ANGLES FORMÉS PAR LES RAYONS^ CORRESPONDANTS AVEC

LES RAYONS LL\HT£S. — il 9. Si dans l'équation (21), on remplace a, 6, c respectivement par i, j, a, on a

Sin(fx) Sin(«a) Sin(f|X^) Sip(i|éi|)

Sin(ai/) * SinCây) Sin(a:i;4) . * .Siû(«4/J' mais la somme de$ deux angles (ix),. (xj) est égale à (i/)y c'est-à-dire à un droit, donc le sinus de l'un est égal au cosi-

, ,, , > . ■ SinCiopy . . ,^ .

nus de 1 autre; et par suite le rapport ^. . ' peut s écrire

^ &\n{xf)

Tane to) ou -= — rr ; '^ même observation peut être

Tang (Xi) .

faite à l'égard des autf eâ rapports de l'équation ci-desstis, qui

par conséquent devient

(22) Tang(èr) : TaBg(i,aî,) =«= Tâng(fr») : TaDg(i,a,) ou »

(23) Tang(a;0. Tang{aî^;) «= Tang(aO. Tang'aJi) ou bien encore

(24) TangCx;-). Tang(x,t;) = TaQg(aj-). Tang(a,g

En d'autres termes

Dans deux faisceaux projecttf^ le rapport des tangentes des angles que forment deux rayons correspondants variables avec deux rayons limites correspondants a une valeur constante, ainsi que le produit des tangentes des angles formés par deux rayons projectifs variables x, Xy^ avec deux rayons limites non correspondants.

120. Réciproquement, lorsque dans deux faisceaux dont les rayons se correspondent deux à deux, le produit des tan- ' gentes des angles que forment deux rayons correspondants quelconques X, Xi avec deux rayons fixes i, ji a une valeur constante, les deux faisceauai sont projectifs.

La démonstration est la traduction de celle du théorème 89, avec cette seule différence qu'il faudra remplacer les segments par des tangentes.

On en conclut aussi comme pour les lignées qu'il y a symétrie par rapport aux rayons limites dans la correspondance des deux moitiés d'un faisceau (les angles droits compris entre les rayons limites) avec les deux moitiés d'un autre faisceau projectif. ^ ^

Rayons des angles nuls. — 121. Les angles que forment

deux rayons correspondants avec deux rayons limites non

correspondants sont généralement inégaux. Deux paires de

rayons font toutefois exception. En effet, l'angle dont le

carré de la tangente est égal au produit constant

Tang (ai). Tang (aiji)

donne, quand on le porte à partir des rayons limites * ety^ dans deux moitiés correspondantes, deux rayons g, g^ qui sont projectifs, puisque par construction

Tang(^0- Tang (g^O = Tang(aO. Tang(a4;-i).

En outre, ces rayons 9, g^ forment évidemment des angles égaux avec les rayons limites non correspondants. Si Ton porte ensuite l'angle obtenu à partir des rayons limites l'étui mais dans les deux autres moitiés correspondantes, on ob« tient une nouvelle paire de rayons A, h^ ayant les mêmes propriétés que g et g^. Ces quatre- rayons g, gi, h, A^ seront appelés rayons des angles nuls (pour la copstruction voyez le § suivant).

Angles projectifs égaux. — 122. Etant donnés deux faisceaux projectifs T, Ti et une paire de rayons correspondants a, ai trouver un rayon x tel que l'angle (ax) soit égal à sa projection (a^Xi).

On peut placer les deux faisceaux, de manière à ce que a

coïncide avec a^. Les deux rayons parrallèles à l'axe de perspectives sont les droites cherchées x, x^.

On peut aussi faire un angle (xj) égaJ à (a^ii) et (a;i«i)==(a/), en ayant soin toutefois que les angles se trouvent dans les angles droits correspondants. Les angles (ax), (a^x^) seront

94 SYSTÈMES PALMAIRES

égauK par constructioa; de plus, ils seront projectifs, puisque tg(^i)- tg(a;ig = tg(a;). tgCa^g.

Chaque rayon a est donc un côté d'un angle {aoÉ) qui est égal à sa projection. Si a est en % ou /, l'angle est (i;). Si a est en g ou h, l'angle est nul : d'où la qualification de rayons des angles ntUs.

Si l'on porte sur les deux autres moitiés correspondantes, un angle (bj) = (aj^) et(6it^) = (aj), les deux rayons b, b^ seront également correspondants, puisqu'on a

Tang(6j). Tang(6,î;) = TangC^iJ. Tang(aii;) •

de plus l'angle (ab) = (a^b^), mais ces deux angles ne sont pas projectifs, car si un rayon décrit l'angle (ab), le rayon correspondant décrit la partie extérieure à l'angle (ai6i). Les deux angles (ab), {aibi), dont les côtés sont projectifs et qui - renferment des rayons limites, seront appelés angles négativement projectifs.

En troisième lieu, on peut placer les deux faisceaux de telle manière que deux rayons quelconques correspondants c, c,i coïncident. Le cercle mené par les sommets T, Ti et par le point d'intersection de a avec l'axe s coupe cet axe en un second point par où passe x. Les rayons dj^, Xj^ se coupent naturellement avec a et ôp sur l'axe, et la figure montre que les angles {ax), {a^x,^ sont égaux.

En général, tout cercle qui passe par les deux sommets coupe l'axe de perspective en deux points, et les rayons menés par ces points forment des angles égaux. Un cas particulier est celui où le cercle est tangent à l'axe; les deux rayons se confondent en un seul, et par conséquent l'angle est nul : on obtient ainsi les rayons g, gfi. Le point de contact G peut s'obtenir aisément. En effet, si l'on appelle C l'intersectioa

COMPLF.TS 95

des rayoQS coïocidants c, c^ avec l'axe s, oq voit que CG est une moyenne proportionnelle entre CT et GT^; on portera donc de part et d'autre du point G une longueur égale à la tangente menée du point G à l'un des cercles passant par T et Ti, puis l'on mènera aux extrémités les rayons g, g^y h, h^.

De ce qui précède résulte le théorème suivant :

Lorsque dans deux faisceaux projeclifs on donne une paire de rayons correspondants a, ai, il est toujours possible de déterminer une seconde paire x, Xi telle que les angles (ax), {a^Xj) soient projeclifs et égaux. Il est encore possible de déterminer une troisième paire 6,61 telle que les angles {ab), {aiby) soient égaux, mais négativement projeclifs.

On démontrerait comme pour les lignées que les rayons a et X sont situés de part et d'autre des rayons g ou A, ainsi que les rayons a et b.

123. Dans deux faisceaux projectifs trouver deux rayons tels que l'angle compris entre eux, ainsi que sa projection soient égaux l'un et l'autre à un angle donné.

Plaçons les deux faisceaux de manière à ce que deux rayons des angles nuh g^g^ coïncident; l'axe de perspective s

étant parallèle aux rayons correspondants qui avec les rayons superpo >és g, g^ forment des angles égaux, doit être parallèle

àgf. Si Ton pouvait décrire un cercle qui passât par les deux sommets T, Ti et dont Tare ACX intercepité par Taxe fût capable de l'angle donné, les droites TA, TX, TiA, TiX seraient les rayons cherchés. Supposons le cercle tracé et menons au point X la tangente XE. Or, la longueur du segment (XE) est connue; de plus, le carré de (XE)est égal au rectangle formé avec (TE) et (TiE). La différence (TTi) de ces deux derniers étant donnée, nous pourrons facilement construire (TE). Une droite formant en E avec TTi un angle égal à l'angle donné détermine le point X et par conséquent le cercle.

Les rayons TA, TX, T|A, TiX forment une solution ; mais il y en a encore une seconde : pour l'obtenir, il suffît de prendre les rayons symétriques des précédents par rapport aux rayons limites.

Centre projectif. — 124. Soient deux faisceaux projectifs T, Ti situés dans un même plan, et soient a, a^ deux rayons correspondants. Le faisceau Ti forme par ses intersections avec la droite a une lignée dont les points sont aai, abt, aci, etc. De même le faisceau T détermine sur ai la lignée aia, aib, Or, deux biquotients analogues quelconques

de ces lignées ont la même valeur que les biquotients analogues des faisceaux et, par suite, sont égaux entre eux;, donc les deux. lignées en question sont projectives. De plus, deux éléments correspondants aai, aia coïncident; de là résulte que les deux lignées sont en perspective, et que les droites (afr^, a^b), (ac^ a^c)... iqenées par les pgints correspondants concourent en un même point S. Si Ton désigne par le rayon TT^. du faisceau T et par p^ le rayon T^T du du faisceau T|, il faudra que la droite (a^o, ao^) passe également par S, donc T4S est le rayon o^. De même, TS esl le rayon p. Donc S est l'intersection des deux rayons qui correspondent aux §lément3 .superposés.

En outre, on voit que si l'on prend les lignées formées par les faisceaux suc deux autres rayons correspondants quel-^ conques &, 61, ces deux lignées seront encore en situation de perspective, et pour la même raison que ci-dessus, le cen^e de perspective devra se trouver à l'intersection des rayons Oj, p. Ce sera donc toujours le même point S. Ainsi

Lorsque deux faisceaitx sQut projectifs et situés dans un même plan, la droite qui joint les intersections abu ctib de deux rayons quelconques a, b d'un faisceau avec les rayons correspondants pris inversement, passe toujours par un point fixe S, que nous appelons le centre projectif des deux faisceaux. Ce point est l'intersection des deux rayons ox, p qui correspondent aux éléments superposés.

Il en résulte que si Ton donne trois paires €(e rayons a, a^, 6, K c. Cl de deux faisceaux projectifs^ on pourra, facilement construire avec l^^ règle seule le rayon x qui correspond à un rayon quelconque donné x^. Deux des trois droites (aè^, oib), (bcx, bic), (ca^, c^a) déterminent par leur inter-

section le centre projectif S. Si maintenant on choisit deux rayons correspondants connus c, Ci, il faudra que la droite (cXi, CxX) passe par S; or, on connaît les points (^i et S; donc le troisième point CiX se trouve à la fois sur la droite qui joint les deux points cxx^ S et sur Cx, donc à leur intersection. C'est par ce dernier point que doit passer le rayon cherché x*

Du théorème précédent se déduit le corollaire : .

125. Etant donnés dans un même plan deux faisceaux de trois rayons chacun, a, 6, c, ai, 6i, Ci, les droites (abi, a^b), (6ci, 6iC), {ca^, Cia) concourent en une même point S,

Situation en perspective. — 126. Deux faisceaux projectifs T, T^ sont en situation de perspective, lorsque trois paires de rayons correspondants sont en perspective (se coupent sur une droite).

Lorsque les deux faisceaux se trouvent dans un même

plan et que deux rayons correspondants a, a^, coïncident, on

peut dire qu'alors les trois paires a, a^, 6, fe^, ç, c^ sont en

situation de perspective, donc les faisceaux sont également

perspectifs.

1^ Si les deux faisceaux sont perspectifs, les intersections des

rayons correspondants sont situées sur une droite s qui est l'axe de perspective des deux faisceaux; le centre de perspective peut être pris arbitrairement sur la droite TT|. Les faisceaux restent évidemment en perspective, lorsqu'on tourne l'un ou l'autre autour de l'axe.

127. Supposonsjes deux faisceaux situés dans un même plan et en perspective, et soient par exemple i, h, les rayons

correspondants qui coïncident. Au rayon ; qui est parallèle à Taxe $ doit correspondre un rayon ji également parallèle à ^, puisque, les deux faisceaux étant perspectifs, ;^ doit passer par le point d'intersection de j avec s. Ces deux rayons j, «i font donc avec les rayons coîcidents t, t^ des angles égaux; du reste, il est clair qu'en général toute autre paire b, bi forme respeotivement avec i, h des angles inégaux entre eux. Donc, lorsqu'on transportera l'un des sommets Si en un autre point S2, sans sortir du plan et en maintenant la coïncidence des deux rayons t, t\, les rayons j, ji restent parallèles; mais comme les faisceaux sont perspectifs, le point d'intersection jfjj doit se trouver sur le nouvel axe et, par conséquent, cet axe est encore parallèle à j. Ainsi

Lorsque deux faisceatix, situés 4an$ un même plan, sont projectifs, et que deux rayons correspondants coïncident, les deux faisceaux sont en situation de perspective, et l'axe est parallèle aux deux rayons correspondants qui sont eux-mêmes parallèles ou qui forment des angles égaux avec les deux rayons superposés.

EqUATIOiN entre deux faisceaux PROJECTIFS. — 128.

Soient deux faisceaux T, Ti déterminés par trois paires de rayons correspondants a, ai, 6, 61, c, c^, et soient deux origines k, Il choisies arbitrairement parmi les rayons de chacun des faisceaux. Si Ton représente par a, b, c, x les tangentes des angles (ka), (kb), {kc), (kx) et par ai, bi, Ci, xi celles des angles (/lai), (/i&i), (hci), Q^x^), il sera posible d'exprimer la relation projective des deux faisceaux au moyen de l'équation (v. 87) .

(85) mxxi + nx + pxi + q =

où m = a(bi — Ci) + b(Ci — ai) + c(ai — bi)

n = — aai(bi — Ci) — bbx(ci — ai) — cci(ai — bi) p = aaj(b— c) + bbi(c — a) + cci(a — b) q= — : aai(bci — bic) — bbi(cai — Cia) — cci(abi — aib)

La proposition réciproque est également vraie (v. 89). ; 129.. L'angle de deux rayons x^y du faisceau T satisfait toujours k l'équation suivante

d'où

^ — Tang(to) + Tang(&y)

iang(^) 1 + Tang(fcr). Tang(%) .

ou, en représentant par x, y les tangentes de {kx), (ky)

— x+y Tang(a:î/) = ^^^^

On aurait de même

mais l'équatîoa (25) donne

nx + q

Xi = —

mxHrp

ny + q

my + p

Deux des quantités x, y, Xi, yi, Taog(a?î/), T!A(\%{ot^y^) étant données, toutes les autres se déterminent au moyen des quatre dernières équations. En particuKer, si les. deux angle/b projectifs (xy), (x^^) sont égaux, et si 1 désigne leur tangente, on a

^^^) * (mp+nq)x2+(p2-fq2 m2— n2)x4-(mq— np— p^-q») A chaque quantité taise "à la place dé x' correspond génélement une seule valeur de '1; en d'autres termes, chaque rayon x du faisceau T est l'un des côtés d'un angle (xy) qui est égal k sa projection (afij/i). Pout obtenir Téquation qui concerne les angles égaux .mais négativement projectifs, il suffit de changer le signe de Tang(a?ij/j) ou ceux de n et q dans (26).

Les deux racines de Véqualion (mp+nq)xM-(p'+q* — m^ — n^)x+(mq — nq — p' — q*) = substituées ~à la place de x dans (26), rertdent 1 infini et détefûiinént, par bonséqiiêfit, les deux côtés de l'angle qui est égal a sa projection et dont la tangente est infinie; èes deux côtés senties rayons (imites t, ;. .

Si dans (26) Pon fait x égal à Tune des deux racines de l'équation . (nol^+n*— mq+np)x^4-2(Jnp+nq)x+(pH-q'— mq+npj —

la Yaleur de 1 est DuUe ; les deux racines donnent ainsi les rayons g, h.

130. De même que pour les lignées, l'équation (25) peut être réduite à un plus petit nombre de termes. Si l'on prend deux rayons correspondants pour origines, elle est alors satisfaite pour X = 0, Xi == 0, d'où l'on déduit queq = 0; dans ce cas, on a

mxxi + nx + pxi =

Si l'on adopte comme origines deux rayons limites correspondants i, «I ou j, ji, Téquation (25) sera satisfaite par x = 0, Ji, = 0, et par X = G^, x^ === ^ d'où résulte que m et q sont Duls; On a donc

nx + pxj =

Lx)rsque les origines sont deux rayons limites non correspondants i,j^, ou/, t|, Téquation (25) étant vérifiée par x = 0^ Xi = G^ et par x = o^, Xj = 0, se réduit aux deux termes

mxxj + q = Les réciproques des propositions de cet article se démontrent sans aucune difficulté.

Deux leoillées projectives en général.

Analogie avec deux faisceaux projÊctifs. — ,131. Supposons deux feuillées projectives i, ^i. Les deux faisceaux T,Ti» formés par les intersections de chaque feuillée avec un plan perpendiculaire à son arête, seront eux-mêmes projectifs, et, de plus, les angles compris entre deux rayons d^un faisceau nous donneront directement la grandeur de l'angle dièdre compris entre ceux des plans de la feuillée, qui passent par

ces rayons. Les éléments i, j, i, j^, g, g^, A, A^ etc. des deux faisceau T, Ti déterminent dans les feuillées des plans /, /, lu /i, G, Gu H, Hu etc. qui jouissent des mêmes propriétés. Axe projectif. — 132. Soient deux feuillées projectives t, ti dont tous les plans passent par un même point P. Si Ton coupe les deux feuillées par un plan ^ui ne contienne

pas le point P, on obtient deux faisceaux projectifs T, Ti. Les

droites (ofti, oib), menées par les intersections de deux

rayons ^e T avec les rayons correspondants pris inversement, passent toutes par un point fixe S, situé à la rencontre des deux rayons Oi, p qui correspondent aux éléments superposés 0, Pi (v. 134). En projetant toute la figure plane depuis le point P, on a le théorème :

Lorsque deux feuillées sont projectives et ont un point cornmuny le plan mené par les intersecttonï AB^, A^B de deux plans quelconques A, B, d'une feuillée avec les plans correspondants pris inversement, passe toujours par une droite fixe s, que nous appelons Vaxe projectif des deux feuillées ; cette droite est V intersection des deux plans qui correspondent aux, plans superposés.