GH' = BC
Donc l’équation ci-dessus devient
HH'c=BC ( , ^ -T- 7 -^^4a*BC.
Donc HH'= 2flBC, et par conséquent le rayon DA= oBC. Donc i:a::BC:DA. ’
Puisque la circonférence HAA'H' est le lieu géométrique de tous les points dont les disti^ices aux points B, C sont dans la
raison donnée j il suit que l’on rcsoudroil de la même manière
la question , si au lieu d’unê ligne droite AIN , c’éloil une circonférence, ou toute autre courbe donnée , sur laquelle il fau-
droit trouver un point A dont les distances AB, AC, aux deux points donnés B, C, scroicnt en raison donnée ; les points ou la circonférence H AH' coupcroil la courbe proposée satis* feroient à la question.
S26, Si l’on proposoit cette autre -question : trois points B , H, C étant pris- à volonté sur une li^ne droite, trouver sur
une autre droite donnée MN un point A, tel qu'en menant de ce point aux trois points donnés B, H , C trois droites , les deux
angles BAH, CAH soient égaux. On la résoudroit de même,^
eu cherchant un point H' tel qu’on ait BH : CH::BH' : CH',
et décrivant sur HH' comme diamètre une circonférence, les points A, A' où cette circonférence couperoit la droite donnée
MN , satisferoient à cette question. Car nous avons vu (19g) que la circonférence HAH' est aussi le lieu géométrique de tous
/S As
les points qui sont tels, qu’on a toujours BAH = CAH.
11 en scBbitcvidcmineistide même, si au lieu dé la droite MN
DEPOSITION. 58i
on tlonnoit upe aul/e circonférence, ou une ligne courbe quelconque. jfc *
.0'22* Si m jpiroposoit celle aulre question ; quatre poinU, B, II, Âattt 'pris à volonté sur une dro.it^onnee (fig. i aBj,
trouver hq/ÿs dejîjftte droite un point A , lêl^u^en menant les
quatre droites AB, AH, Alî , AD, les trois angles BAH, H AC , Cad soient égaux. Il fuudroit , comme ci-dessus , clierchersurceltedroiteun poinlH' telqu’oneûlBH : CH::BH':CH'j
puis un second C', tel qu’on eût HC : DC”HC' : DC'. Ensuite
sur il II' et CC' comme diamètres, décrire dei\x circonférences. Le po)nt d’intersection A de ces deux oireonfércnccs seroit le point cherché; car (igq) la circonférence H AH' est le lieu géométrique de tous les points qui sont tels, qu’on a toujours
BAH = CAH ; et la circonférence CAC' est le lieu géométrique
de tous les points qui sont tels, qu’uj|[||||^ujours CAH = CAD. Donc au point d’intersection A de cesueux circonférences , on
a , BAH = CAH = CAD.. Ce qu’il fïi||pafb4rouver. Comme il y a nn second point d’intersection , le problème a évidemment une seconde solution.
FàQBLAKr jci*i yi-
328. Connaissant les trois angles d’un triangle, et les distances de leurs trois sommets à un point donné dans le même plan , trouver le^ trois côtés de ce triante.
Soit ABC ^139) le triangle proposé, et D le imint donné. On connoit donc les trois angles A B , C ', et leurs distances
AD , BD, CD au point D. Il s’agit de trouver ks côtés BC,
A(', AB, que je désigne par a,b,c , respectivement.
’ Les angles A , B , C étant donnes , les rapports des côtés sont déjà connus , puisque ces côtés sont entre eux comme les sinus dcccsangles donnés ;il nes’agildoncplusqucdetrouverlavnleur absolue de l’un quelconque d’entre eux, pour les avoir tous.
Je commence donc par construire une figure semblable à la proposée, en lra(,-ant d’abord un triangle^^èc semblable au ti'ÎHUgle cherché ABC; ce qui est facile, puisqfl^^ .trois angles sont donnés. Je cherche ensuite un point t/qui^iVplæé dans lanouvclle fignre, comme le point D l’e.st da^la pigjiiiére; et
je mené les droites ad, bd, cd.JLcs triangles ABÇ, abd, seront donc semblables ; donc les distances ad, bd, sont entre elles comme AD, BD ; mais ces deux dernières lignc.s sont
données; donc leur rapport est connu, donc ad, bd sont en raison donnée. Décrivant donc (3a5) la circonférence qui est le lieu géométrique de tous les points dont le.s dislauccs
aux points a, b sontdansla raison donnée de AD à BD, cette circonférence passera par le point d. ■
Pareillement, si l’on décrit la circonférence qui est le lieu géométrique de tous les points dont les distances aux points
a, c sont dans la raison donnée de AD à’CD, cette autre circonférence passera aussi par le point d, donc le point d seia l’intersection des deux circonférences tracées. Donc on aura la figure abcd semblable à la figare.cliercbce ABCD ; donc pour
avoir la valeur absolue de AB, par exemple , nous n’auronS
que cette proportion à faire AB: AD;:a6 : ad, .dans laquelle les trois derniers termes sont connus, On aura de même les deux autres côtés AC, BC par ces autres proportions
AC : AD::ac : ad; BC : AD::ôc : adl Ce qu’il falloit trouver.
On voit que le problème a deux solutions, puisque les circonférences tracées se coupent en deux points. Nous traiterons ce problème d'une manière différente (333).
Par la môme marche , on résoudrait cette autre questionj çonnoissant tous les angles que font (leux à deux les six arêtes • d’une pyramide triangulaire , et les distances de ses quatre som~ mets, P un point quelconque de l’espace, trouver toutes les dimerf'i s ':ot}s de cette pyramide.
.FROBLÊME XLIT.
Deux Circonférences AFBG, ACBD, étant données .(Rg. lia), et une corde F G étant tracée au -dedans de
l'une d’entre elles ; tracer dans Vautre une corde CD de grandeur donnée , et telle que les quatre extrémités F , G , C , D , de ces deux cordes se trouvent toutes placées sur une même circonférence.
Menez la corde A B , et par le point K où elle coope la coWe
FG menez dans le cercle ACBD une cofde CD de la grandeur donnée. Celte construction est une suite évidente de ce qui a été dit (3o6).
PROBEÉME XI. V.
>5.3o. Inscrire dans un cercle donné ùn triangle ebc (Rg.-^o) ^ dont les trois côtés passent respectivement par trois points .4‘, 1) , C , donnés dans le même plan.
Ce problème passe pour diflicile, et il a fixé l’attention de pinsfeurs grands géomètres. Castillon en donna le premier la solution dans les Mémoires de l'.\cad6mie de Berlin an 177^ Celte solution est synthétique et fortlngénieuse , niais compH~
• quée. Lagrange en donna aussi-lùt une autre très- belle entièrement analytique Insérée dan» le même volume. Sur l’invitation d’Euler, Lexell donna dans le quatrième ^tslunie des nou-^ veaux Mémoires dePétersbourg, la construction de la formule trouvée par Lagrange. 11 dit qu’il avoit essayé de 'l’appliquer an quadrilatère inscrit, et qu’il n’y avoit pas réussij mais cela lui fournil l’occasion de découvrir une propriété très-intéressante des quadrilatères inscrits. Ollajano, à l’âge de 16 an», trouva non-sculemont une solution synthétique extrêmenent élégante de ce problème, mais il lui donna toute la généralité possible, en l'appliquant aux polygones inscrits d’un nombre quekonqiic'dc .côtés: celte solution se trouve dans le quatrième volume des Mémoires de la Société italienne. Malfulli donna dans le même
