C-et art a deux objets principaux

Le premier est de représenter avec exactitude, sur des dessins qui n'ont que deux dimensions, les objets qui en ont trois, et qui sont susceptibles de définition rigoureuse.

Sous ce point de vue, c'est une langue nécessaire à l'homme de génie qui conçoit un projet, à ceux qui doivent en diriger l'exécution, et enfin aux artistes qui doivent eux-mêmes en exécuter les différentes parties.

Le second objet de la Géométrie descriptive est de déduire de la description exacte des corps tout ce qui suit nécessairement de leurs formes et de leurs positions respectives. Dans ce sens, c'est un moyen de rechercher la vérité; elle offre des exemples perpétuels du passage du connu à l'inconnu; et parce qu'elle est toujours appliquée à des objets susceptibles de la plus grande évidence, il est nécessaire de la faire entrer dans le plan d'une éducation nationale. Elle est non

seulement propre à exercer les facultés intellectuelles d'un grand peuple, et à contribuer par là au perfectionnement de l'espèce humaine, mais encore elle est indispensable à tous les ouvriers dont le but est de donner aux corps certaines formes déterminées; et c'est principalement parce que les méthodes de cet art ont été jusqu'ici trop peu répandues, ou même presque entièrement négligées, que les progrès de notre industrie ont été si lents.

On contribuera donc à donner à l'éducation nationale une direction avantageuse, en familiarisant nos jeunes artistes avec l'application de la Géométrie descriptive aux constructions graphiques qui sont nécessaires au plus grand nombre des arts, et en faisant usage de cette Géométrie pour la représentation et la détermination des éléments des machines, au moyen desquelles l'homme, mettant à contribution les forces de la nature, ne se réserve, pour ainsi dire, dans ses opérations, d'autre travail que celui de son intelligence.

Il n'est pas moins avantageux de répandre la connaissance des phénomènes de la nature, qu'on peut tourner au profit des arts.

Le charme qui les accompagne pourra vaincre la répugnance que les hommes ont en général pour la contention d'esprit, et leur faire trouver du plaisir dans l'exercice de leur intelligence, que presque tous regardent comme pénible et fastidieux.

Ainsi, il doit y avoir à l'Ecole normale un cours de Géométrie descriptive.

Mais comme nous n'avons sur cet art aucun ouvrage élémentaire bien fait, soit parce que jusqu'ici les

savants y ont mis trop peu d'intérêt, soit parce qu'il n'a été pratiqué que d'une manière obscure par des personnes dont l'éducation n'avait pas été assez soignée, et qui ne savaient pas communiquer les résultats de leurs méditations, un cours simplement oral serait absolument sans effet.

Il est nécessaire pour le cours de Géométrie descriptive, que la pratique et l'exécution soient jointes à l'audition des méthodes.

Ainsi les élèves doivent s'exercer aux constructions graphiques de la Géométrie descriptive. Les arts graphiques ont des méthodes générales, avec lesquelles on ne peut se familiariser que par l'usage de la règle et du compas.

Parmi les différentes applications que l'on peut faire de la Géométrie descriptive, il y en a deux qui sont remarquables, et par leur généralité, et par ce qu'elles ont d'ingénieux : ce sont les constructions de la perspective et la détermination rigoureuse des ombres dans les dessins. Ces deux parties peuvent être considérées comme le complément de l'art de décrire les objets.

GÉOMÉTRIE DKSCHIFTIVE

1. La Géométrie descriptive a deux objets : le premier, de donner les méthodes pour représenter sur une feuille de dessin rpii n'a cpie deux dimensions, savoir, longueur et largeur, tous les corps de la nature qui en ont trois, longueur, largeur et profondeur, pourvu néanmoins que ces corps i)uissent être définis rigoureusement.

Le second objet est de donner la manière de leconnaître, d'après une description exacte, les formes des corps, et d'en déduire toutes les vérités qui résultent et de leur forme et de leurs positions respectives.

Nous allons d'abord indiquer les procédés qu'une longue expérience a fait découvrir, pour remplir le premier de ces deux objets: nous donnerons ensuite la manière de remplir le second.

2. Les surfaces de tous les corps de la nature pouvant être considérées comme composées de points, le premier pas que nous allons faire dans cette matière, doit être d'indiquer la manière dont on exprime la position d'un point dans l'espace.

L'espace est sans limites; toutes ses parties sont parfaitement semblables, elles n'ont rien qui les carac-

MONQE. — I. 1

térisc, et aucune d'elles ne peut servir de terme de comparaison pour indiquer la position d'un point.

Ainsi, pour définir la position d'un point dans l'espace, il faut nécessairement rapporter cette position à quelques autres objets distincts des parties de l'espace qui les renferme, et qui soient eux-mêmes connus de position, tant de celui qui définit, que de celui qui veut entendre la définition; et pour que le procédé puisse devenir lui-même d'un usage facile et journalier, il faut que ces objets soient aussi simples qu'il est possible, et que leur position soit la plus facile à concevoir.

3. Parmi tous les objets simples, nous allons rechercher quels sont ceux qui présentent plus de facilité pour la détermination de la position d'un point; et parce que la Géométrie n'offre rien de plus simple qu'un point, nous examinerons dans quel genre de considérations on serait entraîné,^ si, pour déterminer la position d'un point, on le rapportait à un certain nombre d'autres points dont la position serait connue ; enfin, pour mettre plus de clarté dans cette exposition, nous désignerons ces points connus par les lettres successives A, B, C, etc.

Supposons d'abord que la définition de la position du point comporte qu'il soit à i^^^ de distance du point connu A.

Tout le monde sait que la propi-iété de la surface de la sphère est d'avoir tous ses points à égale distance de son centre. Ainsi, cette partie de la définition exprime que le point que l'on veut déterminer a la même propriété que tous ceux de la surface d'une

sphère dont le centre serait au point A, et dont le rayon serait i™. Mais les points de la surface de la sphère sont les seuls dans tout l'espace qui aient cette propriété; car tous les points de Tespace qui sont au delà de cette surface, par rapport au centre, sont phis éloiojnés du centre que de i^", et tous ceux qui sont entre cette surface et le centre sont, au contraire, moins éloiaiiés du centre que de i™ : donc tous les points de la surface de la • sphère non seulement jouissent de la propriété énoncée dans la proposition, mais encore ils sont les seuls qui en jouissent; donc, enfin, cette proposition exprime que le point cherché est un de ceux de la surface d'une sphère dont le centre serait au point A, et dont le rayon serait i^». Par là, ce point est actuellement distinct d'une infinité d'autres placés dans l'espace; mais il est encore confondu avec tous ceux de la surface de la sphère; i! faut d'autres conditions pour le reconnaître parmi ' ux.

Supposons ensuite que, d'après la définition de la position du point, il doive être à 5!'" de distance du second point connu B; il est évident qu'en raisonnant pour cette seconde condition comme pour la première, le point doit encore être un de ceux de la surface d'une seconde sphère, dont le centre serait au point B, et dont le rayon serait ç>«\ Ce point, devant se trouver en même temps et sur la surface de la première sphère et sur celle de la deuxième, ne peut plus être confondu qu'avec ceux qui sont communs aux deux surfaces, et qui sont dans leur commune intersection : or, pour peu qu'on soit familiarisé avec les considérations géométriques, on sait que l'intersection des surfaces de deux

sphères est la circonférence d'un cercle dont le centre est sur la droite qui joint ceux des deux sphères, et dont le ])lan est perpendiculaire à cette droite; donc, en vertu des deux conditions réunies, le point cherché est actuellement distinct de ceux qui sont sur les surfaces des deux sphères, et il ne peut plus être confondu qu'avec ceux de la circonférence du cercle, qui jouissent tous des deux conditions énoncées et qui en jouissent seuls. Il faut donc encore une troisième condition pour le distinguer.

Supposons enfin que le point doive se trouver à 3"^ de distance d'un troisième point C, connu. Cette troisième condition le place parmi tous ceux de la surface d'une troisième sphère, dont le centre serait au point C, et dont le rayon serait 3™. Et parce que nous avons vu qu'il doit être sur la circonférence d'un cercle connu de position, pour satisfaire en mcnic temps aux trois conditions, il faut qu'il soit un des points communs, et à la surface de la troisième sphère, et à la circonférence du cercle : or, on sait qu'une circonférence de cercle et la surface d'une sphère ne peuvent se couper qu'en deux points; donc, en vertu des trois conditions, le point se trouve distingué de tous ceux de l'espace, et ne peut plus être que l'un de deux points déterminés; en sorte qu'en indiquant, de plus, de quel côté il est placé par rapport au plan qni passe par les trois centres, ce point est absolument déterminé, et ne peut plus être confondu avec aucun autre.

On voit qu'en employant, pour déterminer la position d'un point dans l'espace, ses distances à d'autres points connus, et dont le nombre est nécessairement trois, l'on est entraîné dans des considérations qui ne

sont pas assez simples pour servir de base à des procédés d'un usage habituel.

4. Recherchons actuellement quelles seraient les considérations auxquelles on serait conduit si, au lieu de rapporter la position d'un point à trois autres points connus, on le rapportait à des droites données de position.

Nous ferons observer auparavant qu'une ligne droite ne doit jamais être considérée comme termhiée, et qu'elle peut toujours être indéfiniment prolongée dans l'un et dans l'autre sens.

Pour simplifier, nous nommerons successivement A, H, C, etc., les droites que nous serons obligés d'employer.

Si de la définition de la position du point il résulte qu'il doive se trouver, par exemple, à i"'^ de distance de la première droite connue A, on énonce que ce ])oint est l'un de ceux de la surface d'un cylindre à base circulaire, dont l'axe serait la droite A, dont le rayon serait i"^, et qui serait indéfiniment prolongé dans les deux sens de sa longueur; car tous les points de cette surface jouissent de la propriété énoncée dans la définition, et sont les seuls qui en jouissent. Par là, le point est distingué de tous les points de l'espace qui sont en dehors de la surface cylindrique; il est pareillement distingué de tous ceux qui sont dans l'intérieur du cylindre, et il ne peut être confondu qu'avec ceux de la surface cylindrique, parmi lesquels on ne peut le distinguer qu'au moyen de conditions nouvelles.

Supposons donc que le point cherché doive, en

outre, être placé à 2™ de distance de la seconde ligne droite B : on voit de même que par là on place ce point sur la surface d'un second cylindre à base circulaire, dont l'axe serait la ligne droite B, et dont le rayon serait 2"^, mais avec tous les points de laquelle il est confondu, si l'on ne considère que la seconde condition seule. En réunissant ces deux conditions, il doit donc se trouver en même temps et sur la première surface cylindrique et sur la seconde : donc il ne peut être que l'un des poinis communs à ces deux surfaces, c'est-à-dire l'un de leur commune intersection. Cette ligne, sur laquelle doit se trouver le point, participe de la courbure de la surface du premier cylindre et de la courbure de celle du second, et est, en général, du genre de celles qu'on appelle courbes à double courbure.

Pour distinguer le point de tous ceux de cette ligne, il faut une troisième condition.

Supposons, enfin, que la définition énonce que le point demandé doive encore être à 3'" de distance d'une troisième ligne droite C.

Cette, nouvelle condition exprime qu'il est un de ceux de la surface d'un troisième cylindre à base circulaire, dont la troisième ligne droite C serait l'axe, et qui aurait 3"^ de rayon : donc, en réunissant les trois conditions, le point cherché ne peut plus être qu'un de ceux qui sont communs, et à la troisième surface cylindrique, et à la courbe à double courbure, intersection des deux premières. Or, cette courbe peut, en général, être coupée par la troisième surface cylindrique en huit points; donc les trois conditions réduisent le point cherché à être l'un des huit points

délerniiiH's, el parmi les({uc]s on ne peut le dislinguer (|ue par quelques conditions parliculi«'Tes, du genre de celles dont nous avons donné un exemple dans le cas des points.

On voit que les considéra lions auxquelles on est conduit pour déterminer la position d'un point dans l'espace, par la connaissance de ses distances à trois lignes droites connues, sont encore bien moins simples que celles auxquelles donnent lieu ses distances à trois points, et qu'ainsi elles peuvent encore moins servir de base à des méthodes qui doivent être d'un service fréquent.

5. Parmi les objets simples que la Géométrie considère, il faut remarquer principalement : i® le point qui n'a aucune dimension; 2° la ligne droite qui n'en a qu'une ; 3® le plan qui en a deux. Recherchons s'il ne serait pas plus simple de déurminer la position d'un point, par la connaissance de ses distances à des plans connus, qu'il ne l'tst d'employer ses distances à des points ou à des lignes droites.

Supposons donc qu'il y ait dans l'espace des plans non parallèles, connus de position, et que nous désignerons successivement par les lettres A, B, C, 1), etc.

Si, d'après la définition de la position du point, il doit être, par exemple, à i"^ de distance du premier plan A, san^ qu'il soit exprimé de quel côté il doit être placé par rapport à ce plan, on énonce qu'il est un de ceux de deux plans parallèles au plan A, placés l'un d'un côté de ce plan, l'autre de l'autre, et tous deux à i"^ de distance du premier : car tous les points de ces deux plans parallèles satisfont à la condition exprimée,

et sont, de tous ceux de l'espace, les seuls qui y satisfassent.

Pour distinguer, parmi tous les points de ces deux plans, celui dont on veut définir la position, il faut donc encore avoir recours à d'autres conditions.

Supposons, en second lieu, que le point cherché doive être à 2"^ de distance du second plan B : par là, on le place sur deux plans parallèles au plan I^, fous deux à 2™ de distance de ce plan, l'un d'un côlé, l'autre de l'autre. Pour satisfaire en même temps aux deux conditions, il faut donc (pi'il se trouve, et sur l'un des plans ])ara11èles au plan A, et sur l'un des deux plans parallèles au plan B; et, par conséquent, qu'il soit l'un des points de la commune intersection de ces quatre plans. Or, la commune intersection de quatre plans parallèles deux à deux, et de la position connue, est l'assemblage de quatre lignes droites également connues de position; donc, en considérant en même temps ces deux conditions, le point n'est plus confondu avec tous ceux de l'espace, ni même avec tous ceux de quatre plans, mais seulement avec ceux de quatre lignes droites. Enfin, si le point doit être aussi à 3"^ de distance du troisième plan C, on exprime qu'il doit être l'un de ceux de deux autres plans parallèles au plan C, et placés de part et d'autre, par rapport à lui, à 3"^ de distance. Ainsi, en vertu des trois conditions, il doit être en même temps, et sur l'un des deux derniers plans, et sur l'une des quatre lignes droites, intersections des ([uatre premiers plans : il ne peut donc être que l'un des points communs, et à l'un de ces deux plans et à l'une des quatre droites. Or, chacun des deux plans ayant un point commun avec

cliacuiio des quatre lignes droites, il y a huit points

I (l^iis l'espace, (pii satisfont à la fois aux trois condi-

I lions ; donc, par ces trois conditions réunies, le point

I demandé ne peut plus être que l'un des huit points

déterminés, et parmi lesquels on ne peut le distinguer

(ju'au moyen de quelcpies conditions particulières.

Par exemple, si, en indicpiant la distance au })remier plan A, l'on exprime aussi dans quel sens, par rapport à ce plan, la distance doit être prise; au lieu de deux plans parallèles au ])lan A, il n'y en a plus qu'un qu'il faille considérer, c'est celui' qui est placé, par rapport à lui, du coté vers lequel la distance doit être mesurée. De même, si l'on indique dans quel sens, par rapport au second plan, la distance doit être prise, on exclut la considération d'un des deux plans parallèles au second; et il n'y en a plus qu'un dont tous les points satisfassent à la seconde condition; vi en réunissant ces conditions, le point ne peut plus être sur les quatre droites d'intersection de quatre plans parallèles deux à deux, mais seulement sur l'intersection de deux plans, c'est-à-dire sur une ligne droite connue de position. Enfin, si l'on indique aussi de quel côté le point doit être placé par rapport au troisième plan, de deux plans parallèles au troisième il n'y en aura plus qu'un dont tous les points satisfassent à la dernière condition; et pour satisfaire en même temps à ces trois conditions, le point devra se trouver à l'intersection de ce troisième plan avec la droite unique intersection des deux premiers. 11 ne pourra donc plus êhe confondu avec aucun autre dans l'espace, et il sera par conséquent entièrement déterminé.

On voit donc que, quoique, par rapport au nombre

de ses dimensions, le plan soit un objet moins simple que la ligne droite qui n'en a qu'une, et que le poin| qui ncn a pas, il présente cependant plus de facilité que le point et la ligne droite pour la détermination d'un point dans l'espace : c'est ce procédé que l'on emploie ordinairement dans l'application de l'Algèbre à ia Géom^étrie, où, pour cliercher la position d'un point, on a coutume de chercher ses distances à trois plans connus de position.

Mais dans la Géomélriè descriptive, qui a été pratiquée depuis beaucoup plus longtemps, par un beaucoup plus grand nombre d'hommes, et par des hommes dont le temps était précieux, les procédés se sont encore simplifiés; et au lieu de la considération de trois plans, on est parvenu, au moyen des projections, à n'avoir plus besoin explicitement que de celle de deux.

6. On appelle projection d'un point sur un plan, le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan.

Cela posé, si l'on a deux plans connus de position dans l'espace, et si l'on donne, sur chacun de ces plans, la projection du point dont on veut définir la position, ce point sera parfaitement déterminé.

En efîet, si, par la projection sur le premier plan, l'on conçoit une perpendiculaire à ce plan, il est évident qu'elle passera par le point défini; de même si, par sa projection sur le second plan, l'on conçoit une perpendiculaire sur ce plan, elle passera de même par le point défini : donc ce point sera en même temps sur deux lignes droites connues de position dans l'espace;

donc il sera le point unique de leur intersection; donc enfin, il sera parfaitement déterminé.

Dans les paragraphes suivants, on indiquera les moyens de rendre ce procédé d'un usage facile, et de nature à être employé sur une seule feuille de dessin.

7. Si {fig. i), de tous les points d'une ligne droite indéfinie Al^, placée d'une manière quelconque dans l'espace, l'on conçoit des perpendiculaires abaissées sur un plan LMNO, donné de position, tous les points de rencontre de ces perpendiculaires avec le plan seront dans une autre ligne droite indéfinie ah; car elles seront toutes comprises dans le plan mené par AB perpendiculairement au plan LMNO, et elles ne pourront rencontrer ce dernier que dans l'intersection commune des deux plans, qui, comme on sait, est une ligne droite.

La droite ab, qui passe ainsi par les projections de tous les points d'une autre droite AB sur un plan LMNO, est ce qu'on appelle la projection de la droite AB sur ce plan.

Comme deux points suffisent pour déterminer la position d'une ligne droite; pour construire la projeclioii d'une droite, il suUit de construire celle de deux de ses points, et la droite menée par les projections de ces points sera la projection demandée.

Il suit de là que, si la droite proposée est elle-même perpendiculaire au plan de projection, sa projection se réduira à un seul point, qui sera celui de sa rencontre avec le plan.

Etant données {fig. 2) sur deux plans non parallèles LMNO, LMPQ les projections at, a' h' d'une même

lA LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.

droite indéfinie AB, cette droite est déterminée : car si, par l'une des projections ab^ l'on conçoit un plan perpendiculaire à LMNO, ce plan, connu de position, passera nécessairement i>ar la droite AB; de même si, par l'autre projection a' />', l'oji conçoit un plan perpendiculaire à LMPQ, ce plan, cojinii de position, passera par la droite AB. La position de; celte droite, qui se trouve en même temps sur deux plans connus, et par conséquent à leur commune intersection, est donc absolument déterminée.

8. Ce que nous venons de dire est indépendant de la position des plans de projection, et a lieu également, quel que soit l'angle que ces deux plans fassent entre eux. Mais si l'angle que forment les deux plans de projection est très obtus, l'angle que forment entre eux ceux qui leur sont perpendiculaires est très aigu; et dans la pratique, de petites erreurs pourraient en apporter de très grandes dans la détermination de la position de la droite. Pour éviter cette cause d'inexactitude, à moins qu'on n'en soit détourné par quelques considérations qui présentent de plus grandes facilités, on fait toujours en sorte que les plans de projection soient perpendiculaires entre eux. De plus, comme la plupart des artistes qui font usage de la méthode des projections sont très familiarisés avec la position d'un ])lan horizontal et la direction du fd à plomb, ils ont coutume de supposer que, des deux plans de projection, l'un soit horizontal et l'autre vertical.

La néci ssité de faire en sorte que dans les dessins les deux projections soient sur une même feuille, et que

l4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.

dans les opérations en grand elles soient sur une même aire, a encore déterminé les artistes à concevoir que le plan vertical ait tourné autour de son intersection avec le plan horizontal, comme charnière, pour s'abattre sur le plan horizontal, et ne former avec lui qu'un seul et même plan, et à construire leurs projections dans cet état.

Ainsi, la projection verticale est toujours tracée de fait sur un plan horizontal, et il faut perpétuellement concevoir qu'elle soit dressée et remise en place, au moyen d'un quart de révolution autour de l'intersection du plan horizontal avec le plan vertical. Pour cela, il faut que cette intersection soit tracée d'une manière très visible sur le dessin.

Ainsi, dans la figure 2, la projection a' h' de la droite AB ne s'exécute pas sur un plan qui soit réellement vertical : on conçoit que ce plan ait tourné autour de la droite LM pour s'appliquer en LMP'Q'; et c'est dans cette position du plan qu'on exécute la projection verticale a'h' .

Indépendamment des facilités d'exécution que présente cette disposition, elle a encore l'avantage d'abréger le travail des projections. En elTet, supposons que les points a, a' soient les projections horizontale et verticale du point A, le plan mené par les droites Acr, Ka' sera en même temps perpendiculaire aux deux plans de projection, puisqu'il passe par des droites qui leur sont perpendiculaires; il sera donc aussi perpendiculaire à leur commune intersection LM ; et les droites aC, a'C, suivant lesquelles il coupe ces deux plans, seront elles-mêmes perpendiculaires à LM. Or, lorsque le plan vertical tourne autour de L\*i

comme chnniièrc, la droite a'C ne cesse pas, dans ce Miouvement, d'être perpendiculaire à LM; et elle iiù ist encore perpendiculaire lorsque, le plan vertical étant abattu, elle a pris la position Ca\ Donc les deux droites aC, Ca\ passant toutes deux par le point C, et étant toutes deux perpendiculaires à LM, sont dans le prolongement l'une de l'autre; il en est de môme des droil>-s hD, Bb\ par rapport à tout autre point comme B. D'où il suit que, si l'on a la projeciion horizontale d'un point, la projection de ce même point sur le plan vertical, supposé abattu, sera dans la droite menée par la projection horizontale perpendiculairement à l'intersection LM des deux plans de projection, et réciproquement.

Ce résultat est d'un usage très fréquent dans la prati(nip.

9. Jusqu'à présent, nous avons regardé la ligne droite AB {fîg. i) comme indéfmie, et alors nous n'avions à nous occuper que de sa direction; mais il peut se faire que cette droite soit considérée conim. terminée par deux de sts points Ay B; et alors on peut de plus avoir besoin de connaître sa grandeur. Nous allons voir comment on peut la déduire de la connaissance de ses deux prf éjections.

Lorsqu'une droite est parallèle à un d' s deux plans sur lesquels elle est projetée, sa longueur est égale à celle de sa projection sur ce plan; car la droite et sa projection, étant toutes deux terminées à deux perpendiculaires au plan de projection, sont parallèles entre elles et comprises entre parallèles. Ainsi, dans ce cas particulier, la projection étant donnée, la ion-

iC LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

gueur de la droite qui lui est égale est aussi donnée.

On est assuré qu'une droite est parallèle à un des deux plans de projcclion, lorsque sa projection sur l'autre est parallèle à l'intersection de ces plans.

Si la droite est en même temps oblique aux deux plans, sa longueur est plus grande que celle de chacune de ses projections; mais elle peut en être déduite par une construction très simple.

Soit AIj {fig. 2) la ligne droite, dont les deux projections «6, a'h' soient données, et dont il faille trouver la longueur; si, par une de ses extrémités A, et dans le plan vertical qui passe par la droite, on conçoit une horizontale AE, prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre en E la verticale abaissée par l'autre extrémité, on formera un triangle rectangle AEB, qu'il s'agit de construire pour avoir la longueur de la droite AB, qui en est l'hypoténuse. Or, dans ce triangle, indépendamment de l'angle droit, on connaît le côté AE, qui est égal à la projection donnée ah. De plus, si dans le plan vertical on mène par le point a' une horizontale «/<?, qui sera la projection de AE, elle coupera la verticale //D en un point e, cjui sera la projection du point E. Ainsi, h'e sera la projection verticale de BE, et sera par conséquent de même longueur qu'elle. Donc, connaissant les deux côtés de l'angle droit, il sera facile de construire le triangle, dont l'hypoténuse donnera la longueur de AB.

La ligure 2, étant en perspective, n'a aucun ra})port avec les constructions de la méthodd des projections : nous allons donner ici la construction de cette première question dans toute sa simplicité.

La droite LM {fig. 3) étant supposée l'intersection

des deux plans de projection, et les droites ab, a"b" étant les projections données d'une ligne droite; pour trouver la longueur de cette droite, par le point a" on mènera Thorizontale indéfinie lie, qui coupera la droite bb" en un point e, et sur laquelle, à i)arlir de ce point, on portera ab de e en II. On mènera l'hypoténuse II!/", et la longueur de cette hypoténuse sera celle de la droite demandée.

Comme les deux plans de projection sont rectangulaires, l'opération que l'on vient de faire sur un de ces plans pouvait être faite sur l'autre, et aurait donné le même résultat.

D'après ce qui précède, on voit que si l'on a les deux projections d'un corps terminé par des faces planes, par des arêtes rectilignes, et par des sommets d'angles Solides, projections qui se réduisent aux systèmes de celles des arêtes rectilignes, il sera facile d'en conclure la longueur de telle de ses dimensiorfs qu'on voudra : car, ou cette dimension sera parallèle à un des deux plans de projection, ou elle sera en même temps oblique aux deux; dans le premier cas, la longueur demandée de la dimension sera égale à sa projection : dans le second, on la déduira de ces deux projections par le procédé cpie nous venons de décrire.

10. Ce serait ici le lieu d'indiquer la manière dont se construisent les projections des solides terminés par des plans et des arêtes rectilignes; mais il n'y a pour cette opération aucune règle générale : on sent en effet que, selon la manière dont la position des sommets des angles d'un solide est définie, la construction de leurs projections peut être plus ou moins facile, et

MOXGE. — I. 2

que la nature de l'opération doit dépendre de celle de la définilion. Il en est précisément de cet objet comme de l'Algèbre, dans laquelle il n'y a aucun procédé général pour mettre un problème en équations. Dans chaque cas particulier, la marche dépend de la manière dont la relation entre les quantités données et celles qui sont inconnues est exprimée; et ce n'est que par des exemples variés que l'on peut accoutumer les commençants à saisir ces relations et à les écrire par des équations. Il en est de même pour la Géométrie descriptive. C'est par des exemples nombreux et par l'usage de la règle et du compas dans des salles d'exercice, que l'on peut acquérir l'habitude des constructions, et que l'on s'accoutume au choix des méthodes les plus simples et les plus élégantes, dans chaque cas particulier. Mais aussi, de même qu'en Analyse, lorsqu'un problème est mis en équations, il existe des procédés pour traiter ces équations, et pour en déduire les valeurs de chaque inconnue; de nnême aussi, dans la Géométrie descriptive, lorsque les projec lions sont faites, il existe des méthodes générales pour construire tout ce qui résulte de la forme et de la position respective des corps.

Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la Géométrie descriptive à l'Algèbre; ces deux sciences ont les rapports les plus intimes. Il n'y a aucune construction de Géométrie descriptive, qui ne puisse être traduite en Analyse; et lorsque les questions ne comportent pas plus de trois inconnues, chaque opération analytique peut être regardée comme l'écriture d'un spectacle en Géométrie.

Il serait à désirer que ces deux sciences lussent

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. f()

cultivées ensemble : la Géométrie descriptive porterait dans les opérations analytiques les plus compliquées l'évidence qui est son caractère, et, à son tour, l'Analyse porterait dans la Géométrie la généralité qui lui est propre.

11. La convention, qui sert de base à la méthode des projections, est propre à exprimer la position d'un ]H)int dans l'espace, à exprimer celle d'une ligne droite indéfinie ou terminée, et par conséquent à représenter la forme et la position d'un corps terminé par des faces planes, par des arêtes rectilignes, et par des sommets d'angles solides; parce que, dans ce cas, le corps est entièrement connu, quand on connaît la position de toutes ses arêtes et celle des sommets de tous ses angles. Mais si le corps était terminé, ou par une surface courbe unique, et dont tous les points fussent assujétis à une même loi, comme dans le cas de la sphère, ou par l'assemblage discontinu de plusieurs parties de surfaces courbes différentes, comme dans le cas d'un corps façonné sur le tour; cette convention non seulement serait incommode, impraticable, et n'aurait pas l'avantage de faire image, mais encore elle manquerait de fécondité et elle serait insuffisantes

D'abord, il est facile de voir que la convention que nous avons faite serait incommode, et même impraticable, si elle était seule; car, pour exprimer la position de tous les points d'une surface courbe, il faudrait non seulement que chacun d'eux fût indiqué par sa projection horizontale et par sa projection verticale, mais encore que les deux projections d'un même point

fussent liées entre elles, afin qu'on ne fût pas exposé à combiner la projection horizontale d'un certain point avec la projection verticale d'un autre; et la manière la plus simple de lier entre elles ces deux projections étant de les joindre par une même droite jxrpcndiculaire à la ligne d'intersection des deux ])lans de projections, on surchargerait les dessins d'un nombre prodigieux de lignes, qui y jetteraient une confusion d'autant plus grande qu'on voudrait approcher davantage de l'exactitude. Nous allons faire voir ensuite que cette méthode serait insuffisante, et qu'elle manquerait de la fécondité nécessaire.

Parmi le nombre infini de surfaces courbes différentes, il en existe quelques-unes qui ne s'étendent (|ue dans une partie finie et circonscrite de l'espace, et dont les projections ont une étendue limitée dans toutes les directions; celle de la sphère, par exemple, est dans ce cas. L'étendue de sa projection sur un plan se réduit à celle d'un cercle de même rayon que la sphère; et l'on peut concevoir que le plan sur lequel ou doit en faire la projection ait des dimensions assez grandes pour la recevoir. Mais toutes les surfaces cylindriques sont indéfinies dans une certaine direction, comme la droite qui leur sert de génératrice. Le plan lui-même, qui est la plus simple des surfaces, est indéfini dans deux sens. Enfin, il existe un grand nombre de surfaces dont les nappes multipliées .s'étendent en même temps dans toutes les régions de l'espace. Or, les plans sur lesquels on exécute les projections ont nécessairement une étendue limitée. Si donc on n'avait d'autre moyen pour faire connaître la nature d'une surface courbe que les deux projec-

tions de chacun des points par lesquels elle passe, ce moyen ne serait applicable qu'à ceux des points de la surface, qui correspondraient à l'étendue des plans de ])roiections; tous ceux qui seraient au delà ne ]tourraient être ni exprimés ni connus : ainsi, la mélliode serait insuilisante. Enlin, elle manquerait de fécondité, parce qu'on ne pourrait en déduire rien de ce qui serait relatif aux plans tangents de la surface, à SIS normales, à ses deux courbures en chaque point, ;i ses lignes d'inflexion, à ses arêtes de rebroussement, à ses lignes multiples, à ses points multiples, à toutes les affections enfin qu'il est nécessaire de considérer, dès qu'on veut opérer sur une surface courbe.

Il a donc fallu avoir recours à une convention nouvelle qui fût compatible avec la première, et qui pût la suppléer partout où elle aurait été insufTisante. C'est cette convention nouvelle que nous allons exposer.

12. Il n'y a aucune surface courbe qui ne puisse être regardée comme engendrée par le mouvement d'une ligne courbe, ou constante de forme lorsqu'elle change de position, ou variable en même temps et de forme et de position dans l'espace. Comme cette proposition pourrait être difficile à comprendre à cause de sa généralité, nous allons l'expliquer sur quelques-uns des exemples avec lesquels nous sommes déjà familiarisés.

Lt s surfaces cylindriques peuvent cire engendrées dt deux manières principales; ou par le mouvement d'une ligne droite qui reste toujours parallèle à une droite donnée pendant qu'elle se meut, en s'appuyant toujours sur une courbe donnée, ou par le mouvement

Îi2 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.

de la courbe qui servait de conductrice dans le premier cas, et qui se meut de manière que, s'appuyant toujours par le même point sur une droite donnée, tous ses autres points décrivent des lignes parallèles à cette droite. Dans l'une et l'autre de ces deux générations, la ligne génératrice, qui est une droite dans le premier cas, et une courbe quelconque dans le second, est constante de forme : elle ne fait que changer de position dans l'espace.

Les surfaces coniques ont de même deux générations principales.

On peut d'abord les regarder comme engendrées par une droite indéfinie qui, étant assujétie à passer toujours par un point donné, se meut de manière qu'elle s'appuie constamment sur une courbe donnée qui la dirige dans son mouvement. Le point unique, par lequel passe toujours la droite, est le centre de la surface; c'est improprement qu'on lui a donné le nom de sommet. Dans cette génération, la ligne génératrice est encore constante de forme; elle ne cesse jamais d'être une ligne droite.

On peut ensuite engendrer les surfaces coniques d'une autre manière, que, pour plus de simplicité, nous n'appliquerons ici qu'au cas de celles qui sont à bases circulaires. Ces surfaces peuvent être regardées comme parcourues par la circonférence d'un cercle qui se meut de manière que son plan restant toujours parallèle à lui-même, et son centre se trouvant toujours sur la droite dirigée au sommet, son rayon, dans chaque instant du mouvement, soit proportionnel à la distance de son centre au sommet. On voit que si, dans son mouvement, le plan du cercle tend à s'appro-

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a3

cher du sommet de la surface, le rayon du cercle décroît pour devenir nul lorsque le plan passe par le sommet, et que ce rayon change de sens pour croître ensuite indéfiniment, lorsque le plan, après avoir passé par le sommet, s'en écarte de plus en plus. Dans cette seconde génération, non seulement la circonférence du cercle, qui est la courbe génératrice, change de position, elle change encore de forme à chaque instant de son mouvement, puisqu'elle change de rayon, et, par conséquent, de courbure et d'étendue.

Citons enfin un troisième exemple.

Une surface de révolution peut être engendrée par le mouvement d'une courbe plane, qui tourne autour d'une ligne droite placée d'une manière quelconque dans son plan. Dans cette manière de la considérer, sa courbe génératrice est constante de forme; elle est seulement variable de position. Mais aussi on peut la regarder comme engendrée par la circonférence d'un cercle qui se meut de manière que, son centre étant toujours sur l'axe, et son plan étant toujours perpendiculaire à cet axe, son rayon soit à clia(iue instant égal à la distance du point, où le plan du cercle coupe l'axe, à celui où il coupe une courbe quelconque donnée dans l'espace. Alors la courbe génératrice change en même temps et de forme et de position.

Ces trois exemples doivent sullire i)our faire comprendre que toutes les surfaces courbes peuvent être engendrées par le mouvement de certaines lignes courbes, et qu'il n'y en a aucune dont la forme et la position ne puissent être entièrement déterminées par la définition exacte et complète de sa génération. C'est cette nouvelle considération qui forme le complé-

ment de la méthode des projections. Nous aurons souvent occasion, par la suite, de nous assurer et de sa simplicité et de sa fécondité.

Ce n'est donc pas en donnant les projections des points individuels, par lesquels passe une surface courbe, que l'on en détermine la forme et la position, mais en mettant à portée de construire pour un point quelconque la courbe génératrice, suivant la forme et la position qu'elle doit avoir en passant par ce point. Sur quoi il faut observer : i° que chaque surface courbe pouvant être engendrée d'un nombre infini de manières différentes, il est de l'adresse et de la sagacité de celui qui opère de choisir, parmi toutes les générations possibles, celle qui emploie la courbe la plus simple et qui exige les considérations les moins pénibles; 2° qu'un long usage a appris qu'au lieu de ne considérer pour chaque surface courbe qu'une seule de ses générations, ce qui exigerait l'étude de la loi du mouvement et de celle du changement de forme de sa génération, il est souvent plus simple de considérer en même temps deux génératrices différentes, et d'indiquer pour chaque point la construction des deux courbes génératrices.

Ainsi, dans la Géométrie descriptive, pour exprimer la forme et la position d'une surface courbe, il sulht, pour un point quelconque de cette surface, et dont une des projections peut être prise à volonté, de donner la manière de construire les projections horizontale et verticale de deux génératrices dillérentes qui passent par ce point.