DE LA COURBURE ET DES DÉVELOPPÉES DES COURBES A DOUBLE COURBURE

J04. On sait que si une droite, considérée dans un plan, tourne autour d'un de ses points supposé fixe,

Ces deux branches se toucheront donc elles-mêmes en P^

Le point P' dans lequel une courbe se réfléchit ainsi, de manière que ses deux branches se touchent à ce point, se nomme point de rebroussement.

La courbe MNP'O, sur laquelle s'appuie la droite en la touchant perpétuellement, s'appelle la développée de la courbe GPP'P"H, parce qu'un de ces arcs quelconques MNP' est égal à la partie correspondante MP de la droite mobile, et la courbe GPP' P" H s'appelle la développante de la courbe MNO. Gomme on peut avoir autant de courbes décrites de la même manière que l'on peut concevoir de points P, p sur la droite AB, regardée comme indéfinie, il est évident qu'une même développée peut avoir une infinité de développantes différentes, telles que GPP'P"H, gpp'p"h; et toutes ces développantes ont la propriété d'avoir les mêmes normales. Nous verrons incessamment que réciproquement il n'y a pas de courbe qui n'ait une infinité de développées différentes.

105. On fait usage dans les arts de quelques développantes, et principalement de celle du cercle, qui est une spirale dont le nombre des révolutions est infini, et dont toutes les branches successives sont éloignées les unes des autres d'une quantité constante, égale à la circonférence du cercle développé. C'est suivant la courbure de cette développante que l'on coupe les cames ou dents des arbres tournants qui soulèvent des pilons, comme dans les bocards, parce que le contact de la came avec le mentonnet du pilon étant toujours dans la même verticale, l'effort de l'arbre

pour soulever le pilon est constamment le même. Vaucanson employait souvent la spirale développante du cercle comme moyen d'engrenage pour transmettre le mouvement d'un arbre tournant à un autre arbre qui lui était parallèle, surtout lorsqu'il fallait que l'engrenage fût exact cl transmît subitement, sans temps perdu, le mouvement d'un arbre à l'autre.

106. Nous avons fait voir (104) comment la développante peut être formée d'après la développée ; il est facile de concevoir comment, à son tour, la développée peut être formée d'après la développante. En effet, nous avons vu que toutes les normales de la développante sont tangentes à la développée. Si donc, par tous les points P, Q d'une courbe proposée GPQP', on conçoit des normales, la courbe MNO qui touchera toutes ces normales sera la développée. De plus, si par deux points P, Q consécutifs et infiniment proches on conçoit deux normales PB, Q^b, le point M où elles se couperont, pour se croiser au delà, sera sur la développée; et ce point pourra être regardé comme lii contre d'un yjetit arc de cercle qui, étant décrit avec le rayon PM, aurait la même courbure (pie l'arc PQ de la courbe que l'on considère. Le rayon PM du cercle, dont la courbure est la même que celle de l'arc inliniment petit PQ d'une courbe, se nomme le rayon da courbure de cet arc; le point M où se coupent les deux normales consécutives en est le centre de courbure; et cette courbure est connue lorsque la position du point M est déterminée.