L'égalité (35) peut se traduire ainsi

Lorsque quatre points forment une division harmonique, la valeur réciproque de la distance d'un point à son conjugué est la moyenne arithmétique des valeurs réciproques des distances du premier point aux deux autres, et réciproquement.

La longueur (EF) est appelée pour cette raison la moyenne harmonique des distances (EX), (EXi).

180. Enfin l'égalité (36) donne naissance au théorème suivant :

Si quatre points E, X, F, X, sont conjugués harmoniques, et si l'on prend pour origine le premier point E, les trois segments (EX), (EF), (EXj) satisferont a la proportion

1er segment : 3^ = (1er — 2^) : (2^—3^) et réciproquement *.

181. Supposons que les deux points E, F soient fixes; et voyons de quelle manière varie le point X,, quand son conjugué X parcourt la droite EF. Si le point X, est à l'infini en

T . (E^i) , . . (EX) , . .

J^, le rapport ———r- a pour valeur — 1, donc-r— - doit être

(XjrJ (Xr )

Bi F B J A E Al

égal à +1 ; en d'autres termes, le point conjugué se trouvera

(') Si l'on fait vibrer simultanément trois cordes de môme nature et dont les longueurs sont proportionnelles aux nomiires 1, i/ô. Hf.^. on produit l'accord parlait majeur (ut, mi. sol). Les vibrations des trois cordes recommencent ensemble après quatre vilirations de la première: c'est la combinaison la plus iKtrmonieuse. parce que sa période e>t la plus courte et ses rapports les plus sintples.

La proitortion ci-dessus clant satisfaite parleslongueursdes trois cordes, a reçu des anciens le nom de proportion luirmonniue. Si ces longueurs sont porlées sur une droue à partir d'un point et dans le même sens, les quatre extrémités formeront une division liarmoni(jue.

nécessairement au milieu de (EF), en J. A mesure que X^ se meut vers l'un des points doubles E, le correspondant X s'en rapproche également, et quand X, coïncide avec l'un des points doubles E. le point X doit également coïncider avec lui. De même, si X, décrit le segment (E.I), le correspondant X parcourra la portion intînie (EJ,) qui ne comprend pas le point double F. De là résultent les propriétés suivantes :

Dans toute dicision harmonique, si fun des points est à finfiîii, le conjugué doit être au milieu des deux autres ; et si deujc points coïncident, un troisième point doit également coïncider avec eux; enfin deux points conjugués sont situés d'un même côté par rapport au point milieu des deux autres.

18:2. Etant donnés trois points E, F, Xj, en construire un quatrième X qui soit conjugué harmonique de l'un d'eux X^ par rapport aux autres.

Prenez deux points M, Q en ligne droite avec Xj et joignez par des droites chacun de ces points avec E, F. La se-

conde transversale NP du «uiadrilatère formé passe par le point cherché X.

Cette construction se déduit de celle que nous avons indiquée pour l'involution (v. 157), en supposant que les paires données soient les points doubles E, F. On sait, d'autre part (v. 160), que deux points conjugués partagent harmoniquement le segment des points doubles.

183. Le polygone complet de quatre sommets M, N, P, Q est composé de trois paires de droites qui se coupent encore en trois points E, F, x : ces derniers sont appelés points dia^ gonaux, et les droites EF, Ex, Fx sont les diagonales du polygone. La propriété précédente peut, grâce à ces défmitions> s'énoncer ainsi :

Toute diagonale EF d'un yohjgone complet de quatre sommets M, N, P, Q est coupée par les côtés du polygone en quatre points E, F, X, X^, qui forment une division harmonique.

Faisceaxix projectifs en involution.

Définition. — 184. Deux faisceaux projectifs superposés (cest-à-dire situés dans un même plan et autour d'un mi'me point) sont en involution ou forment une involution de droites, lorsqu'un des rayons, considéré successivement comme appartenant à l'un puis à l'autre des deux faisceaux, a dans chacuji des deux cas le même rayon pour correspondant.

Eléments conjugués. — 185. Si Ion coupe par une transversale deux faisceaux projectifs en involution, les lignées des intersections seront involutoires, puisque les intersections de la transversale avec les deux rayons susceptibles de permutation pourront également être permutées Tune avec l'autre. Les deux faisceaux étant perspectifs avec les deux lignées, il

COMJ'LETS

en résulte que les rayons menés par les points correspondants se correspondront aussi. Or, dans les lignées, deux éléments correspondants quelconques peuvent être permutés; il en sera, par conséquent, de même des faisceaux. Donc

Lorsque deux faisceaux sont eu involution, tout rayon, considéré comme appartenant à l'un puis à l'autre des deux faisceaux, doit avoir dans chacun des deux cas le même rayon pour correspondant.

Deux rayons qui se correspondent s'appellent, en conséquence, rayons conjugues.

186. Si une involution de droites est déterminée par deux paires de rayons conjugués a, a^, h, hi, le rayon x correspondant au rayon donné Xi peut s'obtenir de la manière suivante :

On mène une transvei-sale qui coupera les droites données

:XABFB A X

en une involution de points A, Aj, B, B,, X; on construit ensuite le point X conjugué à X^. Le rayon qui passe par le point X est l'élément cherché.

Eléments doubles. — 187. Dans l'involution de points formée sur une transversale à deux faisceaux involutoires se trouvent toujours deux éléments doubles E, F, qui peuvent être réels ou imaginaires. Les rayons qui passent par ces points sont également des rayons doubles. La construction de ces derniers se ramène donc à la recherche des points doubles de deux lignées involutoires (v. 100); cependant, elle sera simplifiée si l'on projette les points de la transversale depuis le sommet T des faisceaux superposés.

Donc pour construire les rayons doubles d'une involution de droites TA, TA^, TB, TB,, . . on décrit par le sommet T une circonférence, qui coupe les rayons respectivement ewa. a,, b. bj... Les droites aa^, bbi,... concourent en un point V; et les intersections (ab, a^bi), (ab^, axb),... sont sur une droite p. Les rayons TE, TF qui passent par les contacts e, f des tangentes menées du point P ou par les extrémités de la corde p, sont les l'ayons doubles de l'involution. Ces éléments doubles sont réels, quand les paires de rayons conjugués ne se séparent pas; ils sont, en revanche, imaginaires, quand les paires se séparent.

Eléments rectangulaires. — 188. Les deux rayons menés par les extrémités du diamètre dont le prolongement contient le point P (voyez la figure précédente), sont conjugués et font entre eux un angle droit. Ces deux rayons sont toujours réels, quelle que soit la nature de Tinvolution; ce sont du reste les rayons limites i,j, /,, /j. qui coïncident inversement.

Le diamètre qui passe par le point P partage en deux parties égales les arcs compris entre les contacts : on en conclut que les rayons 7, ;', sont les bissectrices des angles formés par les rayons doubles TE, TF. Donc

GOMPLKTS 137

Dans deux faiscmiix projcctifs en involution, il y a toujours une paire de rayons conjugués j, jj, qui se coupent à antjle droit; ces rayons sont les bissectrices des a7igles formés par les éléments doubles.

Involution rectangulaire. — 189. H peut arriver que le point P, où se coupent toutes les droites aai, bbi,... menées par les intersections des rayons conjugués avec la circonférence, se trouve lui-même au centre du cercle. Ce cas se présente, quand les cordes aa,, bb^ sont des diamètres, c'est-à-dire quand les rayons conjugués TA, TAi sont rectangulaires, ainsi que TB, TB^. Mais alors toutes les droites xxj,... devant passer par le centre P, il en résulte que deux rayons conjugués quelconques se coupent à angle droit. C'est là ce qu'on appelle une involution rectangulaire. Donc

Lorsque dans une involution de droites deux rayons sont jjerpendiculaires à leurs conjugués, il en est de même de tous les autres.

190. Réciproquement, deux faisceaux T qui peuvent être engendrés par les deux côtés d'un angle droit tournant dans un plan, forment une involution rectangulaire.

En effet, soient TA, TA, une position de l'angle droit et TB, TB, une autre. Ces deux paires de rayons déterminent une involution, qui doit être rectangulaire en vertu du dernier théorème et qui est conséquemment identique avec les deux faisceaux T.

Propriétés métriques. — 191. Des démonstrations analogues à celles que nous avons données pour les lignées involutoires nous permettent d'énoncer les propriétés suivantes :

Dans une involution de droites le produit des tangentes des angles que forment deux rayons conjugués quelconques avec l'un

des raijons j, jy de la paire rectangulaire est constant (v. 161).

192. Réciproquement, deux faisceaux superposés dont les rayons se correspondent un à un, sont incolutoires, quand le produit des tangentes des angles formés par deux rayons correspondants quelconques avec un rayon fixe est constant [s A^'^).

193. Dans une incolution de droites tout biquotient de quatre rayons quelconques est égal au biquotient analogue des rayons conjugués (v. 163).

194. Réciproquement, si trois paires de droites situées dans un plan autour d'un point sont telles qu'un biquotient d'un rayon de chaque paire et d'un quatrième rayon soit égal au, biquotient analogue des éléments correspondants, les trois paires de droites seront en incolution (v. 164).

195. Lorsque trois paires de droites a, a^, b, b^, c, q situées dans un plan autour d'un point sont en incolution, il existe entre ces droites les égalités suivantes :

Sin(ab)S\n(abJ 'è\uCa^b).^\n{aibi)

^iu{acj.'è'ïn(aci) Sin(«c).Sin(rtiCi)

Sin(6c).Sin(/jCi) Sin(6, <.').Sinf'6iCiJ

Sin(6«).Sin(^6ai) Siiif6ia).Sin(6ifli)

Sin(ca).Sin(cai) Sin(cia).SinfCiai)

Sin(c6;.Sin(c6i) Sin(Ci6j.Sin((;i6i)

Sin(«6J.Sin(6ci).Sin(cai) = — Sin(ai6J.Sin(6iC).Sin(Cia) Sin(a6i).Sin(6c).Sin(ciflj^ = — Sin(ai6j.Sin(6iCi).Sin(ca) Sin(rti>).Sin(6iCi).Sin(cfli) = — Sin(ai6i).Sin(6c).Sin(Cirt) Sin(rt6).Sin(6ic).Sin(ci«,) = — Sin(a,6,).Sin(6c,).Sin(ca)

et réciproquement l'une quelconque de ces égalités exprime l'in-

volution des six droites (v. 165).