L'égalité (35) peut se traduire ainsi

Lorsque quatre points forment une division harmoniquCy la valeur réciproque de la distance d'un point à son conjugué est la moyenne arithmétique des valeurs réciproques des distances du premier point aux deux autres, et réciproquement.

La longueur (EF) est appelée pour cette raison la moyenne harmonique des distances (EX)> (EXi).

180. Enfin l'égalité (36) donne naissance au théorème suivant :

Si quatre points E, X, F, X^ sont conjugués harmoniques^ et si Von prend pour origine le premier point E, le^ trois segments (EX), (EF), (EXi) satisferont à la proportion

1er segment : 3^ = (1^' — 2«) : (2« — 3^) et réciproquemetit *.

181. Supposons que les deux points E, F soient fixes; et voyons de quelle manière varie le point X^, quand son conjugué X parcourt la droite EF. Si le point X^ est à l'infini en

J4, le rapport \JZ^. a pour valeur — 1, doncr^rrr: doit être

Bi F B J A E Al

égal à +1 ; en d'autres termes, le point conjugué se trouvera

C) Si Ton fait vibrer simultanément trois cordes de même nature et dont les lonffueurs soat proportionneUes aux nombres i, 4;5, 2|3, on produit raccord parfait majeur (ut^ mi, sol). Les vibrations des trois cordes recommencent ensemble après quatre vibrations de la première; c'est la combinaison la plus harmonieuse, parce que sa période est la plus courte et ses rapports les plus simples.

La proportion ci-dessus étant satisfaite par les longueurs des trois cordes, a reçu des anciens le nom de proportion harmonique. Si ces longueurs sont portées sur une droite à partir d'un point et dans le même sens, les quatre extrémités formeront une division harmonique.

nécessairement au milieu de (EF), en J. A mesure que X^ se meut vers Tun des points doubles E, le correspondant X s'en rapproche également,* et quand X^ coïncide avec l'un des points doubles E, le point X doit également coïncider avec fui. De même, si X| décrit le segment (EJ), le correspondant X parcourra la portion infinie (EJ,) qui ne comprend pas le point double F. De là résultent les propriétés suivantes :

Dans toute division harmoniqtie, si tun des points est à Vinf,niy le conjugué doit être au milieu des deux autres ; et si deux points coïncident, un troisième point doit également coïncider avec eux; enfin deux points conjugués sont situés d'un même côté par rapport au point milieu des deux autres.

182. Etant donnés trois points E, F, X,, en construire un quatrième X qui soit conjugué harmonique de f un* d'eux X^ par rapport aux autres.

Prenez deux points M, Q en ligne droite avec X, et joignez par des droites chacun de ces points avec E, F. La se-

conde transversale NP du quadrilatère formé passe par le point cherché X.

Cette coQstruction se déduit de celle* que nous avons indiquée pour Tinvolution (v. 157), en supposant que les paires données soient les points doubles E, F. On sait, d'autre part (v. 166), que deux points conjugués partagent harmoniquement le segment des points doubles.

183. Le polygone complet de quatre sommets M, N, P, Q est composé de trois paires de droites qui se coupent encore en trois points E, F, x : ces derniers sont appelés points diagonaux, et les droites EF, Ex, Fx sont les diagonales du polygone. La propriété précédente peut, grâce à ces définitions^ s'énoncer ainsi :

Toute diagonale EF d'un polygone complet de quatre sontmets M, N, P, Q est coupée par les côtés du polygone en quatre points E, F, X, X^, qui forment une division harmonique.

Faisceaux projectifs en involution.

Définition. — 184. Deux faisceaux projectifs superposés (c^ est'à'dire situés dans un même plan et autour d'un même point^ sont en involution ou forment une involution de droites, lorsqu'un des rayons, considéré successivement comme appartenant à l'un puis à l'autre des deux faisceau:v, a dans chacun des deux cas le même rayon pour correspondant.

Eléments conjugués. — 185. Si l'on coupe par une transversale deux faisceaux projectifs en involution, les lignées des intersections seront involutoires, puisque les intersections de la transversale avec les deux rayons susceptibles de permutation pourront également être permutées l'une avec l'autre. Les deux faisceaux étant perspectifs avec les deux lignées, il

en résulte que les rayons menés par les points correspondants se correspondront aussi. Or, dans les lignées, deux éléments correspondants quelconques peuvent être permutés; il en sera, par conséquent, de même des faisceaux. Donc

Lorsque deux faisceaux sont en involution, tout rayon, considéré comme appartenant à l'un puis à l'autre des deux faisceaux, doit avoir dans chacun des deux cas le même rayon pour correspondant.

Deux rayons qui se correspondent s'appellent, en conséquence, rayons conjugués.

186. Si une involution de droites est déterminée par deux paires de rayons conjugués a, «i, 6, 6i, le rayon x corres- .pondant au rayon donné Xx peut s'obtenir de la manière suivante :

On mène une transversale qui coupera les droites données

E XA^BFB, A X^

en une involution de points A, A^, B, B^, X; on construit ensuite le point X conjugué à X,. Le rayon qui passe par le point X est l'élément cherché.

Eléments doubles. — 187. Dans Tinvolution de points formée sur une transversale à deux faisceaux involutoires se trouvent toujours deux éléments doubles E, F, qui peuvent être réels ou imaginaires. Les rayons qui passent par ces points sont également des rayons doubles. La construction de ces derniers se ramène donc à la recherche des points doubles de deux lignées involutoires (v. 160); cependant, elle sera simplifiée si Ton projette les points de la transversale depuis le sommet T des faisceaux superposés.

Donc pour construire les rayons doubles d'une involtition de droites TA, TAi, TB, TB|, . . on décrit par le sommet T une circonférence, qui coupe les rayons respectivement ewa, a^, b, bi,.. Les droites aa^, bbi,... concourent en un point P; et les intersections (ab, ajbi), (abi, aib),... sont sur une droite p. Les rayons TE, TF qui passent par les contacts e, f des tangentes menées du point P ou par les extrémités de la corde p, sont les rayons doubles de Vinvolution. Ces éléments doubles sont réels, quand les paires de rayons conjugués ne se séparent pas; ils sont, en revanche, imaginaires, qu^nd les paires se séparent.

Eléments rectangulaires. — 188. Les deux rayons menés par les extrémités du diamètre dont le prolongement contient le point P (voyez la figure précédente), sont conjugués et font entre eux un angle droit. Ces deux rayons sont toujours réels, quelle que soit la nature de l'involution ; ce sont du reste les rayons limites i,j, i^, j^, qui coïncident inversement.

Le diamètre qui passe par le point P partage en deux parties égales les arcs compris entre les contacts ; on en conclut que les rayons j, j^ sont les bissectrices des angles formés par les rayons doubles TE, TF. Donc

Dans deux faisceaux projectifs en involution, il y a toujours nne paire de rayons conjugués j, j^, qui se coupent à angle droit ; ces rayons' sont les bissectrices des angles formés par les éléments doubles.

Involution rectangulaire. — 189. Il peut arriver que le point P, où se coupent toutes les droites aai, bbi,... menées par les intersections des rayons conjugués avec la circonférence, se trouve lui-même au centre du cercle. Ce cas se présente, quand les cordes aai, bb^ sont des diamètres, c'est-à-dire quand les rayons conjugués TA, TAi sont rectangulaires, ainsi que TB, TB4. Mais alors toutes les droites xxi,... devant passer par le centre P, il en résulte que deux rayons conjugués quelconques se coupent à angle droit. C'est là ce qu'on appelle une involution rectangulaire. Donc

Lorsque dans une involution de droites deux rayons sont perpendiculaires à leurs conjugués, il en est de même de tous les autres.

190. Réciproquement, deux faisceaux T qui peuvent être engendrés par les deux côtés d'un angle droit tournant dans un plan, forment une involution rectangulaire.

En effet, soient TA, TA| une position de l'angle droit et TB, TBi une autre. Ces deux paires de rayons déterminent une involution, qui doit être rectangulaire en vertu du dernier théorème et qui est conséquemment identique avec les deux faisceaux T.

Propriétés métriques. — 191. Des démonstrations analogues à celles que nous avons données pour les lignées involutoires nous permettent d'énoncer les propriétés suivantes :

Dans une involution de droites le prodmt des tangentes des angles que forment deux rayons conjugués quelconques avec Vun

des rayons j, ji de la paire rectangulaire est constant (v. 161). lOâ. Réciproquement, deux faisceaux superposés dont les rayons se correspondent un à un, sont involutoires, quand le produit des tangentes des angles formés par deux rayons correspondants quelconques avec un rayon fixe est constant {w.i 62).

193. Dans une involution de droites tout biquotient de quatre rayons quelconques est égal au biquotient analogue des rayom conjugués (v. 163).

194. Réciproquement, si trois paires de droites situées dans un plan autour d'un point sont telles quun biquotient d'un rayon de chaque paire et d'un quatrième rayon soit égal au biquotient analogue des éléments correspondants, les trois paires de droites seront en involution (v. 164).

195. Lorsque trois paires de droites a, ai, 6, bi, c, Ci situées dans UJi plan autour d'un point sont en involution, il existe entre ces droites les égalités suivantes :

S'm(ab).Sin(abJ S\u(aib).Sm{aibi)

Sii\(ac).S'\ï\(aCi) Sin(ac).Sin(aiCi)

Sin(6c).Sin(6ci) Sin(6iC),Sinf6iCj

Sin(6a).Sin(6ai) SinC6ia).Sin(6iai)

Sin(ca).Sin(cai) Sin(Cia).Sinfqai)

Sin(c6).Sin(c6i) Sin(ci6).Sin(Ci6i)

Sin(a6i).Sin(6ci).Sin(cai) = — Sin(ai6J.Sin(6ic).Sin(Cia)

Sin(a6i).Sin(6c).Sin(ciaJ = — Sin(aib).Sin(6iCi),Sin(ca)

Sin(a6).Sin(6iCi).Sin(cai) = — Sin(ai6i}.Sin(6c).Sin(cia)

Sin(a6).Sin(6ic).Sin(Cia4) = — Sin(a46i).Sin(6ci).Sin(ca)

et réciproquement l'une quelconque de ces égalités exprime l'in-

volution des six droites (v. 165).

196. Dans deux faisceaux en inoolution le rapport de double section des rayons doubles par deux rayons correspon-

dants quelconques est égal à — 1, en d'autres termes, l'angle des rayons doubles est partagé harmoniquement par deux rayons quelconques correspondants {y. 166).

197. Réciproquement, deux faisceaux superposés, dont les rayons se correspondent un à un, seront en involution, lorsqu'un angle (ef) est divisé harmoniquement par toutes les paires de rayons correspondants (v. 167).

Equation. — 198. Si l'on représente par x, x^ les tangentes des angles cyie forment deux rayons conjugués chacun avec un rayon quelconque, on démontrera comme pour les lignées involutoires qu'il existe entre x et x^ une relation de

la forme

mxX| + n(x + Xi) + q =

et que si l'on prend pour origine l'un des rayons j, ji de la paire rectangulaire, l'équation devient

mxX| + q = 199. Les propositions réciproques sont également vraies. Division harmonique autour d'un point. — ^ 200. Quatre droites e, /*, x, x^ d'un faisceau T forment une division harmonique, lorsque le rapport de double section de l'angle (ef) par les rayons x, x^ est égal à — 1, c'est-à-dire, lorsque

Sin(ejc) S\n{eXi) .

Sin(a;/) * Sin(a;/) Cette égalité est équivalente avec les sept suivantes :

Sin(j;^) Sin(.r/')

Sin{exj^) ' S'\ïï{fXj^) Sin(ea?i) ^ Sin(ex) Sm{xif) ' Sin(a;/") Sin(^x) Sin(^a:i)

Sin (xf) Sin(a?4/')

i40 SYSTÈMES PRIMAIRES

— Tapg(fe)+Tang(fca;) ^ — TangÇfe) + Tang(fca;0 — Tang(fcr)+Tang(A:/) ' — Tang(fcî;i)+Tang(fc/-) ~ où k est un rayon quelconque du faisceau T (v. 86),

Tang(a:j).Tang(a:j) = Tang^C^j) où j est Tune des bissectrices des angles formés par les rayons e, f.

Tang(^a:) Tang(^a:i) Tang(e/) Tang(ga;) Tang(ga:)— Tang(g/) Tang(ê^~ Tang(e/)— Tang(ea;i)

201. Si donc les rayons x, x^ divisent harmoniquement l'angle (ef), les rayons e, f diviseront harmoniquement l'angle (xXi). Les droites x, Xi sont dites conjtiguées harmoniques par rapport aux deux autres e, f et ces dernières sont également conjuguées harmoniques par rapport à x, x^. Il est évident qu'une division harmonique de droites n'est point détruite par la projection, et qu'elle forme également une division harmonique de points sur une transversale quelconque, puisque les biquotients analogues sont égaux. Réciproquement, si l'on joint par des droites quatre points harmoniques avec un point quelconque, le faisceau obtenu forme une division harmonique. Cette propriété permet de construire le quatrième rayon d'un faisceau harmonique.

202, Lorsque la valeur d'un biquotient de quatre rayons n'est pas modifiée par la permutation de deux lettres, \les quatre rayons doivent former une division harmonique (v. 176).

203, Deux droites e, f-et les bissectrices oc, x^ de leurs angles forment une division harmonique, en vertu des définitions.