T84 GEOMETRIE

volume une autre solution synthétique du même problème ain»l généralise.

La solution suivante est mixte et tient principal ëmcnt de celle de Lagrange. Je crois seulement avoir simplifié la mise en équation, par l’usage d’une propriété très-familière des triangles j et j’ai fait voir comment on peut l’étendre aux polygones inscrits d’un nombre quelconque de côtés. La méthode étant la même pour tous ces polygones que pour le simple triangle, je me proposerai tout de suite la question dans toute sa généralité, compte il suit. ■

Inscrire dans un cercle donné un poîygonè.eihcAe (fig. i3i) , dont tous les côtés passent respectivement par autant de points A , B, C, D , E , donnés dans le même plan.

Soit K le centre du cercle proposé; de ce centre, soient menées

des droites KA, KB, KC, KD, K£ , à tous les points donnés

^ A, B, C, D, E. Et des rayons, Ka^ Kô, Kc, Kd, Ke, a tous les points cherchés a, b, c, d, e.

Nommons r le rayon dout^du cercle, a,b, d',e, les droites données AK, BK, Rat| a', b', c', cf, e', les angles ^ donnés AKB, BKC, citD'^BKE, E£ A. Prenons enfin pour

inconnues les angles AKa, Cl^c, DKd, EKe, et nom-

nions-les respectivement t, u,x,j, z. *

Cela posé, considérons successivement les triangles AKb, BKc, CKd, DK«, EKa, et appliquons à chacun d’eux cette propriété familière des triangles : la somme de deux côtés est à leur différence, comme la tangente de la demi-somme des angles qui leur sont opposés est tangente de leur demi-différence.

En vertu de cette proposition, le premier AKô de ces triangles donnera t-

ÂK + ÔK : Â^— ÏK : r tang i (À ÔK -b ÔAK) : lang. i (ÿ^K— ô AK). OrAôK-^ôAK = sup.AKô^ sup. (AK B 4- BKô) = siip. (a' -t- n); •e qui donne tang. j(AôK-l-MK) = cot. j(‘»'+«)=

et

DE POSt'flON.

cl déplus, A^K. — i>AK = fcoK — iAK = AKa.= <; ce (pii donne tang. ;( AiK. — 6AK.) = ; t; la propoi lion deviendra donc