GAUTHIER-VILLARS ET C", ÉDITEURS

LIBRAIRES DO BUREAU DBS LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE

Quai des Grands-Augustins, 55.

Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays.

GÉOMÉTRIE DESCHIPTIVE

APPLICATION DE LA MÉTHODE DE CONSTRUIRE LES INTERSECTIONS DES SURFACES COURBES A LA SOLU- TION DES DIVERSES QUESTIONS.

88. Nous avons donné [fig. '26) la méthode de construire les projections de l'intersection de deux surfaces courbes définies de forme et de position; et nous l'avons fait d'une manière abstraite, c'est-à-dire sans nous occuper de la nature des questions qui pourraient rendre nécessaires de pareilles recherches, l/exposition de cette méthode, considérée d'une manière abstraite, serait suffisante pour le plus grand nombre des arts; car, si l'on prend pour exemples Fart de la coupe des pierres et celui de la charpenterie, les surfaces courbes que l'on y considère, et dont on peut avoir besoin de construire les intersections, forment (irdinairement l'objel princi[)al dont on s'occupe, et elles se présentent naturellement. Mais la Géométrie descriptive devant devenir un jour une des parties principales de l'éducation nationale, parce que les méthodes qu'elle donne sont aussi nécessaires aux artistes que le sont la lecture, Técriture et Tarithmétique, nous croyons qu'il est utile à-^ faire voir par quelques exemples comment elle peut suj'pléer l'Ana-

MONOt. — II. I

lyse pour la solution d'un grand nombre de questioiis, qui, au premier aperçu, ne paraissent pas de nature à devoir être traitées de cette manière. Nous commencerons d'abord par des exemples qui n'exigent que les intersections de plans, nous passerons ensuite à ceux pour lesquels les intersections de surfaces courbes sont nécessaires.

89. La première question qui frappe d'une manière remarquable ceux qui apprennent les éléments de Géométrie ordinaire est la recherche du centre du cercle dont la circonférence passe par trois points placés arbitrairement sur un plan. La détermination de ce centre par l'intersection de deux lignes droites, sur chacune desquelles il doit se trouver nécessairement, frappe les élèves, et par sa généralité, et parce qu'elle donne un moyen d'exécution. Si toute la Géométrie était traitée de cette manière, ce qui est possible, elle conviendrait à un plus grand nombre d'esprits; elle serait cultivée et pratiquée par un plus grand nombre d'hommes; l'instruction moyenne de la nation serait plus avancée, et la science elle-même serait poussée plus loin. Il existe dans les trois dimensions une question analogue à celle que nous venons de citer, et c'est par elle que nous allons commencer.

90. Première question. — Trouver le centre et le rayon d'une sphère dont la surface passe par quatre points donnés arbitrairement dans l'espace ?

Solution. — Les quatre points étant donnés par leurs projections horizontales et verticales, on con-

cevra par l'un d'eux des droites menées à chacun des trois autres; et l'on tracera les projections horizontales et verticales de ces trois droites. Puis, considérant la première de ces droites, il est évident que le centre demandé devant être à égale distance de ses deux extrémités, il doit se trouver sur le plan perpendiculaire à cette droite, et mené par son milieu. Si donc on divise en parties égales les projections de la droite, ce qui donnera les projections de son iniiieu, et si l'on construit les traces du plan mené par le point perpendiculairement à la droite, ce que nous savons faire, on aura les traces d'un plan sur lequel le cenire demandé doit se trouver. Considérant ensuite les deux autres droites, et faisant successivement pour chacune d'elles la même opération, on aura les traces des trois plans différents, sur chacun desquels doit se trouver le centre demandé. Or, de ce que le centre doit être sur le premier de ces pians et sur le second, il doit être sur la droite de leur intersection; donc, si l'on construit les projections de cette intersection, on aura, sur chaque plan de projection, une droite qui contiendra la projection du centre. Par la même raison, si l'on construit les projections de l'intersection du premier plan et du troisième, on aura encore, sur chaque plan de projection, une autre droite qui contiendra la projection du centre. Donc, sur chaque plan de projection on aura deux droites qui, par leur intersection, détermineront la projection demandée du centre de la sphère.

Si l'on employait l'intersection du second plan et du troisième, on aurait une troisième droite qui passerait par le centre, et dont les projections passeraient

encore par les projections demandées, ce qui fournit un moyen de vérification.

Quant au rayon, il est évident que si, par la projection du centre et par celle d'un des points donnés, on mène une droite, elle sera sa projection; on pourra donc avoir la projection horizontale et la projection verticale du rayon, et par conséquent sa grandeur.

91. Si l'on est libre de choisir la position des plans de projection, la méthode précédente peut être considérablement simplifiée. En effet, supposons que celui de ces plans que nous regardons comme horizontal (fig. 38) passe par trois des points donnés, de manière que des projections données A, B, C, D des quatre points, les trois premières se confondent avec leurs points respectifs; puis, après avoir mené les trois droites AB, AC, AI), supposons que le plan vertical soit parallèle à AD, c'est-à-dire que les droites TiM et AD soient parallèles entre elles; les projections verticales des trois premiers points seront sur LM en des points a, ^, c, et celle du quatrième sera donnée (jnelque part en un point d de la droite Dd perpendiculaire à LM. Cela posé, la droite menée du point A au point B étant horizontale, tout plan qui lui sera perpendiculaire sera vertical, et aura pour projection horizontale une droite perpendiculaire à AB. Il en est de même pour la droite menée du point A au point C. Donc, si sur le milieu de AB on lui mène la perpendiculaire indéfinie Ee, cette perpendiculaire sera la projection horizontale d'un plan vertical qui passe par le centre de la sphère; donc la projection horizontale du centre sera quelque part sur la droite Ee. De même,

si sur le milieu de AG on lui mène la perpendiculaire indéfinie F/, cette perpendiculaire sera la projection d'un second plan vertical qui passe par le centre de la sphère, et la projection horizontale de ce ceîitie fera quelque part sur un point de la droii(; l'Y; donc \() point G d'intersection des deux droites Ee, F/ sera la projection horizontale du centre de la sphère, dont la projection verticale sera, par conséquent, sur la droite indéfinie de projection Ggg'.

La droite menée du point A au quatrième point étant parallèle à sa projection verticale ad, tout plan qui lui sera perpendiculaire sera aus^i perpendiculaire au plan vertical de projection, et aura pour projection verticale une droite perpendiculaire à ad. Donc, si sur le milieu de ad on lui mène une perpendiculaire indéfinie HA, on aura la projection d'un troisième plan qui passe par le centre de la sphère; donc la projection verticale de ce centre, devant se trouver en même temps et sur gg' et sur Hh, sera au point K d'intersection de ces deux droites.

Enfin, si l'on mène les deux droites AG, aK, on aura évidemment les deux projections d'un même rayon de la sphère; donc, si l'on porte AG sur LM, de g en J, la droite JK sera la grandeur du rayon demandé.

92. Deuxième question. — • Inscrire une sphère dans une pyramide triangulaire donnée, c'est-à-dire trouver la position du centre de la sphère et la grandeur de son rayon?

Solution. — La surface de la sphère inscrite devant toucher les quatre faces de la pyramide, il est évident

que si par le centre de la sphère et par chacune des six arêtes on conçoit un plan, ce plan partagera en deux parties égales l'angle que forment entre elles les deux faces qui passent par la même arête. Si donc ]u»rmi les six arêtes on en choisit trois qui ne passent }»as toutes par le même sommet d'angle solide, et si par chacune de ces arêtes on fait passer un plan qui partage en deux parties égales l'angle formé par les deux faces correspondantes, on aura trois plans, sur chacun desquels le centre de la sphère demandée doit se trouver, et qui, par leur intersection commune, doivent déterminer la position.de ce centre.

9^1 Pour sinq)lilier la construction, nous supposerons que les plans de projection aient été choisis de manière (juc celui que nous regarderons couihkî horizontal soit le même qu'une des faces de la pyramide.

Soient donc {fig. Sg) A, B, C, D les projections horizontales données^ des sommets des quatre angles solides de la pyramide, et a, ^, c, d' leurs projections verticales; par le sommet de la pyramide, on concevra des plans perpendiculaires aux trois côtés de la base; ces plans seront verticaux, et leurs projections horizontales seront les droites DE, DF, DG, abaissées perpendiculairement du point D sur les côtés AC, GB, BA de la base. Chacun de ces })]ans coupera la base de la pyramide et la face qui passe par l'arête en deux droites qui comprendront entre elles un angle égal à celui que la face forme avec la base. Si donc on porte sur LM les droites DE, DF, DG, à partir de la verticale T>dd\ de d en e, /, g:, et si par le som-

Fi^ 3y

met à' on mène les droites à' e,, d'f^ d' g^ ces droites formeront avec LM des angles égaux à ceux que les faces correspondantes de la pyramide forment avec la base; et si l'on partage chacun de ces trois angles en deux parties égales par les droites ee\ ff\ gg\ les angles que ces dernières droites formeront avec LM seront égaux à ceux que formeraient avec la base les faces d'une seconde pyramide qui aurait la même base que la pyramide donnée, et dont le sommet serait au centre de la sphère demandée.

Pour trouver le sommet de cette seconde pyramide, on la coupera par un plan horizontal, mené à une hauteur arbitraire, et dont on aura la projection verticale, en menant une horizontale quelconque pn. Cette droite coupera ee', ff\ gg' en des points h\ i'. A', desquels on abaissera sur LM les verticales hh^ i' i, k'k] et si l'on porte les trois distances e/i, /i, kg sur les perpendiculaires respectives de E en H, de F en J et de G en K, on aura en H, J, K les projections horizontales de points pris dans les trois faces de la seconde pyramide, et qui se trouvent sur le plan horizontal arbitraire. Donc, si par les points H, J, K on mène aux côtés respectifs de la base des parallèles PN, NO, OP, ces droites seront les projections des sections des trois faces de la seconde pyramide par le même plan horizontal ; elles se couperont en des points N, 0, P, qui seront les projections d'autant de points des trois arêtes de la seconde pyramide; et si par ces points on mène aux sommets des angles respectifs de la base des droites indéfinies AP, BO, CN, ces droites seront les projections des arêtes; enfm, le point unique Q, dans lequel elles se rencontreront toutes

trois, sera la projection horizontale du sommet de la seconde pyramide, et par conséquent du centre de la sphère demandée.

Pour avoir la projection verticale de ce centre, on raènera d'abord la droite indéfinie de projection Qq(/, sur laquelle elle doil se trouver; puis ou projet lera les trois points N, 0, P sur l'horizontale np en n, o, p; par les projections «, b, c, des sommets des angles respectifs de la base, on mènera les droites op, ho, en, qui seront les projections verticales des trois arêtes; et le point unique q', dans lequel ces trois dernières droites se couperont et qui sera en même temps sur la droite Qqq\ sera la projection verticale du centre de la sphère.

Enfin, la verlicaic qq' sera évidemment égale au rayon de la sphère inscrile, et les points Q, q seront les projections du point de contact de la surface de la sphère avec le plan de la base.

94. Nous avons fait voir (3) par quelles considérations on pouvait déterminer la position d'un point, lorsque l'on connaissait ses distances à trois points connus de position; nous allons actuellement donner la construction de cette question.

Troisième question. — Construire les projections d'un point dont on connaît les distances à trois autres points donnés dans l'espace?

Solution. — Nous supposerons les plans de projection choisis de manière que celui que nous regarderons comme horizontal passe par les trois points donnés, et que l'autre soit perpendiculaire à la droite

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Il

qui joint deux de ces points. D'après cela, soient A, B, G {fi g. 4o) les trois points donnés ; A', B', C les distances données de ces points au point Jcniandé. On joindra deux des points par la droite AB, perpendiculairement à laquelle on mènera LM «pii détermine la position du plan vertical de prctjccliun. Puis, des points A, B, C, comme centres, et avec des rayons égaux aux dis lances respectives A', B', C/, on décrira trois arcs de cercles qui se couperont deux à deux en des points D, E, F, J, P, Q; par les points d'intersection de ces arcs considérés deux à deux, on liiènera les droites DE, FJ, PQ, qui seront les projections horizontales des circonférences de cercles, dans lesquelles les trois sphères se coupent; et le point unique N, dans lequel ces trois droites se rencontreront, sera évidemment la projection horizontale du point demandé.

Pour avoir la projection verticale du même point, .on mènera la ligne de projection indéfinie ^nn' ; puis, observant que le cercle projeté en DE est parallèle au plan vertical, et que sa projection sur ce plan doit être un cercle de même rayon, on projettera la droite AB ur LM au point r, duquel, comme centre, et avec un intervalle égal à DR, ou à la moitié de DE, on décrira le cercle dnen \ et la circonférence de ce cercle coupera la droite Nn/i' en deux points ti, n', qui seront indifféremment la projection verticale du point demandé.

Ce sera d'après les autres circonstances de la ques tion qu'on déterminera si les deux points n et n' doivent être tous deux employés; et dans le cas où il n'y en aurait qu'un de nécessaire, quel est celui qui doit être rejeté.

Le lecteur pourra se proposer de construire les projections (Tun point dont on connaît les distances à trois lignes données dans Vespace.

95. Quatrième question. — Un ingénieur parcourant un pays de montagnes, soit pour étudier la forme du terrain, soit pour faire le projet de travaux publics qui dépendent de cette forme, est muni d'une carte topographique, dans laquelle non seulement les projections des différents points du terrain sont exactes, mais encore les hauteurs de tous ces points au-dessus d'une même surface de niveau sont indiquées par des nombres placés à côté des points respectifs, et auxquels on a coutume de donner le nom de cotes. Il rencontre un point remarquable qui n'est pas placé sur la carte, soit parce qu'il a été omis, soit parce qu'il a été rendu remarquable depuis la confection de la carte. L'ingénieur ne porte avec lui d'autre instrument d'observation qu'un graphomètre propre à mesurer les angles, et cet instrument est garni d'un fd à plomb.

On demande que, saiis quitter la station, il construise sur la carte la position du point où il est, et qu'il trouve ia cote qui convient à ce point, c'est-à-dire sa hauteur au-dessus de la surface de niveau ?

Moyen de solution. — Parmi les points du terrain marqués d'une manière précise sur la carte, et qui seront les plus voisins, l'ingénieur en distinguera trois, dont deux au moins ne soient pas à la même hauteur que lui; puis il observera les angles formés par la verticale

et les rayons visuels dirigés à ces trois points, et, d'après cette seule observation, il pourra résoudre la <|uestion.

En effet, nommons A, B, C les trois points observés dont il a les projections liorizontales sur la carte, et dont il pourra construire les projections verticales au moyen de leurs cotes. Puisqu'il connaît l'angle formé }»ar la verticale et par le rayon visuel dirigé au point A, il connaît aussi Pangle formé par le même rayon et par la verticale élevée au point A; car en négligeaat la courbure de la terre, ce qui est convenable, ces deux angles sont alternes-internes, et par conséquent égaux. Si donc il conçoit une surface conique à base circulaire, dont le sommet soit au point A, dont l'axe soit vertical, et dont l'angle formé par l'axe et par la droite génératrice soit égal à l'angle observé, ce qui détermine complètement cette surface, elle passera par le rayon visuel dirigé au point A, et par conséquent par le point de la station : ainsi il aura une première surface courbe détei minée, sur laquelle se trouvera le point demandé. En raisonnant pour les deux autres points B, C comme pour le premier, le point demandé se trouvera encore sur- deux autres surfaces coniques à bases circulaires, dont les axes seront verticaux, dont les sommets seront aux points B, C, et pour chacune desquelles l'angle formé par l'axe et par la génératrice sera égal à l'angle formé par la verticale et y)ar le rayon visuel correspondant. Le point demandé sera donc en même temps sur trois surfaces coniques déterminées de forme et de position, et par conséquent dans leur intersection commune. Il ne s'agit donc plus que de construire, d'après les données de la question, les

l4 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces considérées deux à deux; les intersections de ces projections donneront les projections horizontale et verticale du point demandé, et par conséquent la position de ce point sur la carte, et sa hauteur au-dessus ou au-dessous des points observés, ce qui déterminera sa cote.

Cette solution doit en général produire quatre points qui satisfont à la question; mais il sera facile à l'observateur de distinguer parmi ces quatre points celui qui coïncide avec le point de la station. D'abord, il pourra toujours s'assurer si le point de la station est au-dessus ou au-dessous du plan qui passe par les trois points observés. Supposons que ce plan soit au-dessus du plan des sommets des cônes ; il sera autorisé à négliger les branches des intersections des surfaces coniques qui existent au-dessous de ce plan; par là le nombre des points possibles sera réduit à quatre. Ce serait la même chose si le point de la station était au contraire placé au-dessous du pian. Ensuite, parmi ces quatre points, s'ils existent tous, il reconnaîtra facilement celui dont la position, par rapport aux trois sommets, est la même que celle du point de la station, par rapport aux points observés.

96. Construction. — - Soient A, B, C {fig. 4i) ^es projections horizontales des trois points observés, prises sur la carte; a, 5, c les projections verticales des mêmes points, construits en portant sur les verticales B5, Ce, à partir de l'horizontale LM, qui passe par le point a, la différence des cotes des deux autres points; et soient A', B', C les angles observés,

i \ if

que les rayons visuels, dirigés aux points respectifs A, B, G, forment avec la verticale.

On mènera les verticales indéfinies aa', bb', cc\ qui seront les projections verticales des axes des trois cônes; par les trois points «, 6, c, on mènera les droites a/, bin, en, qui formeront avec ces verticales des angles respectivement égaux aux angles donnés A', iV, C'; et ces droites seront chacune la projection verticale de l'un des deux côtés extrêmes de la surface conique correspondanlc.

Cela fait, on mènera dans la projection verticale tant de droites horizontales ee' qu'on voudra; on les regardera comme les projections d'autant de plans horizontaux; et pour chacune d'elles, on fera l'opération que nous allons décrire pour celle d'entre elles qui est indiquée par EE'.

Cette droite coupera les projections des axes des trois cônes en des points /, g, A, cpii seront les projections verticales des centres des cercles, suivant lesquels le plan horizontal correspondant coupe les trois surfaces coniques ; et elle coupera les côtés extrêmes des cônes aZ, èm, en en des points /', g\ A', tels que les distances //', gg\ hh' seront les rayons de ces mêmes cercles. Des points A, B, C, pris successivement pour centres, et avec des rayons respectivement égaux à //', gg', hh\ on décrira des cercles dont les circonférences seront les projections horizontales des sections faites dans les trois surfaces coniques par le même plan EE' ; ces circonférences se couperont deux à deux dans des points D, D', K, Iv', J, J', qui seront les projections d'autant de points des Irois intersections des surfaces coniques considérées deux à deux;

t I. en projetant ces points sur EE' en d^ d\ A-, k\ i, i', on aura les projections verticales des mêmes points des trois intersections.

En opérant ensuite de même pour les autres droites ee\ on trouvera pour chacune d'elles de nouveaux points D, D', K, K', J, .T', dans la projection horizontale, et de nouveaux points c?, d\ /c, k\ i, i\ dans la projection verticale; puis par tous les points D, D', . . ., on fera passer une courbe DPD\ qui sera la projection horizontale de l'interseclion de la première surface conique avec la seconde; par tous les points K, K', ..., on fera passer une autre courbe KPK' qui sera la projection de l'intersection de la seconde surface et de la troisième; et par tous les points J, J', . . ., on en fera passer une dernière JPJ' qui sera la projection de l'intersection de la troisième surface et de la l)remière. Les points P, . . ., dans lesquels ces courbes se couperont toutes trois, seront les projections horizontales d'autant de points qui satisfont à la question.

De même dans la projection verticale, par tous les points d, d\ . . ., on fera passer une première courbe; par tous les points A-, k' ^ . . ., une seconde; et par tous les points i, i\ . . ., une troisième. Ces courbes seront les projections verticales des intersections des trois surfaces considérées deux à deux; et les points />, . . ., dans lesquels ces courbes se couperont toutes trois, seront les projections verticales de tous les points qui satisfont à la question.

Les projections P, p d'un même point seront dans une même perpendiculaire à LM.

L'observateur, après avoir reconnu parmi tous les MON ai;. — 11, J

l8 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

points P celui qui appartient au point de la station, aura la projection horizontale de cette station, et par conséquent sa position sur la carte; puis, au moyen de la hauteur du point correspondant p au-dessus de la droite LM, il aura l'élévation du point de la station au-dessus du point observé A, et par conséquent il trouvera la cote qui convient à la station.

97. Dans cette solution nous avons construit les projections des trois intersections des surfaces, tandis que deux auraient suffi. Nous conseillons d'agir toujours de même, parce que les projections des deux courbes à double courbure peuvent se couper en des points qui ne correspondent pas à des points d'intersection, et que pour reconnaître les projections des points d'intersection, il faut suivre les branches des deux courbes qui sont sur la même nappe d'une des surfaces; ce qui exige une attention pénible, dont on est presque toujours dispensé en construisant les trois courbes; les points où elles se coupent toutes trois sont de véritables points d'intersection.

98. Cinquième question. — Les circonstances étant les mêmes que dans la question précédente, avec cette seule différence que l'instrument n'est pas garni de fil à plomb, de manière que les angles avec la verticale ne puissent pas être mesurés ; on demande encore que l'ingénieur, sans quitter la station, détermine sur la carte la position du point où il est, et qu'il trouve la cote de ce point, c'est-à-dire son élévation au-dessus de la surface de niveau à laquelle tous les points de la carte sont rapportés ?

Moyen de solution. — Après avoir choisi trois poinjs du terrain qui soient marqués d'une manière préeise sur la carte, et tel que le point de station ne soit pas avec eux dans le même plan, l'ingénieur mesurera les trois angles que forment entre eux les rayons visuels dirigés à ces trois points ; et au moyen de cette seule observation, il sera en état de résoudre la question.

En eiïet, si nous nommons A, B, C les trois points observés, et si on les suppose joints par les trois droites AB, BC, CA, l'ingénieur aura les projections horizontales de ces droites tracées sur la carte; de plus, au moyen des cotes des trois points, il aura les différences de hauteur des extrémités de ces droites; il pourra donc avoir la grandeur de chacune d'elles.

Cela posé, si dans un plan quelconque mené par AB on conçoit un triangle rectangle BAD (fig. 42), construit sur AB comme base, et dont l'angle en B soit le complément de l'angle sous lequel le côté AB a été observé, l'angle en D sera égal à l'angle observé, et la circonférence de cercle décrite par les trois points A, B, D jouira de la propriété, que si d'un point quelconque E de l'arc ADB on mène deux droites aux points A et B, l'angle en E qu'elles comprendront entre elles sera égal à l'angle observé. Si donc on conçoit que le plan du cercle tourne autour de AB comme charnière, l'arc ADB engendrera une surface de révolution, dont tous les points jouiront de la même propriété; c'est-à-dire, que si d'un point quelconque de la surface on mène deux droites aux points A et B, ces droites formeront entre elles un angle égal à l'angle observé. Or, il est évident que les

points de cette surface de révolution sont les seuls qui jouissent de cette propriété; donc la surface passera ])ar le point de la station. Si l'on raisonne de la même manière pour les deux autres droites BC, CA, on aura deux autres surfaces de révolution sur chacune desquelles se trouvera le point de la station; ce point sera donc en même temps sur trois surfaces de révolution différentes, déterminées de forme et de position; il sera donc un point de leur intersection commune. Ainsi, en construisant les projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces considérées deux à deux, les points où les projections se couperont elles-mêmes toutes trois seront les projections du point qui satisfait à la question. La projection horizontale donnera la position du point sur la carte, et la projection verticale donnera l'élévalion de ce point au-dessus ou au-dessous des points observés.

99. Si celte question était traitée i)ar l'Analyse, elle conduirait généralement à une équation du 64^ degré; car chacune des surfaces de révolution a quatre nappes distinctes, dont deux sont engendrées par l'arc de cercle ADB, et dont les deux autres sont engendrées par l'arc AFB. Chacune des nappes de la première pouvant être coupée par toutes celles de la seconde, il peut en résulter i6 branches dans la courbe d'intersection ; et les 1 6 branches pouvant être coupées par les quatre nappes de la troisième surface, il peut en résulter 64 points d'intersection des trois surfaces : mais ces points ne satisferaient pas tous à la question. En effet, si d'un point quelconque F de l'arc AFB on mène des droites aux extrémités de AB, l'angle AFB qu'elles

comprendront ne sera pas égal à l'angle observé; il en sera le supplément. Les nappes engendrées par l'arc AFB, et les nappes analogues dans les autres surfaces de révolution, ne peuvent donc servir à résoudre la question; et tous les points d'intersection, qui appartiennent à quelques-unes de ces nappes, sont des points étrangers au problème.

Dans la Géométrie descriptive, on peut et l'on doit exclure l'arc AFB et ses analogues dans les deux autres surfaces; chacune de ces surfaces n'a plus alors que deux nappes ; et le nombre de leurs points d'intersection possibles se réduit à huit. De ces huit points, quatre sont d'un côté du plan qui passe par les trois axes de révolution, et quatre sont de l'aulre. L'observateur connaissant toujours de quel côté il est placé par rapport à ce plan, il ne construira pas les intersections qui sont placées de l'autre côté, et le nombre des points qu'il pourra trouver est réduit à quatre. Enfin parmi ces quatre points, s'ils existent tous, il reconnaîtra facilement celui qui sera placé par rapport aux points A, B, C, de la même manière que celui de la station l'est par rapport aux trois points du terrain qu'il a observés.

100. Construction. — On choisira la position des deux plans de projections de manière que celui que nous regardons comme horizontal passe par les trois points observés, et que l'autre soit perpendiculaire à la droite menée par deux de ces trois points. Soient donc ABC {fig. 42) le triangle formé par les points observés, considéré dans son plan, et A', B', G' les trois angles donnés par l'observation. On

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a3

mènera perpendiculairement au côté AB ia droite LM (jui indiquera la position du plan vertical de projection; et l'on construira, comme nous venons de 1 indiquer (98), les arcs de cercle générateurs ADEB, BGC, CLA des trois surfaces de révolution, dont les côtés AB, BC, AC sont les axes. Cela fait, du point A comme centre, on décrira tant d'arcs de cercle EOL que l'on voudra, et qui couperont les généra Irices, dont les axes se rencontrent en A, dans des points E, L, desquels on abaissera sur les axes respectifs les perpendiculaires indéfinies l^^E', LI/; ces perpendiculaires se couperont quelque part en un point H qui sera la projection horizontale d'un point d'intersection des deux surfaces dont les axes sont AB et AC, et la courbe AHP menée par tous les points H . . . trouvés de, cette manière, sera la projection horizontale de cette intersection. Puis, après avoir projeté l'axe AB en a, on décrira du point a comme centre, et avec des rayons successivement égaux aux perpendiculaires EE', des arcs de cercle ee'A, sur chacun desquels projetant le point H correspondant en //, on aura la projection verticale d'un point de l'interseclion des deux mêmes surfaces de révolution; et la courbe ahp menée par tous les poin Ls h. . . construits de cette manière, sera la projection verticale de cette intersection.

On opérera de même pour les deux surfaces de révolution autour des axes AB, BC; c'est-à-dire, du point B de rencontre des deux axes, comme centre, on décrira tant d'arcs de cercle MKG que l'on voudra; ces arcs couperont les deux génératrices en des points M, G, desquels on abaissera sur les axes rcspcctiis les

perpendiculaires indéfinies MM^, GG'; ces perpendiculaires se couperont en un point J; et la courbe BJP menée par tous les points J... sera la projection horizontale de l'intersection de la première et de la troisième surface de révolution. Du point a comme centre, et avec des rayons successivement égaux aux perpendiculaires MM', on décrira des arcs de cercle mm' i^ sur lesquels on projettera en i les points J correspondants; et la courbe aip menée par tous les points i sera la projection verticale de la même intersection.

Cela fait, tous les points P . . . , dans lesquels les deux courbes AHP, BJP se couperont, seront les projections horizontales d'autant de points qui satisfont à la question; et tous les points p- - -, dans lesquels se couperont les courbes ahp^ aip, seront les projections verticales des mêmes points.

Les projections ainsi trouvées ne donneront pas immédiatement la position du point de station sur la carte, ni sa hauteur, parce que le plan horizontal de projection n'est pas celui de la carte; mais il sera facile de la rapporter sur les véritables plans de projection.

101. Sixième question. — Le général d'une armée en face de l'ennemi n'a pas la carte du pays occupé par celui-ci, et il en a besoin pour faire le plan d'une attaque qu'il médite. Il a un aérostat. Il charge un ingénieur de s'élever avec l'aérostat, et de prendre toutes les mesures nécessaires pour faire la carte, et pour en donner un nivellement approché : mais il a lieu de croire que si l'aérostat changeait de station sur le terrain, l'ennemi s'apercevrait de son dessein; en

conséquence il permet à l'ingénieur de s'élever à dilîérentes hauteurs dans l'atmosphère, si cela est nécessaire; mais il lui défend de changer de station à terre. L'ingénieur est muni d'un instrument propre à mesurer les angles, et cet instrument est garni d'un fil à plomb : on demande comment l'ingénieur pourra exécuter les ordres du général ?

Moyen de solution. — L'ingénieur fera deux stations dans la même verticale, et il connaîtra leur distance en faisant mesurer la corde que l'on aura filée |)()ur relever de l'une à l'autre. Dans l'une des stations, par exemple dans celle qui est inférieure, il mesurera les angles que fait la verticale avec les rayons visuels dirigés aux points dont il veut déterminer la position sur la carte; puis, parmi tous ces points, il en choisira un qu'il regardera comme premier, et que nous nommerons A, et il mesurera de plus successivement les angles formés par le rayon visuel dirigé au point A, et ceux qui sont dirigés à tous les autres. Dans l'autre station, il mesurera les angles formés par la verticale, et les rayons visuels dirigés à tous les points du terrain. D'après ces observations, il sera en état de construire la carte demandée.

En effet, puisque l'on connaît les angles formés par la verticale, et les deux rayons visuels dirigés des deux stations au même point, ce point se trouve en même temps sur deux surfaces coniques déterminées et connues, car ces surfaces sont à bases circulaires; elles ont leurs axes dans la même verticale ; la distance de leurs sommets est égale à la différence des hauteurs des deux stations, et les angles que leurs génératrices

forment avec l'axe commun sont égaux aux angles observés. De plus, puisque l'on connaît l'angle formé par le rayon visuel dirigé de la première station à ce point, et par celui qui est dirigé au point A; le point que l'on considère sera donc encore sur une troisième surface conique à base circulaire, dont l'axe incliné sera le rayon visuel dirigé de la première station au point A, dont le sommet sera à la première station, et dont l'angle formé par l'axe et la génératrice sera égal à l'angle observé. Le point que l'on considère se trouvera donc en même temps sur des surfaces coniques (') à bases circulaires connues de forme et do position; il sera donc au point de leur intersection commune; et en construisant les projections horizontale et verticale de cette intersection, on aura la position du point sur la carte, et son élévation au-dessus ou au-dessous des autres.

102. Sans changer de considérations, la construction peut devenir plus simple, au moyen de quelques-unes des méthodes que nous avons déjà exposées précédemment : car, connaissant les angles formés à la première station par le rayon visuel dirigé au point A, et par les rayons visuels dirigés à tous les autres points, et connaissant, pour chacun de ces angles, les angles

(^) Deux de ces surfaces sont des cônes droits à base circulaire, qui ont pour sommet le point A et qui se coupent nécessairement suivant deux droites. On détermine un point de chacune de ces deux droites par l'intersection de deux cercles, en considérant les cônes comme des surfaces de révolution dont les axes se rencontrent (art. 83).

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a*

quo CCS côtés forment avec la verticale, il sera facile de les réduire à l'horizon, c'est-à-dire de construire leurs projections horizontales. Si donc on prend sur la carte un point arbitraire pour représenter la projection de la verticale de l'aérostat; et si par ce point on mène une droite arbitraire, qui doive représenter la projection du rayon visuel dirigé au point A; enfin, si par le même point on mène des droites qui fassent, avec la projection du rayon dirigé au point A, des angles égaux aux angles réduits à l'horizon, il est évident que chacune de ces droites devra contenir la projection horizontale du point du terrain qui lui correspond. Il ne s'agira donc plus que de trouver la distance de ce point du terrain à la verticale. Or, si dans la projection verticale, et sur la projection de la verticale de l'aérostat, on prend deux points qui, en parties de l'échelle, soient distants l'un de l'autre d'une quantité égale à la distance mesurée des deux stations, et si par ces points on mène des droites qui fassent avec la verticale des angles égaux à ceux qui ont été observés pour un même point du terrain, ces droites se couperont en un point dont la distance à la verticale sera la distance demandée. Portant donc cette distance sur le rayon correspondant, à partir de la projection de l'aérostat, on aura sur la carte la position du point du terrain. Les deux mêmes droites, dans la projection verticale, déterminent, par leur intersection, la hauteur du point du terrain ; prenant donc sur la projection verticale les hauteurs de tous les points du terrain audessus d'un même plan horizontal, on déterminera les cotes qui conviendront à tous les points de la carte, et l'on aura le nivellement du terrain.

Celle construction est assez simple pour ne pas avoir besoin de figure.

La droite menée de la projeclion de la verticale de l'aérostat à celle du premier point A observé, ayant été tracée d'abord arbitrairement sur la carte, il s'ensuit que la carte n'est point orientée; et, en effet, dans les observations que nous avons indiquées, il n'y a rien qui puisse déterminer la position des objets par rapport aux quatre points cardinaux de l'horizon. Mais si l'ingénieur observe à terre l'angle que fait avec la méridienne un rayon visuel horizontal dirigé du pied de la verticale à un des points placés sur la carte, et s'il rapporte cet angle sur sa projection, il aura la direction de la méridienne, et la carte sera orientée.

103. Ce que nous avons vu jusqu'à présent de la Géométrie descriptive, considérée d'une manière abstraite, contient les principales méthodes dont on peut avoir besoin dans les arts.

Si donc on avait établi dans toutes les villes un peu considérables des écoles secondaires, dans lesquelle;les jeunes gens de l'âge de 12 ans, et qui se destineni à la pratique de quelques-uns des arts, auraient été exercés pendant deux années aux constructions graphiques, et familiarisés avec les principaux phénomènes de la nature, dont la connaissance leur esl indispensable; ce qui, en développant leur intelligence et en leur donnant l'habitude et le sentiment de k précision, aurait contribué de la manière la plus cer

taine aux progrès de l'industrio nationale, et ce qui, en les accoutumant à l'évidcnc» , les aurait garantis pour toujours de la séduction des imposteurs de tous les genres; et si nous ne nous proposions que de faire le livre élémentaire qui aurait dû servir de base à l'instruction de ces écoles secondaires, il faudrait terminer là les généralités, et passer immédiatement aux applications les plus utiles, et à celles dont l'usage est le plus fréquent. Mais nous ne devons pas écrire seulement pour les élèves des écoles secondaires, nous devons écrire pour leurs professeurs.

On ne doit faire entrer dans le plan d'une instruction populaire que des objets simples et d'une utiiilé journalière : mais si un artiste rencontre une seule fois dans sa vie une difficulté dont il n'ait point été question dans les écoles, à qui s'adressera-t-il pour la lever, si ce n'est au professeur ? et comment le professeur la lèvera-t-il, s'il ne s'est exercé à des considérations d'une généralité plus grande que celles qui forment l'objet ordinaire des études ?

Pour donner aux professeurs la connaissance de quelques propriétés générales de l'étendue, et dont on peut avoir occasion de faire usage dans les arts, nous allons consacrer quelques leçons à l'examen de la courbure des courbes à double courbure, et de celles des surfaces courbes.