Deux prismes quelconques sont équivalent en

volume , quand ils ont des bases équivalentes et meme hauteur. Si , par exemple, le carré A de la figure 50 (P. III), et le triangle ABC de la figure 53 renfermaient la même superficie, que de plus le côté de ce carré égalât A' G (F. 55), le volume du cube serait le même que celui du prisme triangulaire oblique .

En effet , chaque corps peut être considéré comme composé de tranches extrêmement minces parallèles aux bases j ces tranches sont eu même nombre dans l’un et dans l’autre ; elles égalent les bases correspondantes (iaO), et par conséquent , celles du prisme ont meme superficie que celles du cube ; d’où suit que les deux volumes se trouvent composés d’un même nombre d’élémeus équivalons.

Deux prismes quelconques de même hauteur , se contiennent comme leurs bases , et deux prismes qui ont des bases équivalentes , se contiennent, comme leurs hauteurs. Si donc il est reconnu qu’uu prisme rectangle et un prisme triangulaire ont chacun 44““" de base , que la hauteur du premier est lo m et celle du second ii", On pourra être certain que le prisme rectangle vaut trois fois le prisme triangulaire. Cela résulte évidemment de la démonstration précédente. '

Ces principes font éviter de longs mesurages. Supposez,

f iour vous en convaincre , qu’une pile de bois à brûler , ongue de 10“ , contienne 16 cordes, et qu’il s’agisse de corder une autre pile de même hauteur , longue de 40“ . On pourra trouver le nombre des cordes de cette grande pile, en multipliant 16 par le quotient dune des bases divisée par l’autre. Or, les bases sont des rectangles qui ont pour largeur commune la longueur des bûches ; ces bases se eouliennent donc comme leurs longueurs 40 et 10 (120) , c’est-à-dire 4 fois , et l’on trouve que la grande pile renferme 64 cordes , par la simple multiplication des deux nombres 16 et 4.

Si les deux piles de bois avaient même longueur, il y aurait égalité entre leurs bases , et dans le cas oû les hauteurs seraient 12“ et 8“ , la petite contenant toujours 16 cordes, il y en aurait 16X J r :=: 24 dans la grande.

Combien faut-il de briques pour construire une cloison longue de 8“ et faute de 4 m r >

Les briques sont ordinairement posées de champ ; ainsi leur épaisseur est la même que celle de la cloison. Par conséquent , cette cloison doit contenir autant de briques , que sa superficie 32 ni,, ‘ contient une grande face de brique.

Cette grande face a 0"‘,23 sur 0“,412 ; elle est donc de 0""“, 025 76. Divisant 52'°“ par 0"“ u ,025 7G , on trouve 4242 plus une fraction , et l’on en conclut qu’il faut 1245 briques.

204. Deux prismes sont égaux , quand les arêtes , les faces et les coins de l’un sont de meme grandeur que les parties correspondantes de l'autre (92) ; mais il suffit pour prononcer que deux cubes sont égaux , d’avoir reconnu qu’il y a égalité entre les arêtes des deux corps ; car elle existe alors entre les faces, et tous les coins étant droits, sont nécessairement égaux.

Mesurage des prismes.

202. Un prisme présente 6 choses distinctes à mesurer : une arête , la hauteur, une face , la surface latérale , la surface totale et le volume. Le mesurage d’une arête rentre dans celui des droites (71) ; le mesurage d’une face revient à celui des triangles, des quadrilatères, ou des polygones d’un plus grand nombre de côtés. On obtient la surface latérale , en faisant la somme de tous les parallélogrammes qui vont d’une base à l’autre (195), et l’on a la surface totale , si à cette somme on ajoute les deux bases. Quant à la hauteur, elle est donnée par la longueur d’une arête , si le prisme est droit ; elle se prend au fil-àplomb , lorsque le prisme est oblique et à bases horizontales ; enfin , il faudrait un compas analogue à celui des cordonniers , pour mesurer la hauteur du prisme oblique dont les bases seraient inclinées : les petites branches parallèles devraient s’appliquer sur ces bases. Il ne vous reste donc plus qu’à savoir mesurer le volume.

203. L’unité de mesure pour les volumes , est ordinairement le volume d’un cube qui a pour arête l’unité de mesure des longueurs ; c’est pourquoi l’on dit souvent cuber au lieu de mesurer un volume. Si son arête est d’un pouce , l’unité de volume est nommée pouce cube , ce qui signifie cube d’un pouce de côté ; si l’arête est d’un

{ >ied , on a le pied cube ; si elle est d’une toise , elle donne a toise cube.

On peut employer aussi des prismes carres pour mesurer les volumes. Le bois de charpente se mesurait autrefois à la solive ; celte unité avait 42 pieds de longueur et 6 pouces d'érarrissage , c’est-à-dire que scs bases étaient des carrés de G 1 ” de côté. On la partageait en G parties

MESURAGE DES PRISMES. 43f

égales appelées pieds de solive ; le pied de solive valait 42 pouces de solive, le pouce de solive contenait 42 lignes de solive , et la ligue, 42 points.

Il y avait dans l’ancien système de mesures et il y a encore aujourd’hui pour les mesures usuelles dérivées du mètre , la toisc-toise-picd , la toisc-toise-pouce , la toisetoise-ligne. Ce sont des prismes carrés qui ont, comme l’indiquent leurs noms , une toise carrée pour base et un pied ou un pouce ou une ligne pour hauteur.

Le bois de chauffage se mesurait à la corde , et il se mesure encore de même dans un grand nombre de localités. La corde la plus usitée est un prisme carré de 4 pieds d’écarrissage sur 8 pieds de long. On le divise en moitiés , quarts, huitièmes, seizièmes et trente-deuxièmes de corde.

Les unités des anciennes mesures de capacité dérivaient du pied cube et du pouce cube, mais ce n’était ni des cubes , ni des prismes carrés. Elles variaient tellement d’un lieu à un autre , et par suite le nombre en était si grand , qu’il serait à-peu-près inutile d’en citer quelques-unes. Il suffira d’ailleurs , pour pouvoir les employer avec les méthodes de mesurage qui vont être enseignées , de connaître leurs valeurs en pieds cubes ou en pouces cubes.

• 204. Le cube qui sert à mesurer les volumes , selon le système décimal , se nomme millimètre cube , si l’arête est d’un millimètre ; centimètre cube , si l’arête a un centimètre j décimètre cube ou litre , si l’arête est d’un décimètre ; mètre cube ou stère , si l’arête a un mètre.

Les dixièmes, centièmes, millièmes, etc., du mètre cube , sont des prismes carrés qui ont un mètre carré de base et un décimètre , ou un centimètre , ou un millimètre , etc. „ de hauteur (200).

Les subdivisions du litre sont le décilitre ou dixième et le centilitre ou centième ; les composés sont le décalitre ou dixainc , l 'hectolitre ou centaine.

Le stère n’a pas d’autres subdivisions que le décistère ou dixième , ni d’autre composé que le décastère ou dixaine.

205. Un prisme rectangle quelconque contient l’unité de mesure prismatique ou cubique , autant de fois que l’indique le produit de la superficie de sa base multipliée par sa hauteur ou longueur. En effet , supposons que cette longueur A' A" donnée par l’élévation A'A"B"B' du prisme (P. III , F. 54) , contienne 4 fois la hauteur de l’unité de mesure. Si nous coupions le corps à tous les points de divi-

sion et parallèlement à la base , il se trouverait décomposé en k prismes rectangles qui auraient des bases égales , des hauteurs égales et par suite mémo volume (200). Tous contiendraient donc l’unité de mesure le même nombre de fois , et il suffirait de multiplier ce nombre de fois par le nombre U de ces petits prismes , pour avoir la mesure du grand. Or, le premier contiendrait l’unité de mesure au-

tant de fois que sa base, qui est la base ABCD du grand prisme , pourrait recevoir la base carrée de cette unité , c’est-à-dire autant de fois que le marque la superficie de ABCD (125). Donc, pour connaître le volume dun prisme rectangle , il faut multiplier la superficie de la base , mesurée avec la base de l’unité de volume , par la hauteur , mesurée avec celle de la même unité. Cette superficie est ici 35 et le volumo est par conséquent 35X4—140.

Comme la superficie de la base ABCD est égale au produit des 7 imités de AB largeur du prisme, multipliées par les 5 unités de l’épaisseur AD , on peut dire aussi que le volume de tout prisme rectangle égale le produit de sa largeur de son épaisseur et de sa hauteur , mesurées avec la largeur , l’épaisseur et la hauteur de l’unité de volume. De là cette formule V.P.R=LXEXH> dans laquelle V.P.R signifie volume prismatique rectangle.

Ainsi , lorsque vous voudrez mesurer un prisme rectangle en mètres cubes , vous mesurerez les trois dimensions avec le mètre , vous multiplierez deux des longueurs l’une par l’autre, puis le produit par la 5 e . Lorsqu’il faudra mesurer en toise-toisc-pieds , vous prendrez en toises les deux dimensions de la base du prisme , et vous multiplierez leur produit par la hauteur exprimée en pieds.

206. Il suit de là que la toise cube , cas particulier du prisme rectangle, contient 216 pieds cubes, car 6X6X® ==216; que le pied cube vaut 1728 pouces cubes, car •12X12X12=1728 ; que le pouce cube égale 1728 lignes cubes ; que le mètre cube renferme 1000 décimètres cubes, puisque 10X10X10=1000 ; que le décimètre cube se compose de 1000 centimètres cubes, et que le centimètre cube vaut 1000 millimètres cubes.

Vous voyez aussi que la solive égale 5 pieds cubes (205), puisque 6^X6 f,> Xl2 p! =^X3 pi X12 pi =y ii X12 pi =V 1 ' ic > conclucz-cn que la solive est contenue dans la toise-cube autant que 5 1 ”' dans 216?'-', ou 72 fois. La toise-toisepied, qui est - de la tQise-cube, vaut de même 72 fois le pied de solive qui est ^ de la solive ; la toise-toisc-pouce.

douzième de la toise-toise-pied , contient 72 fois le pouce de solive, douzième du pied de solive; et entin la toisetoise-ligne, douzième de la toise-toise-pouce, comprend 72 fois la ligne de solive, douzième du pouce de solive.

207. Mesurer un prisme rectangle en mètres cubes et parties décimales.

Supposons que la longueur soit 1 5“, 35, que la largeur soit 7'“, 15 ctquel’épaisscurait2 m ,328.Lafonnulcdun o 205 vous donnera V.P.R=7 m ,15X2^28X15“,55=16 m, ”,6452 X13"‘,55=255 rac , 50582. L’abréviation me signifie mètres cubes.