Tracer un dodécagone régulier
Décrivez un cercle quelconque ; tirez deux diamètres dx-querre AB , CD (P. II, F. 54) ; de chaque extrémité de ces diamètres , marquez des arcs de 60°, des deux côtés, avec une ouverture de compas égale au rayon. Comme l’arc AC=90° et que l’arc AE sera de 60°, l’arc EC vaudra 50°; comme l’arc CF sera de 60°, l'arc AF vaudra aussi 50°. La circonférence se trouvera donc partagée en arcs de 50° ou en douze parties égales; par conséquent, les cordes de ces arcs formeront un dodécagone régulier AFECGHBIKDLM.
-147. Tracer un pentêdècagone régulier.
Décrivez un cercle arbitrairement; cherchez la corde de 36 degrés (141) et portez-la sur la circonférence, d’un point quelconque A en un point B (P. Il, F. 55) ; rappor-
POLTGOÎfES RÉGULIERS.
lez ensuite le rayon AC, de A en D. L’arc AD sera de 60°; l’arc BD qui vaut AD — AB , aura donc 24° excès de G0° sur 56°. Or , 24° est précisément la quinzième partie de 360°. Vous pourrez donc porter la corde BD exactement 13 fois sur la circonférence. Joignant chaque point de division au point voisin , vous aurez enfin le pentédécagone demandé.
148. La Géométrie élémentaire ne fournit point de procédé pour tracer exactement les polygones réguliers de / , 9, 11,13, 17 côtés , ni ceux dont le nombre de côtés est multiple d’un quelconque de ces nombres. Quant aux multiples des polygones dont vous venez d’apprendre la construction , la Géométrie n’ enseigne à tracer rigoureusement que ceux qui sont indiqués par les nombres 16, 52, 64 et ainsi de suite en doublant toujours , par les nombres 20, 40, 80 et ainsi de suite en doublant toujours, par les nombres 24 , 48 , 96 , etc., et par les nombres 30, 60 , 120 ; etc. Le procédé est le même pointons ces polygones : il consiste à faire un octogone régulier inscrit , ou un décagone , ou un dodécagone , ou un pentédécagone , et à diviser en 2, 4, 8, etc., parties égales, les arcs dont les côtés du polygone tracé sont les cordes
S . De cette façon , l’octogone régulier , par exemple , nirale polygone régulier de 16 côtés , celui-là produira le polygone de 32 côtés, ce dernier donnera le polygone de 64 côtés , et ainsi des autres.
149. Les tracés des polygones réguliers conduisent à établir en principe , qu’une circonférence qui passe par 5 sommets d un de ces polygones , passe aussi par tous les autres; elle est dite alors circonscrite au polygone. Le procédé au moyen duquel on fait passer un cercle par 3 points (63) , peut donc servir à circonscrire une circonférence à un polygone régulier.
Si du centre À d'un polygone régulier quelconque (P. U, F. 56), on abaisse une perpendiculaire sur un côté BC , et qu’avec AD pour rayon , on décrive un cercle , du point A, ce cercle aura le côté BC et tous les autres pour tangentes (51), car toutes les perpendiculaires AI), AE, etc., ont même longueur , attendu que les triangles CAB, BAF, etc., sont égaux, par suite de l'égalité qui existe entre leurs côtés correspondans(106). Dans cette pdsition , la circonférence est dite inscrite au polygone ou bien la polygone est dit circonscrit au cercle.
COMPAXAISON DES POLYGONES.
130. L’égalité de deux polygones quelconques a lieu dans des circonstances analogues à celles où existe l’égalité des quadrilatères (118). Il faut que les côtés de run et les diagonales tirées efun des sommets , soient de même longueur que les côtés correspondons et les diagonales correspondantes de Vautre ; car alors la première figure se trouve composée de triangles égaux à ceux de la seconde , et comme les triangles égaux sont placés dans le meme ordre, les deux polygones peuvent se couvrir exactement.
Vous pourrez donc faire un polygone qui soit égal à un polygone quelconque et donné , en suivant ce qui a été prescrit pour copier exactement un quadrilatère (118).
151. Deux polygones réguliers sont égaux , lorsqu'ils portent le même nom et que le côté de l'un est égal au côté de Vautre ; car alors tous les angles (140) et tous les côtés du premier (97) sont égaux aux angles et aux côtés du second ; d’où ü suit que les deux figures peuvent se couvrir exactement.
Construire un polygone régulier qui soit égal à un polygone régulier donné , revient donc à tracer un polygone régulier de même nom dont le côté est connu (142).
152. Deux polygones semblables sont composés dun même nombre de triangles semblables } placés dans le même ordre.
Si nous supposons , par exemple , que les angles du polygone ABCDE soient égaux aux angles de même rang du polygone abede (P. II, F. 58), et que les côtés du premier contiennent les côtés correspondans du second le même nombre de fois (97), les trois triangles formés dans le premier , par les diagonales tirées du sommet A , seront semblables aux trois triangles formés dans le second , par les diagonales tirées du sommet a.
En effet, de ce que l’angle B —b et de ce que AB contient ab comme BG contient bc , résulte la similitude des triangles BCA, bca (110), et de plus l’égalité des angles BOA, bca. Or, de celte dernière égalité et de ce que l’angle BCD=ic</, suit que l’angle ACD = acd. La similitude des deux triangles fait d’ailleurs que AC contient ac comme BC contient bc , et parce que BC contient bc comme CD contient cd, AC contient ac comme CD contient cd. Les deux triangles ACD, acd se trouvent donc dans le cas des premiers et sont semblables.
On démontrerait par le môme raisonnement, la simililude des triangles suivans , s’il y en avait plus de trois , et celle des derniers , comme celle des premiers.
Il suffit donc pour prononcer tjue deux polygones quelconques sont semblables , d’avoir reconuu qu’ils sont composés d’un même nombre de triangles semblables, placés dans le même ordre.
Pour les polygones réguliers , le caractère de la similitude est beaucoup plus simple : Deux polygones réguliers sont semblables , s'ils portent le même nom. Alors en elTet, les angles de l’un égalent les angles de l’autre (140), et deux côtés correspondans se contiennent comme deux autres côtés correspondans quelconques, puisque dans chaque Ggure tous les côtés ont même longueur.
Deux polygones semblables se contiennent comme les quarrès numériques de deux quelconques de leurs droites correspondantes .
Deux choses se contiennent nécessairement comme leurs fractions de même dénominateur , comme leurs moitiés , comme leurs tiers, par exemple. Conséquemment, deux polygones semblables doivent se contenir comme les triangles semblables dont ils sont composés , c’est-à-dire comme les quarrés numériques de deux côtés correspondans ou de deux diagonales correspondantes (141).
Il s’ensuit qu’zm polygone qui a pour un de ses côtés, Thypothènuse (Tun triangle rectangle , vaut la somme des deux polygones semblables à lui dont les côtés correspondans sont ceux de F angle droit.
Ce principe est applicable aux cercles, car ces figures
S cuvent être considérées comme des polygones réguliers ’un très grand nombre de fort petits côtés. En effet, plus un polygone régulier a de côtés et moins il diffère du cercle auquel il est inscrit (141); de sorte que le nombre des côtés devenant très-grand, il est impossible à l’ocil de distinguer le cercle du polygone.
Si donc les droites DE, DF, EG (P. Il, F. 49) sont prises égales à des côtés correspondans de polygones semblables, réguliers ou non , FG sera le côté correspondant d’un polygone qui, fait semblable aux polygones donnés, vaudra leur somme ; et dans le cas où DE , DF , EG seraient égales aux rayons ou aux diamètres de différons cercles , FG donnerait le rayon ou le diamètre d’un cercle dont la superficie vaudrait la somme de celles des cercles
402 ‘lever des PI.ASS.
donnés. Ainsi, vous pouvez doubler, tripler, etc., un polygone et un cercle , tout aussi aisément qu’un carré (154).
Jlèduire ou ctendre un polygone.
L’opération revient à diviser le polygone en triangles par des diagonales et à copier ces triangles en petit ou en grand (111). Supposons que vous ayez à réduire au seizième , un plan (P. Il , F. 58) qui présente un polygone ABCDE formé par un clocher A , une croix B , un arbre C , l’intersection I) de deux chemins , et un moulin E. Vous prendrez le quart du côté AB, du côté BG et de la diagonale AG , au moyen d’un angle de réduction (G8) ; vous porterez le quart de AB sur une droite , de a en b • de «, avec le quart de AC pour rayon , vous décrirez un petit arc ; de b , avec le quart de ÈC pour rayon , vous décrirez un autre petit arc qui coupe le premier en c; et le triangle abc , sera la copie au seizième du triangle ABC (111). Ensuite, vous ferez de la même manière, sur ac , la copie du triangle ACD, au moyeu du
3 uart de AD et du quart de CD , puis sur ad r la copie e ADE ; vous obtiendrez ainsi le polygone abede qui sera l’image exacte de ABCDE et dont la superficie contiendra la seizième partie de celle du grand polygone , étant composé de trois triangles égaux chacun au seizième du grand triangle correspondant.
Pour achever la copie du plan , il vous restera à dessiner entre a et d , le chemin AD ; entre d et e, le chemin DE; entre a et e. la rivière AE. On trace à vue ces ligues du plan , en les dirigeant par rapport à ad, de , ac , à-peu-près comme elles sont placées par rapport à AD ,
DE, ÀE.
Cette application vous enseigne aussi comment il faut opérer pour faire un polygone qui soit semblable à un polygone quelconque et donné.
Lever des plans.
155. Il vous serait maintenant facile, en réfléchissant à tout ce que vous avez appris sur les polygones semblables , de découvrir vous-mêmes les procédés à employer pour faire ou lever le plan d'un terrain quelconque , car ce plan n’est autre chose que la copie réduite du polygone ou des polygones dont le terrain est entouré ou couvert. Aous allons néanmoins appliquer les principes à un des cas les plus compliqués , afin d’avoir l’occasion de vous
