril le triangle abc , de manière que les angles a , b , c , du second se

trouvent respectivement placés sur les cAtés BC, AC, AB du premier, ou sur leurs prolongemens.

Les deux triangles étant donnés , je connois tons leurs angles, cl je vois d’abord que si j’en connoissois de plus un seul de ceux qui naissent de la position respective de ces deux triangles , h-bc par exemple, tous les autres me seroient facilement ' connus par do simples additions ot soustractions, sans faire intervenir dans le calcul , les quantités linéo-angulairèS. Je prends donc pour inconnue cet angle Aéc que je nomme 2; je nomme de plus A, B, C les trois angles du triangle ABC, A', B', C', les côtés du même triangle respectivement opposés n tes angles; a, b, c, les angles du triangle abc, a', b', c', les côtés de ce même- triangle respectivement opposés à ces angles, et enfin » l’angle droit Cela poséy

La somme des trois angles du triangle Abc, étant 3ir, j’ai Aeôa^a-» — A — 2. •

La somme des trois angles formés autour du point b étant également a», j’ai Cba = 2» — b — x.

Pareillement, la somme des trois angles formés autour du