POSITION

INTRODICTION.

Caractères de la méthode.

1. Ce qui caractérise essentiellement la géométrie de position, c'est la méthode dont elle fait usage. Cette méthode, que l'on désigne communément sous le nom de projection centrale, j^ossède diverses qualités, qui la font particulièrement apprécier en mathématique : elle est simple, parce qu'elle suppose un nombre très-restreiiit d'éléments liés entre eux d'une manière étroite; elle est générale, parce qu'elle préside à presque toutes les recherches ; de plus, elle est naturelle, parce qu'elle repose sur les lois de la vision; enfin, elle est pratique, parce qu'elle est à la base de plusieurs sciences d'application, telles que la perspective, la théorie des ombres, la géométrie descriptive, le dessin technique, le calcul par le trait, etc.

De l'infini.

2. Mais pour donner une idée complète de la projection centrale dans toute l'extension dont elle est susceptible, il est auparavant nécessaire d'introduire la notion de l'infini, qui jouera dans notre géométrie un rôle considérable.

Nous convenons d'appeler point infini d'une droite, un point tel que sa distance à un autre point quelconque de la même droite soit plus grande que toute longueur donnée. Il peut donc être envisagé à certains égards comme la limite des positions d'un point mobile qui s'éloigne de plus en plus sur la droite. En vertu de cette définition, le point infini, que nous supposons toujours exister, doit se trouver sur l'une et l'autre des extrémités de la droite ; mais nous admettons que ces deux positions déterminent un seul et même point. Les deux extrémités sont ainsi jointes par le point infini; de môme en algèbre, les quantités positives et les quantités négatives sont unies par le zéro, qui est à la fois positif et négatif. En outre, le point infini aura pour nous une étendue complètement indéfinie, c'est-à-dire qu'il pourra fort bien ne pas avoir une grandeur nulle, comme les autres points. Cette restriction est indispensable, si nous voulons éviter des conséquences'absurdes.

L'ensemble des points infinis de toutes les droites situées dans un plan forme une ligne; celle-ci n'est coupée qu'en un point par une droite arbitraire, puisque dans chaque droite nous supposons un seul point infini. Or, une ligne qui ne peut être rencontrée en plus d'un point par une droite quelconque, à moins de coïncider avec elle, est forcément une ligne droite. Ainsi donc il résulte de notre convention que tous les points infinis d'un plan se trouvent sur une ligne à laquelle nous pouvons donner le nom de droite infinie du plan.

La réunion des droites infinies de tous les plans de l'espace constitue une surface; et comme celte surface n'est coupée par un plan arbitraire qu'en une seule droite, à moins de coïncider ensemble, il s'en suit (pi'elle est elle-même un plan. Ce sera le plan infini.

Parallélisme.

3. Supposons maintenant qu'un point M se meuve sur une droite / et que par chacune de ses positions successives passe un rayon SM tournant autour d'un point S et formant avec une parallèle SP à / un angle USW Quand le point

mobile M, Mj, M^, .... s'éloigne de plus en plus, l'angle correspondant MSP, MjSP, M^SP diminue

sans cesse et tend à devenir nul. Et puisque nous avons admis un point infini à l'extrémité de /, la droite qui est censée joindre S avec ce point, ne saurait faire avec SP autre chose qu'un angle nul ; elle se confond ainsi avec la parallèle. Donc :

Joindre un point S avec le point iîtfini d'une droite l revient à mener par ce point nne parallèle SP à cette droite, et réciproquement deux parallèles peuvent être envisagées comme ayant à l'infini un point commun.

Comme nous l'avons dit plus haut, le point infini n'a pas forcément une grandeur nulle; on ne sera par conséquent pas autorisé k conclure que la distance de deux parallèles tend vers zéro, quand on la mesure de plus en plus loin.

4. Il est évident que si l'on joint par des droites différents poiiits A, B, C, . . . . avec le point infini d'une droite l, toutes

ces lignes seront parallèles à l et réciproquement toutes les lignes parallèles peuvent être regardées comme ayant un même point commun à l'infini.

5. Soient enfin deux plans parallèles. Si dans l'un de ces plans on mène par un point des droites quelconques k, l, m, .... et par un point S de l'autre plan des parallèles k^, h, m^ à ces droites respectives, les deux lignes k, ki auront, conformément à notre convention, un point commun à l'infini; de même / et l^, etc. Ces points infinis sont tous sur une même droite infinie (v. 2). Nous devrons donc admettre les trois propositions suivantes :

Deux plans parallèles se coupent suivant une droite, qui est la droite infinie de ces jAans.

Joindre par un plan un point S avec la droite infinie d'un plan P revient à mener par S un plan parallèle au plan P.

Tous les plans parallèles se coupent suivant une même droite à l'infini.

Projection centrale.

G. Il nous sera maintenant possible d'expliquer ce que nous appelons projection centrale.

Soit donnée une figure A B G D. . . . qui peut consister aussi en un seul point, et soit quelque part un point S que nous appellerons le centre de perspective. Joignons S avec A au moyen d'une droite a prolongée à l'infini ; cette ligne sera pour nous le rayon projetant du point A. Si par un procédé quelconque (en coupant, par exemple, au moyen d'une surface), nous interceptons sur le rayon a un point Ai, nous aurons formé en ce [toint la projection du point A. Après avoir fait la môme chose pour les autres points de la figure, nous obtiendrons, en premier lieu , les rayons proje-

tants a, h, c, d, . . . . qui passeront tous par S et dont l'ensemble portera le nom de côîie projetant, et en second lieu,

" A je 1

les points Ai, B^, Ci, D^, .... qui seront la projection de la figure A B G D . . . . Il est évident que les deux groupes

A B C D et A^ Bi G^ Di . . . . jouent le même rô>e

vis-à-vis l'un de l'autre. On peut en effet donner A^ B^ Ci

Di , et mener du même centre S les rayons projetants a,

b, c, d, . . . .; si l'on coupe ces derniers par une surface convenablement choisie, on obtiendra les points A, B, G, D,. . . . Ainsi donc chacun des groupes peut être considéré comme la projection de l'autre.

D'après ce qui précède, nous voyons qu'à chaque point A d'une figure correspond, en général, un seul rayon a du cône projetant et un seul point Ai de l'autre figure. Nous concevons que les points de la dernière soient désignés une

fois pour toutes par les lettres Ai, Bj, G^, Di, affectées

d'un indice, de sorte que la correspondance soit fixée d'une

manière invariable. Dans la position indiquée plus haut, il y a ce qu'on appelle per'Spective. Ainsi :

Deux figures dont les points correspondent deux à deux comme B à Bi, sont perspectives ou en situation de perspective, lorsque les droites menées par les points correspondants concourent vers un même point S.

7. Si les deux figures sont ensuite placées dans une position quelconque, sans détruire néanmoins la correspondance des points, c'est-à-dire sans supprimer leur désignation éventuelle par A et Ai, etc., on dit alors que les figures sont projectives. Par conséquent :

Deux figures dont tous les points correspondent deux à deux sont projectives, lorsqu'on peut mettre les points correspondants en perspective, en d'autres termes, lorsqu'on peut placer les deux figures de telle manière que les droites menées par les points correspondants concourent vers un même point S.

Lorsque le point S est pris à l'infini, tous les rayons projetants deviennent parallèles; dans ce cas, la projection est appelée spécialement projection parallèle.

Éléments.

8. Les éléments dont se sert la géométrie de position, sont au nombre de trois, savoir : le point, la droite et le plan. Il existe entre eux une étroite connexilé. fondée sur la théorie des projections. Si Ton projette, en effet, le point P depuis un centre S, le rayon projetant est une droite p et si de nouveau on projette d'un autre centre T tous les points de cette droite, le cône projetant est un plan P. Ainsi donc les trois éléments : le point P, la droite p et le plan P apparaissent dans cette double projection.

Systèmes primaires.