XX

Les deux premiers points sont dits conjugués harmoniques par rapport aux deux autres E, F; ces derniers sont donc également conjugués harmoniques par rapport à X, X^.

175. Une division harmonique nest pas détruite, par la permutation de deux points conjugués; car si, par exemple, (EXX^F; = — 1, le biquotient (EXiXF) aura la même valeur en vertu de l'égalité (31),

176. Réciproquement, si la valeur d'un biquotient de quatre points distincts nest pas modifiée par la permutation de deux lettres, les quatre points formeront une division harmonique.

En effet, soit (EXXiF) = (EX|XF) ; on en conclut que les points E, X, X4, F forment une involution, dont les points non permutés sont les éléments doubles (v. 164). Donc X, X^ sont conjugués harmoniques par rapport à E, F (v. 166). *

177. Dans toute division harmonique deux points conjugués partagent le segment des deux autres en parties proportionnelles^ abstraction faite des signes, et réciproquement.

Cette propriété résulte de l'égalité (32), qui est équivalente à (29). Les signes des deux membres de (32) étant contraires, il faut que l'un des points X soit à l'intérieur du segment (EF) et l'autre point X^ a l'extérieur; en d'autres termes, les paires de points conjugués se séparent.