MONGE. — I

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porter successivement sur l'arc de cercle STU de S en des points T. Pour cela, la courbe sphérique étant à double courbure, il faut lui faire perdre successivement ses deux courbures, sans altérer sa grandeur, de la manière suivante :

L'intersection sphérique étant projetée sur le pian horizontal en NJKH (flg. 3i), on peut la regarder comme tracée sur la surface d'un cylindre vertical, dont la base serait NJKH : on pourra donc développer cette surface, comme nous l'avons indiqué (fig. 27), et rapporter sur cette surface cylindrique développée l'intersection sphérique, en développant l'arc NJ (fig. 3i) en N' J' (fig. 82), et en portant la verticale i' i (fig. 3i) perpendiculairement à N'N' (fig. 82) de J' en J". La courbe N"J"K"H"N'', qui passera par tous les points J" ainsi déterminés, sera l'intersection sphérique privée de sa courbure horizontale, sans avoir changé de longueur. On aura la tangente au point J'^ de cette courbe, en prenant JP (fig. 81) et la portant sur N'N' (fig. 82) de J' en P', et menant la droite J"P\

Actuellement, on développera la courbe N" J^K^'H^N" pour la replier sur l'arc STU (fig. ZZ) : par exemple, on portera l'arc N" J" de S en T, et le point T sera sur la surface conique développée, le point où s'applique celui de l'intersection sphérique, dont les projections sont J, i (fig. 81). Donc, si l'on mène la droite RT, on aura sur le développement de la surface la génératrice dont la projection horizontale est AC (fig. 81); enfin, s'il se trouve sur cette génératrice un point qu'il faille rapporter sur la surface développée, il ne s'agira plus que de prendre (fig. 3i) la distance de ce point au sommet de la surface conique, et de la porter (fig. ZZ)

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sur RT de R en V; et le point V sera sur la surface développée celui que l'on considère.

82. Septième question. — Construire l'intersection de deux surfaces cylindriques à bases quelconques ?

Solution. — Lorsque, dans la recherche qui donne lieu à la question dont il s'agit, on n'a pas d'autres intersections à considérer que celle des deux surfaces cylindriques, et surtout quand ces surfaces sont à bases circulaires, il est avantageux de choisir les plans de projection de manière que l'un d'entre eux soit parallèle aux génératrices des deux cylindres : par là l'intersection se construit sans employer d'autres courbes que celles qui sont données. Mais, lorsqu'on doit considérer en même temps les intersections de ces surfaces avec d'autres, il n'y a plus d'avantage à changer de plans de projection; et même il est plus •facile de se représenter les objets en les rapportant tous aux mêmes plans.

Nous allons donc supposer les génératrices des deux surfaces placées d'une manière quelconque, par rapport aux plans de projection.

Soient donc {fig. 34) TFF'U, XGG'V les traces horizontales données des deux surfaces cylindriques ; AB, ab les projections données de la droite à laquelle la génératrice de la première doit être paral- .lèle; CD, cd celles de la droite à laquelle doit être parallèle la génératrice de la seconde. On concevra une série de plans parallèles aux deux génératrices. Ces plans couperont les deux surfaces dans des lignes droites ; et les rencontres des ^eux sections faites dans

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la première surface, par les sections faites dans la seconde, détermineront les points de l'intersection demandée.

Ainsi, après avoir construit, comme dans la figure i5, la trace horizontale AE d'un plan mené par la première droite donnée parallèlement à la seconde, on mènera parallèlement à cette trace tant de droites FG' qu'on voudra, et Ton regardera ces parallèles comme les traces des plans de la série. Chaque droite FG' coupera la trace de la première surface en des points F, F', et celle de la seconde en d'autres points G, G', par lesquels on mènera aux projections des génératrices respectives les parallèles FH, F'H', ..., GJ, G' J', ... ; et les points de rencontre P, Q, R, S, de ces droites, seront les projections horizontales d'autant de points de l'intersection des deux surfaces. En opérant de même pour la suite des droites FG', on trouvera une suite de systèmes de points P, Q, R, S, et la courbe qui passera par tous les points trouvés de la même manière sera la projection horizontale de l'intersection.

Pour avoir la projection verticale, on projettera sur LM les points F, F', . . ., G, G', ... en /, /', . . ., g, g', . . ., et, par ces derniers points, on mènera aux projections des génératrices respectives les parallèles //i, /' /i', . . . , gi, g' i'j ... qui, par leurs rencontres, détermineront les projections verticales p, g, r, s des points de l'intersection. En opérant de même pour toutes les autres droites FG', on aura de nouveaux points p, ç, r, 5; et la courbe qui passera par tous ces points sera la projection verticale de l'intersection.

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Pour avoir les tangentes de ces courbes aux points R et p, on construira la trace horizontale F' Y du plan tangent en ce point à la première surface cylindrique | puis la trace G' Y du plan tangent en ce même point à la seconde ; et la droite, menée du point P au point Y de rencontre de ces traces, sera la tangente en P. Enfiil, projetant Y sur LM en ?/, et menant la droite py, on aura la tangente au point p de la projection verticale.

83. Huitième question. — Construire l'intersection de deux surfaces de révolution, dont les axes sont dans un même plan ?

Solution. — On disposera les plans de projection de manière que l'un d'entre eux soit perpendiculaire à l'axe d'une des surfaces, et que l'autre soit parallèle aux deux axes. D'après cela, soient A {fig, 35) la projection horizontale de l'axe de la première surface, aa' sa projection verticale, et cde la génératrice donnée de cette surface. Soient AB, parallèle à LM, la projection horizontale de l'axe de la seconde surface, a'b sa projection verticale, de manière que A et a' soient les projections du point de rencontre des deux axes; et soit fgh la génératrice donnée de cette seconde surface. On concevra une série de surfaces sphériques, dont le centre commun soit placé au point de concours des deux axes. Pour chacune des surfaces de cette série, on construira la projection iknopq du grand cercle parallèle au plan vertical de projection; et ces projections, qui seront des arcs de cercle décrits du point a' comme centre, et avec des rayons arbitraires, couperont les deux génératrices en des points A, p.

Cela posé, chaque surface sphérique coupera la première surface dans la circonférence d'un cercle, dont le plan sera perpendiculaire à Taxe aa\ et dont on aura la projection verticale en menant l'horizontale ko^ et dont on aura la projection horizontale en décrivant du point A comme centre, et d'un diamètre égal à Ao, la circonférence de cercle KROR'. De même chaque surface sphérique de la série coupera la seconde surface de révolution dans la circonférence d'un cercle dont le plan sera perpendiculaire au plan vertical de projection, et dont on aura la projection verticale en menant par le point p une droite pn perpendiculaire à a'b.

Si le point r, dans lequel se coupent les deux droites ko, pn, est plus près des deux axes respectifs que n'en sont les points /r, p, il est évident que les deux circonférences de cercles se couperont en deux points, dont le point r sera la projection verticale commune ; et la courbe menée par tous les points r, construits de la même manière, sera la projection verticale de l'intersection des deux surfaces. Projetant le point r sur la circonférence du cercle KROR' en R et R', on aura les projections horizontales des deux points de rencontre des circonférences de cercles qui se trouvent sur la même sphère; et la courbe menée par tous les points R, R', construits de la même manière, sera la projection horizontale de l'intersection demandée.

Ces exemples doivent suffire pour faire connaître la manière dont il faut employer la méthode de construire les intersections des surfaces et de leur mener des tangentes, surtout si les élèves s'appliquent à construire avec la plus grande exactitude, s'ils emploient de

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grandes dimensions, et si, autant qu'il sera possible, ils tracent les courbes dans toute leur étendue.

84. Dans tout ce qui précède, nous avons regardé les courbes à double courbure comme déterminées chacune par deux surfaces courbes dont elle est l'intersection, et c'est, en effet, le point de vue sous lequel elles se présentent le plus ordinairement dans la Géométrie descriptive. Dans ce cas, nous avons vu qu'il est toujours possible de leur mener des tangentes. Mais, de même qu'une surface courbe peut être définie au moyen de la forme et du mouvement de sa génératrice, il peut arriver aussi qu'une courbe soit donnée par la loi du mouvement d'un point générateur; et alors, pour lui mener une tangente, si l'on ne veut pas avoir recours à l'Analyse, on peut employer la méthode de Roberval. Cette méthode, qu'il inventa avant que Descartes eût appliqué l'Algèbre à la Géométrie, est implicitement comprise dans les procédés du Calcul différentiel, et c'est pour cela que les éléments de Mathématiques n'en font pas mention; nous nous contenterons ici de l'exposer d'une manière sommaire. Ceux qui désireront en voir des applications nombreuses pourront consulter les Mémoires de VAcademie des Sciences, antérieurs à 1699, dans lesquels les ouvrages de Roberval ont été recueillis.

85. Lorsque, d'après la loi de son mouvement, un point générateur est perpétuellement poussé vers un même point de l'espace, la ligne qu'il parcourt en vertu de cette loi est droite; mais si, dans chaque instant de son mouvement, il est en même temps poussé vers

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deux points, la ligne qu'il parcourt, et qu^, dans quelques cas particuliers, peut encore être une droite, est en général une ligne courbe. On aura la tSMigente à cette courbe en menant par le point de la courbe deux droites, suivant les deux directions différentes du mouvement -du point générateur, en portant sur ces directions, et dans le sens convenable, des parties proportionnelles aux deux vitesses respectives de ce point, en achevant le parallélogramme, et en menant la diagonale, qui sera la tangente demandée f car cette diagonale sera dans la direction du mouvement du point décrivant, au point de la courbe que l'on considère.