EX) , (E
on déduit que
(XF) ■ (XiFj
(EXO (EX;
(X,F) (XF) d'où iE\\,F) = (EXiXF)
donc il y a involution (v. 104), et les points E, F en sont les éléments doubles.
Propriétés des lignées involutoires a points doubles IMAGINAIRES. — 168. Lorsque les points doubles de deux lignées involutoires sont imaginaires, il existe deux points d'où l'on voit sous des angles droits formés dans un même sens les segments (XXi) compris entre les points conjugués.
128 SYSTÈMES PRIMAIflES
Sur une perpendiculaire élevée au point central J prenez une longueur (JS) dont le carré soit égal au rectangle
Al Bi Xi .i A B X
(AJ)(AiJ). Le rectangle (XJ)(XiJ) étant constant et par suite égal à (AJ)(AiJ) ou à (JS)^ l'angle XSXi sera toujours droit et formé djins un même sens (v. 143).
169. Réciproquement, lorsqnim angle droit XSXi tourne dans un plan autour de son sommet, les deux côtés déterminent sur une droite fixe deux lignées inculutoires X, X^ dont les points doubles sont imaginaires.
En effet, soit J le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet S sur la droite des lignées. On aura
(XJ)(X,J) = (SJj^=(AJ)(A,J)
donc les deux lignées sont involutoires et, de plus, les points doubles seront imaginaires, puisque les paires A, A^, X, Xi se séparent.
Equation de l'involution sur une droufe. — 170. Nous avons vu qu'entre les segments (KX) ou x et (KXi) ou Xi de deux lignées projectives superposées, il existe une relation de la forme
mxxi -{- nx + pxi -r q = 0
S'il y a iuvolution, il faut qu un point considéré successivement comme appartenant aux deux lignées ait chaque fois le même point correspondant; en dautres termes, il faut que les valeurs dexetdeXj, déduites de l'équation précédente»
coMPr.KTS 129
soient égales, quand on remplace dans les deux cas la variable indépendante par une même quantité. On en conclut (jue les coetficients n et p doivent être égaux. Donc
Lorsque deux lignées sont en involution, il existe entre les segments x, Xi formés par chacun des points correspondants X, Xj avec un point fixe de la même droite une relation symétrique par rapport aux deux variables et qui est de la forme
mxx^ + n(x + X,) H" q == 0
La proposition réciproque se démontre facilement. 171. Si nous prenons pour origine des segments le point central, où se trouvent réunis les points limites J, Ii, l'équation ci-dessus doit être satisfaite par les valeurs suivantes x = 0, Xi = ^
X = "^, Xi = 0
On en conclut que, dans ce cas, la relation entre les deux lignées involutoires est exprimée par une équation de la forme
mxxi + q ^ 0
Division harmonique sur une droite. — 172. Quatre points E, F, X, Xi situés sur une droite t forment une division harmonique, lorsque le rapport de double section du
E X F Xi
segment (EF) par les points X, Xj est égal à — 1, c'est-àdire, lorsque
iHL . (EX,)
^" •* (XF) • (X,F)
Cette égalité est équivalente avec les sept suivantes (30) ^^^' '^f> ■
(EX,)
(FXo ~
(EX
(X,FJ •
(XF)
(EX
(EX
(XF)
(KE) + rKX)
(KE) 4- fKX,)
— (KX) + (KF) ■
— (KXO -r (IvFj
où K est un point quelconque de t (v. 86), (34)* (XJ)(X,J) = (EJ)2
où J est le milieu du segment (EF).
