Avec ces éléments nous pourrons former des systèmes

Le plus simple de ces systèmes est l'ensemble de tous les points que renferme une droite /, ces points étant considérés les uns indépendamment des autres; nous appellerons cet ensemble une lignée. Quelquefois nous aurons à considérer seulement un nombre restreint de points : dans ce cas, nous l'indiquerons en disant, par exemple, la lignée des quatre points A, B, G, D.

Un second système est le faisceau. Nous entendons par là l'ensemble des droites ou rayons qu'on peut mener autour d'un point dans un plan.

Enfin, l'ensemble de tous les plans autour d'une droite constitue le troisième système, qui sera désigné par le nom de ftuillée.

Entre ces trois systèmes primaires, la lignée, le faisceau et la feuillée, il existe la même relation qu'entre les trois éléments. Lorsqu'ils sont projetés d'un premier centre S, les

différents points d'une lignée A, B, C, D, . . . . donnent naissance à une série de rayons a, h, c, d . . c'est-à-dire au faisceau S. Chaque point de la lignée peut être considéré à part; il en est de même pour chaque rayon du faisceau. De plus, à chaque point A de l correspond un rayon a autour de S. La réciproque est également vraie; car la seule position qui puisse présenter une difficulté est le rayon parallèle à la droite /; mais d'après notre convention, ce rayon rencontre l h l'infini et par conséquent au rayon parallèle correspond le point infini de la lignée.

Enfin, le faisceau peut être projeté d'un nouveau centre T situé hors de son plan. Chaque rayon a donne naissance à un plan .1, qui contient la droite ST; de même pour tous les autres rayons. On obtient ainsi la série complète des plans qui passent par ST: c'est la feuillée ST.

La lignée, le faisceau et la feuillée, qui sont donc unis entre eux par une double projection, et qui du reste ont un grand nombre de propriétés communes, sont pour cela désignés indistinctement par le nom de systèmes primaires.

10. On peut encore former des systèmes d'ordres plus élevés : il suffit, pour les engendrer, de prendre comme base non pas les points d'une droite, mais les points d'un plan, ou même ceux de l'espace. Toutefois, comme ces systèmes ne se présenteront à nous que beaucoup plus tard, nous n'en donnerons pas actuellement la délinition.

Principe de corrélation.

1 1. C'est ici le lieu de faire une remarque de la plus haute importance. Si dans la définition de la lignée, on remplace le point par la droite et vice-versà. en ne moditiant rien dans tout ce qui touche au plan, on obtient la délinition du fais-

ceau. Cette symétrie peut rendre de grands services; car il est évident que si elle n'est pas détruite dans la suite des raisonnements, toutes les propriétés d'une lignée fourniront, en général, autant de propriétés pour le faisceau. On parvient à ce résultat en permutant dans l'énoncé des propositions démontrées le point avec la droite et la lignée avec le faisceau. Le même procédé est applicable aux grandeurs dont les définitions s'expriment sous une forme symétrique. Ainsi le segment rectiligne, qui est engendré par un point mobile parcourant une droite dans un plan, correspond à l'angle, que décrit une droite tournant autour d'un point dans un plan. Le segment et l'angle sont donc des quantités corrélatives comme la lignée et le faisceau; ils pourront conséquemment être substitués Tun à l'autre dans les mêmes conditions que ces derniers. Remarquons toutefois que rien ne doit être changé au plan, c'est-à-dire que les propriétés du plan, après avoir été traduites suivant les lois de la symétrie, concerneront encore le plan.

Tel est en substance le principe de corrélation (de dualité ou de réciprocité) dans le plan.

12. Un phénomène analogue a pareillement lieu pour l'espace, lorsqu'on permute le point avec le plan, sans rien changer à tout ce qui regarde la droite. En remplaçant, par exemple, dans la définition de la lignée le point par le plan et vice-versà, on obtient la définition de la feuillée. La même relation existe entre le segment rectiligne et l'angle dièdre; car le premier est engendré par un point parcourant une droite et le second par un plan tournant autour d'une droite. Il y a donc ici symétrie. Il en résulte que nous pourrons traduire les propriétés du plan en propriétés des corps; de là le nom de principe de corrélation dans l'espace.