L'égalité (30) montre que

(■) De réiralité (o^) on déduit (3.i) en prenant rorigine K en J; de la môme égalité on déduit encore (35) et (3G) en >uppoVant que le point K coïncide avec E.

Si les points \, X^ divisent harmoniqnement la longueur (EF), les points E, F diviseront harmoniquement la longueur (XX,).

Les deux premiers points sont dits conjugués harmoniques par rapport aux deux antres E. F; ces derniers sont donc également conjugués harmoniques par rapport à X, Xj.

175. Une division harmonique nest pas détruite par la liermutation de deux points conjugués; car si, par exemple, (EXX,F; = — 1, le biquotient {EX,XF) aura la même valeur en vertu de l'égalité (31).

176. Réciproquement, si la valeur d'un biquotient de quatre points distincts n'est pas modifiée par la permutation de deux lettres, les quatre points formeront une division harmonique.

En effet, soit (EXXiF) = (EX,XF) ; on en conclut que les points E, X, Xi, F forment une involution, dont les points non permutés sont les éléments doubles (v. 164). Donc X, X, sont conjugués harmoniques par rapporta E, F (v. 106).

177. Dans toute division harmonique deux points conjugués partagent le segment des deux autres en parties proportionnelles, abstraction faite des signes, et réciproquement.

Cette propriété résulte de l'égalité (3::2), qui est équivalente à (29). Les signes des deux membres de (32) étant contraires, il faut que l'un des points X soit à l'intérieur du segment (EF) et l'autre point Xj à l'extérieur; en d'autres termes, les paires de points conjugués se séparent.