Nous ne-^iterons qu'un seul exemple

Un fil AyLB (fig, -36) ^tant attaché par ses extrémités à deux points fixes A, B, si, au moyen d'une pointe M, on tend ce fil, et si l'on fait mouvoir la pointe, de manière que le fil soit toujours tendu, la pointe j décrira une courbe DCM qui, comme on sait, est une ellipse dont les points fixes A, B sont les foyers. D'après la génération de cette courbe, il est très facile de lui mener une tangente par la méthode de Roberval. En effet, puisque la longueur du fil ne change pas, dans chaque instant du mouvement le rayon AM s'allonge de la même quantité dont le rayon BM se raccourcit. La vitesse du point décrivant dans la direction AM est donc égale à sa vitesse dans la direction MQ. Donc, si l'on porte sur MB, et sur le prolongement de AM, des droites égales MQ, MP, et si l'on achève le parallélogïïimme MPRQ, la diagonale MR de ce parallélogramme sera la direction du point gêné-

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ' iSg

rateur en M, et, par conséquent, la tangente au même point de la courbe. On voit clairement, d'après cela, que dans l'ellipse la tangente partage en deux parties égales l'angle BMP formé par un des rayons vecteurs et par le prolongement de l'autre ; que les angles AMS et BMR sont égaux entre eux, et que la courbe doit avoir la propriété de réfléchir à un des foyers les rayons de lumière émanés de l'autre.

Il est facile d'étendre la méthode de Roberval au cas des trois dimensions, et de l'appliquer à la construction des tangentes des -courbes à double courbure. En effet, si un point générateur se meut dans l'espace, de manière qu'à chaque instant de son mouvement il soit poussé vers trois points différents, la ligne qu'il parcourt, et qui, dans quelques cas particuliers, peut être plane et même droite, est en général une courbe à double courbure. On aura la tangente de cette courbe en un point quelconque, en menant par ce point des droites, suivant lea trois directions différentes des mouvements du point générateur ; en portant sur ces droites, et dans le sens convenable, des parties proportionnelles aux trois vitesses respectives de ce point, en achevant le parallélépipède; et en menant la diagonale du parallélépipède, qui sera la tangente de la courbe au point que l'on considère.

87. Nous allons appliquer cette méthode à un cas analogue à celui de l'ellipse; et la figure 87, que nous allons employer, représentera l'objet en perspective, et non pas en projection.

Trois points fixes A, B, C étant donnés dans l'espace, soit un premier fil AMB attaché par ses deux extré-

l4o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

mités aux points A et B 5 soit un autre fil AMC, d'une grandeur indépendante de celle du premier, et qui soit attaché par ses extrémités aux deux points A et C ; si un point générateur, saisissant en même temps les deux fils, se meut de manière que ces fils soient toujours tendus, il parcourra une courbe à double courbure (^). Pour mener à cette courbe une tangente au point M, il faut remarquer que la longueur du premier fil AMB étant constante dans chaque instant du mouvement, la quantité dont la partie AM s'allonge est égale à celle dont la partie MB se raccourcit, et que la vitesse du point générateur dans la direction AM est égale à sa vitesse dans la direction MB. De même, la longueur du fil AMC étant constante, la vitesse du point générateur dans la direction MC est encore égale à sa vitesse dans la direction AM. Donc, si sur le prolongement de AM, et sur les droites MB, MC, on porte les parties égales MP, MQ, MR, et si l'on achève le parallélépipède MPUSVQRT, la diagonale MS de ce parallélépipède sera la tangente demandée.

Comme la méthode de Roberval est fondée sur le

(^) M. Dupin, en s'occupant de la détermination d'une sphère tangente à trois autres, a fait voir que la courbe indiquée ci-dessus comme à double courbure, est plane et du second degré ; ce qui tient à la théorie générale du nombre infmi de foyers qui appartiennent à chaque courbe du deuxième degré. Voir la Correspondance sur l'École Polytechnique, t. I, p. 22 ; t. II, p. 887, et les Développements de Géométrie, par M. Dupin, p. 280. (Note communiquée par M. Dupin. )

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principe de la composition du mouvement, il est facile d'apercevoir que, dans les cas moins simples que ceux que nous avons choisis pour exemples, on peut s'aider des méthodes connues pour trouver la résultante de forces qui sont dirigées vers un point, et dont on connaît les grandeurs et les directions.