Si l'on cherche quelle est la seconde paire de points

qui avec G, Gi (v. 104) terminent des segments projectifs égaux, on trouve les mêmes points G, G^; les segments, dans ce cas, sont nuls. Il en est de même pour la paire H, H^. Voilà pourquoi ces points ont été nommés points des segments nuls. En revanche, les deux points qui avec J, J^ forment des segments projectifs égaux se trouvent être les points infinis.

Les extrémités non correspondantes A^, X de deux segments projectifs égaux satisfont à la condition (XJ) == (IiA^) ; donc le produit (AJ)(XJ) est égal au produit constant(AJ)(Ail4) ou à (GJ)(GJ). Donc les deux extrémités A, X doivent être situées de part et d'autre du point G des segments nuls qui se trouve sur la même branche.

Une relation analogue existe entre les extrémités A, B d'un segment qui est égal à sa projection négative (AiB|). Si (AJ) est moindre que (GJ), en revanche (BJ) sera plus grand que (GJ).

107. Pour terminer ce sujet, nous, nous proposons de résoudre le problème :

Etant données deux lignées projectives t, f^, trouver deux points tels que le segment compris entre ces points, ainsi que sa projection soient égaux Vun et tavXre à une longueur L

Tracez un cercle qui soit trangent à l'un des points des

■' ■ » > 1 1 1 T —^i— i '■ Oi ' lOiiiii lia 11 11 o

78 SVSTÈUKS PRIHAIBES

segmeots nuls G, et dont le diamètre soit égal à /. Menez une droite par J et le centre, elle coupera la circonférence en deux poiûls X,, A,. Si vous prenez sur t d'un même côté de J les longueurs (JA) et (JX) égales à(JAj) et (JX,), les points A, X seront les points cherchés. En effet, (AJ)(XJ)=(GJ)(1(ÎJ) donc A, X sont tes extrémités d'un segment qui est égal à sa projection. De plus (AX) = (AjXj)= /. On peut aussi porter les longueurs (JA,), (JX^; sur l'autre branche, ce qui donne une seconde réponse.

Axe pbojectif. — 108. Soient i, (, deux lignées projectives situées dans un même plan. Joignons par des droites le point A, avec les points A, B, C, X puis le point A avec les correspondants A„ Bj, C|, Xj. Les faisceaux A,A, AjB, A^C, A,X et AAj, ABj, ACj, AX| composés chacun de quatre rayons

ont respectivement les mêmes biquotients que les lignées A, B, G, X et Aj, B,, C„ Xj, avec lesquelles ils sont en perspective; donc ils ont des biquotients égaux. De plus deux rayons correspondants A,A, AAj coïncident. Si donc on appelle s la droite menée par l'intersection de ABj avec A^B et par celle de AiC avec AGi, il faudra que A|X et AX| se coupent sur cette droite s (v. 67).

Soient et P, les points qui dans les deux lignées ï, fj sont

superposés. Puisque Â|0 et ÂOi se coupent sur s, il faut que AOi passe par l'intersection de AïO avec s; il en résulte que cette intersection est elle-même le point O4. Pour une raison analogue, l'intersection de $ avec AO détermine le point P. Ainsi 5 rencontre les deux lignées dans les points qui correspondent à leur intersection.

Cela posé, on voit que si l'on projette de deux autres points correspondants quelconques C, Ci les deux lignées t, t^, on obtiendra deux faisceaux en situation de perspective; et pour la même raison que . ci-dessus, Taxe de perspective devra passer par les points fixes 0^, P; c'est donc encore la même droite s. Ainsi lorsque deux lignées sont projectives et situées dans un plan, les intersections de deux droites comme A4B, ABi, ou C^X, CXi, etc., se trouvent sur une droite fixe s, que nous appelons ïaxe projectif des deux lignées*

Il en résulte que, si l'on donne trois paires de points A, A^, B, B4, C, Cl de deux lignées projectives, on peut facilement construire le point X de l'une correspondant à un point quelconque X| de l'autre. On détermine d'abord deux des intersections de ABi avec A4B, de AC^ avec A|C et de BC4 avec BiC. On mène par ces intersections la droite s ; ensuite on joint le point donné X4 avec un point quelconque C de l'autre lignée, pourvu qu'on en connaisse déjà le correspondant. La droite menée par l'intersection de XiC avec s et par le point correspondant Q doit nécessairement couper t au point cherché X.

On peut par le même procédé construire les deux points J, II, qui correspondent aux infinis. Or, d'après la propriété précédente, l'intersection des deux droites IjJ et IJi doit être

80 STSTÈMES PRIMAIRES

sur s; mais, puisque IJ^ a deux points I et J| à l'iDâni, elle est la droite infinie du plan; donc I^J ne saurait la rencontrer qu'à Tinfini ; l'intersectiDn des trois droites I^J, IJ^, s étant à l'infini, il s'en suit que s est parallèle à I^J. Donc :

Lorsque deux lignées sont projectives et situées dans un même plan, l'intersection des deux droites AB^ AiB, qui vont de devs points quelconques de la première lignée aux points correspondants, pris inversement, est toujours sur une droite fixe s, qui est parallèle à la droite I^J menée parles points limites et rencontre les deux lignées dans les points Oi,P correspondants à leur intersection (0 ou P^^.

109. Si l'on désigne par (ABj, A^B) le point commun aux deux droites AB| et A^B, on pourra, en employant cette notation, énoncer le corollaire suivant : '

Etant données dans un même plan deux lignées de trois points chacune A, B, C, A|, B^, Ci, les trois points (AB^, AiB), (BCi, BjC), (CA4, CiA) sont sur une droite s.

Projections de deux lignées sur un cercle. — 110. Soient dans un plan deux lignées projectives t, t^ et deux points T, T| sur la circonférence d'un cercle. De T projetez sur la circonférence la lignée A, B, C, X..., en a, b, c, x..., et de Ti les points A^, Bi, C|, Xj... en a^, bi, C4, Xj... Vu l'égalité des angles correspondants, le biquotient a(a|b|CiX4) est égal à Ti(a4biC|Xi)* et par conséquent à (AiBiC^Xi); de même a|(abcx)=(ABCX); et comme (ABCX)=(AiBiC4X4), il en résulte que 2L(2iihiCiX{) = ai(abcx). En outre , les rayons correspondants aaj, aia coïncident; donc les deux

* Nous représentons par Ti(aibiCiXi) le biquotient des quatre rayons T^ai, T^bj, T^c^, Tx^,

faisceaux formés autour des points a, a^ sont perspectifs et par suite les intersections (ab^, a^b), (ac^, aiC), (ax,, aix),....

sont situées sur, une même droite p.

On peut encore démontrer que les droites bc^, b^c menées de deux projections quelconques b, c, aux points homologues bi. Cl pris inversement, se rencontrent toujours sur cette ligne p. En effet, b(aib|Ciai) = c(aib|Ciai), puisque les angles correspondants sont égaux; si Ton coupe le premier ïaisceau par ab| et le second par acj, on obtient les

lignées

(abi, ba^) b, (abi, bc^) a

(aci, ca^) (aci, cb^) C| a

qui sont perspectives. Donc les droites p, biC, bc^ menées

par les éléments correspondants concourent en un point.

D'où le théorème :

Sî Von projette deux lignées projectives t, t^, sur la cir-

conférence d'un cercle à partir de deu^ points T, T^ situés sur

cette dernière, les droites bci, biC qui joignent deim pdints b, c

de la circonférence avec leurs homologues bj, Ci pris inversement se rencontrent toujours sur une même droite p.

Situation en perspective, — 111. Deux lignées projectives t, t^ sont en perspective, lorsque trois paires de points

correspondants sont déjà dans cette situation (v. 84). La dite condition est remplie, si deux points correspondants C, Ci coïncident; car op a trois paires de points A, A^, ,B, B^, C, Ci en perspective depuis le point de concours de AAi avec BBi. Le centre de perspective S est à l'intersection des droites JJi, IIi. Or (SIi) = (CJ), et (SJ) = (CIi). Si donc l'une des lignées t tourne autour du point commun C sans sortir du planai, les deux lignées seront encore en perspective, puisque deux points correspondants C, Ci coïncident; de plus (SIi) reste toujours égal à (CJ). Donc

Deux lignées t, ty sont en situation de perspective, lorsquelles sont projectives et quen outre deux points correspondants C,^ Cl. coïncident. Si Von tourne l'une d'elles t autour

du point commun C, les deux lignées restent en perspective, et le centre S décrit un cercle autour du point limite I^ de la lignée fixe. Le rayon de ce cercle est égal à la distance (C J) du point commun C à Vautre point limite J.

Equation entre deux lignées projectives. — 112. Soient deux lignées projectives t, ti déterminées par trois paires de points correspondants variables. Si l'on désigne par a, b, c, x

Bi Gi Lj II Xi Cl Hi Yi Al

les distances respectives des points A, B, C, X à une origine fixe K prise sur t et par ai, bi, Ci, Xi celles de Ai, B^, Cl, Xi à un^autre origine Li située sur ^i, les deux lignées seront liées entre elles par l'équation (v. 87)

(1 3) mxxi + nx + pxi + q =

On en déduit, la valeur de xi au meyea de celle de x

/j£N nx+q

• (14) xi = — — ^

mx+p et vice-versâ.

. 113. Le segment formé par deux points X, Y de la première lignée t est toujours

(XY) = (XR)+(KX) = (KX)+(KY) = — x+y

Soit 1 la longueur du segment (XY), d'où

STSTÉMES PRIJfAIRES

De même le segment projectif sera

(XiYO = (XiLi)+(LiYO = -(LiXi)+(L,Y,) x^+y,

ou, en remplaçant xi, ji par leurs valeurs données par les équations (14) et (15),

^ nx+q n(x+l)+q mx+p ^ m(x+l)+p Or on peut déterminer x de telle manière que cette expression ait une valeur donnée. Un cas particulier est celui où

^ (xIYi) = ztl On pose alors

nx+q n(x+l)+q mx+p m(x+l)+p

Si le second membre a le signe +, les deux segments (XY), (XiY|) sont projectifs et égaux. Dans ce cas l'équation peut s'écrire

(16) \= ('nx+p)^+(np— qm)

— m(mx+p) Si, au contraire, on fait (X|Yi) = — 1, les deux segments sont égaux, mais négativement projectifs, et l'équation devient

(17) i (mx+p)^— (np— qm)

— m(mx+p) La valeur de 1 donnée par l'équation (16) est infinie, si le dénominateur du second membre s'annule, c'est-àdire si X == — -ii-. Le point en question n'est pas autre

chose que le point limite J (v. 106), de sorte qu'on a pour (KJ) ou j la relation

(18) j ^-JL

Vu la symétrie, on aurait de môme pour (LJi) ou i^ (49) i, = 1.

En revanche, le segment l donné par l'équation (16) est nul, quand le numérateur du second membre est égal

à zéro, c'est-à-dire quand x = — — L- ± — Tdq— am .

Ce sont donc les valeurs ^ui donnent les points des segments nuls G, H. Ainsi l'on a

(KG) = g = ^ + J^ V^S=^i^ . P 4

(KH) =h = ^ Vpn-pm

(20) et de même

(LiG,) == gi = ^ Vpa— qm

(L4H1) = hi = : Vpn— qm

La distance (GJ) est égale à (GK)+(KJ) ou à — (KG)-f (KJ)

et par suite à Vpn— qm . Donc la caractéristique

(XJ)(XJi) ou (GJ)' des deux lignées t, h a pour valeur pn — qm m»

114« L'équation (13) contient quatre termes sous sa forme générale; mais elle peut être ramenée à un plus petit nombre de termes par un choix convenable des origines K, Lx ou suivant la nature des lignées.

lo Lorsque les origines sont deux points correspondants, l'équation (13) doit être' satisfaite, quand on fait dans le pre-

mier membre x = 0, et Xi == 0; il faut alors que le terme connu q soit nul. L'équation se réduit dans ce cas à

mxxi + nx + pXj = 2o Si Tune des origines est au point limite J l'équation sera satisfaite quand on y remplace x par et x^ par ^^^

c'est-à-dire —r* par 0. Si donc on divise préalablement (i3)

par Xi et si Ton fait x = 0, — =» 0, on voit que p =*= 0;

l'équation est donc alors

mxXj + nx + ef =

3o Pour une raison analogue, le coefficient n est nul, quand

l'une des origines est au point îj, de sorte que l'équation est

dans ce cas

mxXj + px^ + q =

4o Si les points infinie se* correspondent,, l'équation (13),

préalablement divisée par xXj, doit être satisfaite quand on y

remplace — — , par zéro, d'où résulte que m est alors

nul; pour les lignées semblables 1 équation est donc

nx + px^ + q = Q .

Tels sont les cas où la relation qui existe entre les longueurs X,' Xi est exprimée par une équation à trois termes. 50 L'équation ne contiendra que les deux termes

mxxi + q = quand on prendra pour origines les deux points linaites J, lu puisqu'alors les coefficients n et p s'annulent

60 Enfin pour les lignées semblables, l'équâtioil S0 réduit pareillement aux deux termes

nx + pXj =« quand on prend pour origines deux points correspondants»

145. Noos avons déjà démontré que s'il existe, entre les segments x, Xi formés par deux points correspondants quelconques de deux lignées t, t^ et deux origines prises sur ces lignées, une relation exprimée par une équation de la forme

mxxi + nx + pxi + q =

les deux lignées doivent être projectives (v. 89).

Quand le coefficient m est airi, les lignées sont semblables, car TéquatiOT, divisée préalablement par xx^, est

satisfaite pour =0, '=0: en d'autres termes les

X ' Xj '

les points infinis se correspondent.

Lorsque n est nul, l'équation, après avoir été divisée

par X, est vérifiée par les valeurs x^ = 0, == 0, donc

l'origine sur î^- est le point limite I^.

Si p est nul, l'équation divisée par x^ est satisfaite par

les valeurs x == 0, = 0; donc l'origine sur t est le

point limite J.

Enfin, si q est nui, le premier membre de Téquation s'anûoley quand on fait x =«= 0, Xi =«' 0, donc les deux origines sont alors en des points correspondants.

Deux faisceaux proieotiis en général.

Les propriétés fondamentales de deux faisceaux projectifs peuvent se déduire de celles des lignées projectives, grâce au principe de la corrélation dans le plan.

Génération de deux faisceaux projectifs. . — 116. Si Ton unit chaque point d'une droite s (axe de perspective)

avec deux points fixes S, S^ au moyen de droites, l'ensemble des rayons autour de S forme le faisceau S; de même l'ensemble des rayons autour de S^ constitue le faisceau S^. De plus, les faisceaux sont en situation de perspective (v. 37). S'ils ne se trouvent pas dans un même plan, il est permis, sans rien changer à la position relative des' éléments d'un même faisceau, de tourner l'un des plans autour de l'axe s jusqu'à ce que les deux plans coïncident. Ce mouvement ne détruit pas la position de perspective. Nous pouvons donc supposer que les deux faisceaux sont situés dans un même plan.

Le rayon a qui joint les deux sommets est axissi son rayon correspondant ai, on pourra l'appeler le rayon commun des deux faisceaux.

Menez un cercle dont la circonférence passe par les deui sommets S, Si et dont le centre soit sur l'axe s. Soient i, i^ les deux rayons qui concourent en l'un des points d'inter-

section de la^ circonféreDce et de Taie, et soient pareillement ;, ji ceux qui concourent en l'autre point. Il est évident que i correspond à l'i et j à j^. Les deux rayons «, j, forment un angle droit et partagent ainsi le faisceau S en deux moitiés; il en est de même pour la paire t'i, j^. Lorsqu'un rayon mobile décrit Tune des moitiés (ij), le rayon correspondant décrit pareillement la moitié correspondante (h/ij. Donc quand un élément b se trouve dans l'angle (ij), l'élément projectif 61 doit être situé dans Tangle (y'i). Les droites i, \JJi, divisent conséquemment les deux faisceaux en moitiés qui se correspondent une à une et seront appelées rayons Imites.

Plusieurs cas spéciaux peuvent se présenter : lo Si l'axe de perspective s est à l'infini, les rayons projectifs b, bi sont parallèles, et par suite les angles correspondants (bc)y (biCjf ont une même valeur : les deux faisceaux

sont dits égaux. Dans ce cas, à deux rayons rectangulaires quelconques 6, c correspondent deux rayons b^,Ci qui se coupent pareillement à angle droit; il 7 a donc alors une infinité de rayons limites.

2o Si l'axe de perspective est perpendiculaire sur le milieu de (TTi), tout angle formé par deux rayons 6, c de l'un des systèmes T sera égal àl'angle correspondant ("^c^); mais on remarquera que si le rayon a décrit le faisceau T dans

on sens, le rayon correspondant a^ parcourt le faisceau T, dans le sens contraire. En d'antres termes, les angles correspondants (be), (b^cj,... ont des signes différents, si Ton

admet dans les deux systèmes un même sens comme positif. Les deux faisceaux projectife en question seront dits négativement égaux. Dans ce cas, si deux rayons ft, c sont perpendiculaires, leurs correspondants le seront aussi; il y a donc encore une infinité de rayons limites.

30 Si l'un des sommets T est à Tinfini, les droites qui concourent en ce point doivent être parallèles. Deux rayons ne peuvent en conséquence être perpendiculaires Tun à l'autre ; il n'y a donc pas de rayons limites réels dans ce cas-

Détermination des faisceaux projegtifs. — 117. Deux faisceaux projectifs sont déterminés, lorsque trois couples de rayons correspondants sont donnés (▼. 83). Ils seront done pareillement déterminés, quand on connaîtra une paire a, a^ et un rayon limite de chaque faisceau avec leurs désignations ; car alors on peut en déduire les deux autres rayons limites.

Le rayon oîi qui correspond à un rayon donné x peut être construit d'après la méthode indiquée précédemment (t. 79).

Relations entre les angles projectifs. — 118. Soient

deux faisceaux projectifs T, T4 dé^terminés par trois paires de rayons correspondants a, a^, 6, 64, c, c^. Une quatrième paire X, Xj^ doit satisfaire à la condition

(axcb) = (aiX^Cib^) donc on a

Sin(aa;) Sin(ac) S\n{a^Xi) S\n{aiC^)

^ ^ "Sin(x6y • Sin(c6) ~ Sin{x^b^) ' Sïii{c^bi) d'où

Sin(ax) S\n(aj^x^) Sin(ac) S\u{a^Cj^)

Sin(x6) * Sin{xi^b^) Sin(c6) ' Sin(Ci6i)

c'est-â-dire

Dans deux faisceaux projectifs le quotient de deux rapports de simple section correspondants a une valeur constante, lors même que les éléments de division x^ x^ vartent,