Réciproquement, quand deux droites rectangulaires

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sont conjuguées harmoniques par rapport à deux autres, elles sont bissectrices des anyles formés par ces dernières.

En effet, nous avons vu que dans deux faisceaux involutoires il existe une seule paire de rayons conjugués perpendiculaires l'un à l'autre, quand les élémenis doubles sont réels. Or, ces droites rectangulaires partagent harmoniquement les rayons doubles et en sont les bissectrices (v. 190).

205. Quatre droites MN, NQ, QP, PM situées dans un plan (v. la fig. du § 182), constituent un polygone complet de quatre côtés, lequel a six somm«>ts M, N, P, Q), E, F, trois diagonales EF, Ex, Fx et trois points diagonaux X, X, x. Ces derniers jouissent de la propriété suivante :

Si dans un polygone complet de quatre côtés MN, NQ, QP, PM, l'on joint par des droites an point diagonal x avec les six sommets M, N, P, Q, E, F, on obtient un faisceau harmonique de quatre rayons.

En effet, le faisceau xE, xF, xX^, xX est coupé par la droite EF en quatre points harmoniques (v. 183).

Feuillées projectives en involution.

20G. Tout ce que nous venons de dire à l'occasion des faisceaux involutoires s'applique également aux feuillées en involution avec les seules modifications nécessitées par la nature différente des systèmes primaires.

Résumé.

207. Nous avons montré précédemment (v. 90) que deux lignées sont projectives, quand leurs points se correspondent un à un et ne sont point unis par une relation de nature transcendante. Après avoir construit trois paires de points

142 STSTÈMES PRIMAIRES

correspondants conformément aux données de la question, nous pourrons avec la règle obtenir dans une des lignées le point qui correspond à un point connu de l'autre (v. 78).

Si les deux lignées projectives sont superposées, il faudra construire également trois paires de points correspondants, ce qui permettra d'obtenir une quatrième paire quelconque avec la règle (v. 78) et de déterminer en outre les points doubles au moyen d'un cercle (v. 160).

Enfin, deux lignées superposées forment une involution, lorsqu'elles sont projectives et qu'un point, considéré successivement comme appartenant à l'une puis à l'autre des deux lignées, a chaque fois le même point pour correspondant. Dans ce cas, il suffira de posséder seulement deux paires d'éléments correspondants pour pouvoir construire le point qui correspond à un point donné (v. 157), ainsi que les deux points doubles (v. 160).

Si Tune des lignées ou toutes les deux sont remplacées par un autre système primaire (faisceau ou feuillée), nous pourrons couper ce dernier par une droite transversale, et la question se ramènera à l'un des cas précédents.

Cette manière d'envisager les relations de deux systèmes primaires projectifs permet de résoudre un grand nombre de problèmes d'après une méthode simple et uniforme. Nous allons en donner quelques exemples.

208. Etant données trois droites fixes t, t^, L 'rtin faisceau, si fou trace un cercle variable dont la circonférence passe par le sommet du faisceau, et dont le centre X^ se meut sur ta, les cordes Xi X menées par les secondes intersections avec /j, t seront parallèles.

A chaque point Xi de f, correspond un seul point X sur

COMPLKTS

/ et vice-versà; de plus, les équations du cercle variable, et des droites t,, t sont algébriques, et par suite la relation entre X, et X n'est pas de nature transcendante; donc les

deux lignées ^i, t sont projectives. En outre, au point infini de t^ correspond le point infini de t; donc les lignées ^i, t sont semblables. Enfin, le sommet du faisceau représente deux points correspondants; donc les lignées fj, ^ sont en perspective, et comme le centre de perspective est situé sur la droite infinie 1,1, il doit être lui-même à l'infini; en d'autres termes, les cordes XjX sont parallèles.

209. Si une droite x se meut de telle manière quelle forme avec deux rayons fixes t, t^ d'un faisceau C tm triangle XGXj de grandeur constante, les lignées des intersections X, Xi seront projectives.

A chaque point X de t correspond un seul point X, sur t^ et vice-versâ; de plus, les relations ne sont pas de nature transcendante; donc les lignées t, f, sont projectives. On peut aussi le démontrer, en exprimant que la surface double du triangle formé, c'est-à-dire (GX)(GX4).Sin(ffi), a une valeur constante (v. 101).

210. Etant donnés dans un plan un angle XCXj et deux points fixes T, T, en ligne droite avec son sommet C, si autour d'un point fixe T^ on fait tourner une transversale, qui rencontre les côtés de l'angle en X et \^, le point de concours X^ des deux droites TX, TiX, décrira une droite s^.

En effet, les faisceaux T, T^ sont en situation de perspective, puisqu'ils sont respectivement projectifs avec deux

lignées projectives CX, CXj, et qu'en outre les rayons superposés TC, TiG se correspondent.

21 1. Etant donnés deux points S, T et deiur droites t, ?,, on demande de trouver sur ces droites deux points E, E, tels que le segment (EE,) soit vu des points T, S sotis des angles donnés a, b.

Prenez sur f, un point X, et menez par S et par T deux droites SX, TX^ qui fassent respectivement avec X,S, X,T des angles X^SX, XjTX^ égaux à a et à b; soient X, Xo les intersections avec t.

Si X, parcourt la droite ?,, les points X et X^ décriront la droite /. La lignée des points X, est projective avec chacune

des deux lignées X et X, (v. 90); donc ces deux dernières sont projectives entre elles et leurs points doubles E, F avec

les correspondants E^, F, satisfont évidemment à la condition posée.

Pour résoudre ce problème, il suffira, par conséquent, de prendre sur îj trois points quelconques Xi, Ai, lii, de chercher leurs correspondants X, X2, A, A2, B, B2 sur t (en ayant soin que les angles XiSX, AiSA.... soient égaux et de même signe, ainsi que les angles X1TX2, AiTA2v)' Puis, on construira les points doubles des deux lignées formées sur h.

En d'autres termes, la méthode suivie comprend deux opérations distinctes. En premier lieu, elle nécessite trois constructions d'essai; car quand on a choisi arbitrairement le point Xi pour l'un des points demandés, on examine si, en menant conformément à l'hypothèse SX, TX2, les autres conditions sont remplies : la distance (XX2) exprime l'erreur commise. Au moyen de trois erreurs semblables (XX2), (AA2), (BBj), il faut, en dernier lieu, rechercher les éléments (points doubles) pour lesquels Terreur est nulle.

212. Etant donnés deux points S, T et deux lignées projectives t, ti, on demande de trouver sur ces dernières deux points correspondants E, Ei tels que les droites SE, TEi se coupent sous un angle donné a.

Prenez sur ti un point quelconque Xi, et menez par T une droite TXg qui fasse avec SX un angle égal à l'angle donné a; soit Xa l'intersection des droites t, TX2. Si X2 coïncide avec X, le problème sera résolu; sinon, répétez cette construction d'essai pour deux autres points Ai, Bi et vous obtiendrez

ainsi sur t deux lignées X, Xj, A, A,, B, Bj. La lignée Xj est projective avec la lignée Xi, puisque à chaque point de Tune correspond un seul point de l'autre, et que les points Xj, X2 sont liés par des équations de nature algébrique; donc, en vertu de l'hypothèse, les deux lignées X, X2 sont projectives. Les points doubles E, F donnent avec les points correspondants El, Fi deux solutions du problème.

213. Les deux problèmes précédents donnent naissance à un grand nombre de cas particuliers, entre autres aux suivants :

Placer entre deux droites t, t^ une corde EEi passant par un

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point S et qui soit me ifnn autre point T sous un angh donn*^ b (prol)l. 211 en donnant a = 0).

Etant données deux droites t, ti, mener à l une perpendiculaire EEj telle que la partie comprise entre t et tx soit vue d'un point T sous un angle h. (probl. 211 en supposant S à l'extrémité inlinie d'une droite perpendiculaire sur t et a = 0).

Déterminer sur une droite t un segment (EEi) qui soit vu de deux points S, T sous des angles donnés a, b. (probl. 212, en admettant que t^ coïncide avec t.)

214. Etant données dans luipAan deux lignées projectivest, î^, si l'on joint par des droites un point quelconque T de l'axe projeclif s avec les différents points des deux lignées, on obtient une involution de droites.

En effet, le faisceau TA^, TBj,... est projectif avec le

■âBiOX

faisceau TA, TB,... De plus, le rayon TO ou TP^ mené par l'intersection des deux droites i, t^ a pour correspondant le même rayon TOj, TP, quand il est considéré successivement comme appartenant au premier faisceau, puis au second. Donc il V a involution.

215. Etant donnés dans un plan deux faisceaux projectifs, leurs intersections avec une droite passant par le centre projectif forment une involution de points.

La démonstration est analogue à celle du théorème précédent.