Dans deux faisceaux en incolution le rapport de
double section des rayons doubles par deux rayons correspon-
COMI'LKTS
dants quelconques est égal à — 1, en d'autres termes, l'angle des rayons doubles est partagé harmoniqaement par deux rayons quekonques correspondants [w l(>Oj.
197. Uéciproquemcnt, deux faisceaux superposés, dont les rayons se correspondent un à un, seront en involution, lorsqu'un angle (ef) est divise harmoniquement par toutes les paires de rayons correspondants (v. 167).
Equation. — 198. Si l'on représente par x, Xj les tangentes des angles que forment deux rayons conjugués chacun avec un rayon quelconque, on démontrera comme pour les lignées involutoires qu'il existe entre x et x, une relation de
la forme
nixX| -f- n(x -h X,) + q = 0
et que si l'on prend pour origine l'un des rayons), ji de la paire rectangulaire, l'équation devient
mxx, + q = 0 199. Les propositions réciproques sont également vraies. Division harmonique autour d'un point. — 200. Quatre droites e, f, x, x^ d'un faisceau T forment une division harmonique, lorsque le rapport de double section de l'angle {ef) par les rayons x, Xi est égal à — 1, c'est-à-dire, lorsque
Sin(e.r) Sin(ej?i)
Sin(j'/') ' Sin(j[;,/) Cette égalité est équivalente avec les sept suivantes : ^'m(xe) Sin(.r/")
Sin(t;.r,) ' Sin(/>,) Sin(ej-i) Sin(ej:) Sin(xi/") ' S'\n{xf) Sin(ej') Sin(ej:i)
Sin(j'/) S'm{x^f)
— Tangf/te) -j- Taiigf/r.x) — Tangf/cf?) + Tang(Â-a:i)
— Tang(A-a^-; + Tang(A/) * — Tanga-Jt:i;4-Taiig(A/j où A- est un rayon quelconque du faisceau T (v. 8G).
Tang(a;y).Tang(:rj) = Tâng^Çej) où j est l'une des bissectrices des angles formés par les rayons e, f.
Il 2
Tang(£;:c) ïang(ej;i) Tang ((?/') Tang (ex) __ Tang (ex) — Tangfé'/) Tang(cj;i) Tang(c/j — Tang(<^a;i)
201. Si donc les rayons x, Xi divisent harmoniquement l'angle (ef), les rayons e, f diviseront harmoniquement l'angle (xXi), Les droites x, Xi sont dites conjuguées harmoniques par rapport aux deux autres e, f et ces dernières sont également conjuguées harmoniques par rapport à x, x,. Il est évident qu'une division harmonique de droites n'est point détruite par la projection, et qu'elle forme également une division harmonique de points sur une transversale quelconque, puisque les biquotients analogues sont égaux. Réciproquement, si l'on joint par des droites quatre points harmoniques avec un point quelconque, le faisceau obtenu forme une division harmonique. Cette propriété permet de construire le quatrième rayon d'un faisceau harmonique.
202. Lorsque la valeur d'un biquotient de quatri- rayons 7i'esl pas modifiée par la permutation de deux lettres, les quatre rayons doivent former une division harmonique (v. \li\).
203. DetfX droites e, f et les bissectrices x, x^ de leurs angles forment une dioision harmonique, en vertu des définitions.
