Combien faut-il de rouleaux de papier à ten

turc , pour couvrir un pan de mur qui n'a aucune ouverture , dont la longueur est 3 m ,55 et dont la hauteur est 2 m ,80?

La superficie du mur est 3 n, ,î>5X2 m ,80=9'” ra ,94. Un rouleau de papier contient 24 feuilles qui ont environ 0 m ,35 de hauteur sur 0 m ,46 de largeur. La longueur du rouleau est donc 0 m ,35X24=8 m ,40. Comptons seulement 8 m ,20 à cause des rognures. La superficie d’un rouleau sera 8 m , 20X0 m , 46=3 mm , 7 7 , car le rouleau développé est un rectangle , comme le pan de mur. Cherchant combien de fois 9 mm ,94 contiennent 5 mm ,77 , nous trouverons qu’il faut 2,64 rouleaux ou à-peu-près 2 rouleaux et 16 feuilles.

Cet exemple vous montre que pour comparer deux rectangles quelconques , on doit calculer leurs superficies en unités de même espèce et diviser celle du plus grand par celle du plus petit ; le quotient indique combien de fois le premier contient le second.

132. Un rectangle a 4 ,n de base et l m ,2 de hauteur. On veut en faire un autre qui soit équivalent à celui-là } et qui n’ait que 3 m de base\ quelle hauteur doit-on lui donner?

Le rectangle dont la hauteur est connue a 4 mm ,8 de -superficie. L’autre devant être équivalent à celui-là, aura aussi une superficie de 4 mm ,8. Or , ce nombre doit égaler le produit de la base 3 m multipliée par la hauteur inconnue. Si donc vous divisez 4 mm ,8 par5 m , vous trouverez cette hauteur pour quotient. Ainsi , le nouveau rectangle devra avoir l m ,6 de hauteur.

153. Tout ce qui a été dit du mesurage des rectangles , s’applique entièrement à celui des carrés. Mais , comme la base et la hauteur d'un carré sont égales , il suffit , pour calculer la superficie d’une telle figure , de mesurer un des côtés et de multiplier par elle-même la longueur trouvée. Ainsi, un carré dontle côté serait de 4 m ,7, aurait 22 mm ,09 dcsuperficie. Or, ce nombre 22,09 qui résulte dc4,7Xj4,7 est le quarre du côté (96). De là ce principe : la superficie d'un carré égale le quarrè numérique du côté.

Représentant un carré quelconque par C et la longueur du côté par L , on a pour formule C— Lxb.

134. Faire un carré qui soit équivalent à la somme de plusieurs autres.

Soient A, B, C les carrés donnés (P. II, F. 49). Vous tracerezdeux droites d’écruerre (43); vous porterez sur l’une le côté du carré A, de D cnL, et sur l’autre le côté du

MESURACE

carré B , de D en F. Le carré qui serait fait sur EF, vaudrait la somme des carrés A , B , puisque les superficies sout exprimées par les quarrés des côtés (133), et que le quarré de la longueur EF égale la somme des quarrés des longueurs DE , DF (112). Elevez maintenant une perpendiculaire à l’une des extrémités de EF , au point E , par exemple (39 ou 40), et portez-y le côté de C, de E en G. La droite FG sera le côté d’un carré qui vaudra la somme de C et du carré fait sur EF. Si donc vous faites un carré avec FG (117), il sera équivalent à la somme des trois carrés donnés.

Vous pourriez évidemment, par le même moyen, doubler ou tripler un carré : il suffirait de prendre les longueurs DE, DF, EG, égales chacune au côté du carré donné.

13b. On a besoin pour construire des bdtimens , d'un espace carré qui renferme 273,329"“"; quel est le côté de ce carré P

Le nombre 273529 est le quarré de la longueur du côté (133). Il faut donc en extraire la racine, pour connaître cette longueur. En opérant comme il est prescrit dans le vP 96 , on trouve que le côté du carré doit avoir 523™. Vous construiriez la figure soit au moyen du procédé 1 16, soit au moyen de celui du n° 117.

Il est visible , d’après cela , que pour avoir le côté d'un carré qui soit équivalent à unefgure donnée , on doit mesurer la superficie de cette figure } puis extraire la racine du nombre obtenu.

136. Si un parallélogramme quelconque et un rectangle ont des bases égales et des hauteurs égales , ils sont équivales (120). La superfeie du parallélogramme se mesure donc comme celle du rectangle : il faut en multiplier la base par la hauteur. Ainsi , la formule est P=BXH-

Suppose* que la base CD du parallélogramme ABCD (P. II, F. 40) ait 6 m ,50 et que la hauteur FG soit de S™, 25. La formule donneP=6 m , 50X5“, 25=35 mm , 125. Vous trouveriez encore le même nombre de mètres carrés, si vous mesuriez comme base le côté BC , et comme hauteur une perpendiculaire abaissée sur BC, d’un point quelconque de AD.

On veut connaître combien coûtera en totalité le crépi d’un mur de cimetière , et Von sait que le mètre carré se paie 0^,45, que la forme du terrain est celle d'un rec-

S le , que ce rectangle a deux côtés horizontaux de a chacun et deux côtés inclinés de 8b m , que la pente

totale de ces derniers est de 8 m ,50 et que la hauteur verticale des murs sera de 2 m .

Les murs gui seront élevés selon la rampe, auront pour faces à crépir , des parallélogrammes tels que ABCD (P. H, F. 50) dont la base BC=2 m et dont la hauteur est l’horizontale AE. Nous calculerons cette hauteur au moyen du triangle rectangle AEB, dans lequel BE=8,50 et l’hypothénuse AB=85 m ; nous trouverons (112) que AE=84 m ,575. La superficie de chaque parallélogramme sera donc 169 mm ,146. Il faut la quadrupler pour avoir la surface totale des deux murs en pente, car ils ont chacun une face intérieure et une face extérieure. Or,

lG9 mm ,146x4=676 ram ,584.

Les laces à crépir des deux autres pans de mur, sont des rectangles égaux dont la hase a 125 m et la hauteur 2 m . La superficie d’un de ces rectangles sera donc 123 m X2 m =246 mm ; quadruplant , nous aurons 984 mm pour la surface totale des deux pans rectangulaires j ajoutant à ces 984 mm , les 676 mm ,584 déjà trouvés , nous saurons que la superficie du crépi sera de 1660 min ,584; multipliant enfin 0 f ,45 par ce nombre de mètres carrés , nous obtiendrons 747^,26 pour le prix demandé.

157. Un triangle est toujours la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur ; car si par la sommet B du triangle BCD (P. Ü,»F. 40), vous menez une parallèle à la base CD , et par D , une parallèle au côté BC , vous formerez un parallélogramme ABCD qui aura même base et même hauteur que le triangle , et qui le contiendra deux fois. Les deux triangles BCD , DAB sont eflèctivcment égaux , puisque les côtés de l’un égalent les côtés de l’autre (106). Or , la superficie du parallélogramme est le produit de la base CD multipliée par la hauteur FG ; celle du triangle BCD sera donc la moitié de ce produit. Ainsi , pour mesurer un triangle , il faut mesurer la base et lu hauteur avec la même unité , J aire le produit des deux longueurs trouvées et prendre la moitié de ce produit.

Ce principe converti en formule , donne T—

Le résultat reste le même , quel que soit le côté qu’ou prenne pour base , pourvu que la hauteur égale la perpendiculaire abaissée sur ce côté , du sommet opposé.

On veut couvrir la croupe triangulaire d’un toit, avec des tuiles plates de 0 m ,24 sur 0 U, ,16 qui, à cause des parties superposées , entrent au nombre de 70 dans &

Digit

MESURAGE

mètre carré. La base du triangle a 42 m ,50 et la hauteur 5 m ,15. Combien faudra-t-il de tuiles ?

Vous aurez , d’après la formule , T == . ' l5 —

19 mm ,6875. Multipliant 70 par ce nombre de mètres carrés , vous obtiendrez en nombre entier 4579 , pour la quantité de tuiles demandée.

458. Il peut arriver et il arrive assez souvent que l’intérieur d'un triangle présente des obstacles qui empêchent d’en mesurer la hauteur. Dans ce cas , on prolonge la base AC (P. Il, F. 55) ; on mène une parallèle BD à celte base , par le sommet opposé B (49 ou 50) , et en un point quelconque F du prolongement , on élève une perpendiculaire jusqu’à la rencontre de BD (58). Cette perpendiculaire DF=BE hauteur du triangle ABC , puisque ces droites sont des parallèles comprises entre parallèles (66).

Vous pouvez aussi , au lieu d’employer ce procédé , calculer la superficie du triangle au moyen des trois coûtés. C’est même là ce qu'il faut faire , toutes les fois que les longueurs de ces côtés sont connues , afin d’éviter le mesurage de la hauteur et l’erreur qui en est inséparable.

Soit proposé de déterminer la superficie d’un triangle dont les trois côtés ont 45 m , 25 111 , 52 m ,25. Vous ferez la somme de ces trois longueurs ; vous prendrez la moitié de celte somme 70 m ,25 et vous aurez 55 m ,125. Cherchez alors l’excès de la demi-somme 55,425 sur chaque côté; vous trouverez 55,425 — 15=20,125, puis 55,425 — 25 =12,425, puis 55,125 — 52,25=2,875. Multipliez ensuite la demi-somme 55,425 par le 1 er excès 20,125, vous aurez 706,890 625 ; mtiltipliez ce produit par le 2 e excès 42,125, vous aurez 8 574,048828; multipliez ce second produit par le 5 e excès 2,875, vous aurez 24641,76558 ; extrayez enfin la racine de ce troisième produit (96) , vous obtiendrez 156 nim ,976 pour la superficie du triangle.

Remarquez qu’il suffit de conserver 6 décimales dans chaque produit , lorsqu'on veut se borner aux millièmes de mètre carré pour la superficie. Il suffirait d’en conserver 4 , si l’on voulait se borner aux centièmes de la racine quarréc. Bien entendu qu’il faut augmenter d’une unité la dernière des décimales conservées , quand la première de celles qu’on supprime n’est pas moindre que 5.

Pour ne point courir le risque de se tromper dans les calculs de ce mesurage , il faut les faire d’après la for-

muIc " C )xft -C' )X(,- -C") dans la- ..

quelle T représente la superficie du triangle , s la somme des trois côtés , et C , C' , C" chacun de ces côtés.

Les parenthèses ( ) indiquent qu’on doit opérer la soustraction des deux quantités qu’ elles renferment , avant de multiplier.

159. C’est au moyen du mesurage de3 triangles , que s’exécute celui d’un quadrilatère quelconque ABCD (P. U,

F. 47) qui n’est ni rectangle , ni carré , ni parallélogramme , ou dont la forme n’est pas connue. On calcule la superficie de chacun des triangles ABC , ACD formés par une diagonale (157 ou 158), et la somme des deux nombres trouvés donne la superficie du quadrilatère.

H est à observer que la diagonale AC doit être prise pour base de chaque triangle , toutes les fois qu’elle peut être mesurée directement , afin qu’il n’y ait que trois mesurages de longueurs à effectuer , au lieu do quatre. Cependant , si le quadrilatère était reconnu trapèze , vous n’auriez non plus que trois droites à mesurer , en prenant pour bases des deux triangles, les cotés parallèles de la figure. Dans ce cas, vous multiplieriez AB , puis CD . par la hauteur EF commune aux triangles ABD , BCD (P. Il, F. 59), et vous feriez la somme des moitiés des aeux produits ; ou pour éviter une multiplication et une , division , vous ajouteriez les longueurs des bases AB , CD ; vous prendriez la moitié du résultat , et vous multiplieriez cette demi-somme des bases du trapèze, par la hauteur EF ; le produit serait la superficie cherchée.

Ainsi , le trapèze égale le produit de la demi-somme de ses bases, multipliée par la hauteur. Ce principe converti en formule , donne b XH.

POLYGONES RÉGULIERS

440. Des polygones dont le nombre de côtés surpasse 4 , il n’y a que les réguliers qui donnent lieu à des tracés intéressans (97). Ceux-là sont aussi les seuls dont les propriétés doivent maintenant nous occuper. Voici néanmoins un premier principe qui concerne à la fois les polygones réguliers et les irréguliers. La somme des angles intérieurs d’un polygone quelconque , vaut deux angles droits ou 180o multipliés par leur nombre diminué de 2.

96 POLYGONES RÉGULIERS

Vous voyez effectivement qu’un polygone ABCDE (P.H, F. 38) a autant de diagonales qui partent d’un même sommet A, que l’exprime le nombre des angles diminué de 5 , et comme le nombre de ces diagonales est inférieur d’une unité à celui des triangles quelles forment , il y a autant de ces triangles que l’indique le nombre des angles du polygone diminué de 2. Or , ces angles sont composés de ceux des triangles , et la somme des angles de chaque triangle est 180° (98). Donc, la somme des angles du polygone vaut 180° multipliés par le nombre des triangles ou par le nombre même de ces angles diminué de 2.

Trouver l indication de T angle intérieur d'un polygone régulier.

Comptez les angles du polygone ; ôtez deux unités de leur nombre ; multipliez 180° par le reste , vous aurez la somme des indications de tous ces angles. Or, ils sont égaux, puisque le polygone est régulier; si donc vous divisez le produit par leur nombre , le quotient sera l’indication d’un seul. Ces calculs sont indiqués plus brièvement par la formule a — 180 '^ n 3 ^ dans laquelle a représente l’angle intérieur et n le nombre des angles du polygone.

Voulez-vous connaître , par exemple , l’angle intérieur

« r c ii »8o°X(4- ,J ) 18 o ,, x »

dun carrer La formule donne a== > • . = — ;

=—-=90° , ce que vous saviez déjà. Faisant les mêmes

opérations pour le triangle équilatéral , vous verriez que son angle intérieur est de 60% principe qui a été établi dans le n° 104.

141 . Les polygones qui ont plus de 4 angles ou de 4 côtés, se nomment pentagones s’ils en ont 5 , hexagones s’ils en ont 6 , octogones s’ils en ont 8 , décagones s’ils en ont 10, dodécagones s’ils en ont 12, pentédécagones s’ils en ont 15. Les autres polygones étant rarement employés dans les arts , ne portent pas de noms particuliers , ou bien ceux qu’ils ont reçus sont peu usités.

Tracer un pentagone régulier.

Décrivez un cercle quelconque ; tracez AB un des diamètres ( P. Il, F. 51 ); élevez au milieu une perpendiculaire ; cherchez le milieu E du rayon CD (45) ; rapportez EC sur EB , de E en F, et BF de B en G. La corde BG pourra être portée 10 fois exactement sur la

POLTOOSES RÉGÜLIBRS. 97

circonférence; elle la divisera donc en 10 arcs de 56°. Par conséquent , si vous tirez les cordes des arcs doubles ou de 72°, vous aurez K droites égales (15) qui formeront un pentagone régulier B11IKL. Les angles sont effectivement égaux comme les côtés , car ils sont tous inscrits , chacun renferme entre ses côtés ■§■ de circonférence ou 5 fois 72° ou 216°, et son indication est par suite de 108° (33).

Un polygone qui a , comme le pentagone BH1KL , tous ses sommets sur une circonférence , est dit inscrit. Lorsqu’un polygone régulier est inscrit , le centre de la circonférence est aussi le centre du polygone , c’est-à-dire le point également écarté des sommets , ainsi que des côtés qui sont des cordes de même longueur. L’angle formé

F ar des rayons CB, CL menés à deux sommets voisins , est angle au centre du même polygone , et l’indication de cet angle égale 560° divisés par le nombre des côtés. L’arc BL est effectivement la cinquième partie de la circonférence (15). q»

142. Tracer un pentagone régulier dont le côté M est donné (P. U, F. 51).

Faites un pentagone régulier quelconque BHIKL , en suivant le procédé précédent ; portez la longueur M sur un côté BL , de B en K ; par le point N , menez NO parallèlement au rayon CB, jusqu’au prolongement du rayon CL , et par le point O menez OP parallèlement à . BL , jusqu’au prolongement de CB. La droite OP est égale à BN (66) et par suite à M ; de plus , elle est placée comme BL , par rapport aux rayons CB , CL. Si donc , avec CO ou CP , vous décrivez une circonférence concentrique à celle dont BC est le rayon , vous pourrez y porter exactement 5 fois la corde OP, et vous formerez par là le pentagone demandé.

Ce procédé est général : il s’applique à tous les polygones réguliers ; de sorte que pour tracer un polygone régulier dont le côté est donné , il faut commencer par construire un polygone régulier de même nom , dont les côtés aient une longueur arbitraire.