Appliquons actuellement ces général

ités au

olan, qui, do toutes les surfaces,- est la plus simple, t't celle dont l'emploi est le plus fréquent.

Le plan est engendré par une j)remièrc droite donnée d'abord de position, et qui se meut de manière que !ous ses points décrivent des droiUs pnrallMf s à une seconde droite donnée. Si la seconde droite est ellemême dans le plan que l'on considère, on peut dire aussi que ce plan est engendré par la seconde droite, (|ui se meut de manière que tous ses pitints décrivent «les droites parallèles à la première.

On a donc l'idée de la position d'un plan par la considération de deux ligiîcs droites, dont chacune peut être regardée comme sa génératrice. La position de ces deux droites dans le plian qu'elles peuvent engendrer est absolument iiidifTérente : il ne s'agit donc, pour la méthode des jjrojections, que de choisir celles qui (•\i<.Tent les constructions les plus simples. C'est pour cela (jue, dans la Géométrie descriptive, on indique la ]>osition d'un plan, en donnant les deux droites -uivant lesquelles il coupe les plans de projection. Il est facile de reconnaître que ces deux droites doivent rencontrer en un môme point l'intersection des deux plans.de projections, et que, par conséquent, ce point est celui où elles se rencontrent elles-mêmes.

Comme il arrivera très fréquemment que nous ayons des plans à considérer, pour abréger le langage, nous donnerons le nom de traces aux droites selon lesquelles chacun d'eux coupera les plans de projections, et qui serviront à indiquer sa position.

14. Ces préliminaires étant posés, nous allons passer aux solutions de plusieurs questions successives, qui

rempliront le double objet de nous exercfr à la méthode des projections, et de nous procurer les moyens de faire ensuite de nouveaux progrès dans la Géométrie descriptive.

Première question. — Etant donnés (fig. 4) un ])oint dont Jcs projections soient 1), d^ et une droite dont les projections soient AB et ah^ construire les projections d'une seconde droite iTienéc par le point donné parallèîement à la première ?

Solution. — Les deux projections horizontales de la droite donnée et de la droile cherchée doivent être parallèles entre elJcs; car ehes sont les intersections de deux plans verticaux parallèles, par un même plan. Il en est de même des projections verticales des mêmes droites. De plus, la droite demandée devant passer par le point donné, ses projections doivent pass.or respectivement par celles du même point. Donc, si par le point D on mène EF parallèle à AB, et si par le point cl on mène ef parallèle à «6, les droites EF et ef seront les projections demandées.

15. Seconde question. — Étant donnés (/îg. 5) un plan dont les deux traces soient AB, BC, et un point dont les projections soient G, g, construire les traces d'un second plan mené par le point donné parallèlement au premier ?

Solution. — Les traces du plan demandé doivent être parallèles aux traces respectives du plan donné, puisque ces traces, considérées deux à deux, sont les intersections de deux plans parallèles, par un même

plan. Il ne reste donc? plus à trouver, pour chacune irelk'S, qu'un seul des points par lesquels elle doit passer. Pour cela, par le point donné, concevons une droite horizontale qui soit dans le plan cherché; cette droite sera parallèle à la trace AB, et elle coupera \o plan vertical en un point, qui sera un de ceux de la trace du plan cherché sur le vertical, et Ton aura ses deux projections en menant par le point g l'horizontale indéfinie gF, et par le point G la droite GI, parallèle à A13. Si l'on prolonge GI jusqu'à ce qu'elle rencontre l'intersection LM des deux plans de projection « n un point I, ce point sera la projection horizontale de l'intersection de la droite horizontale avec le plan vertical. Donc ce point d'intersection se trouvera sur la Verticale IF, menée par le point I. Mais il doit se trouver aussi sur gF; donc il se trouvera au point F d'intersection de ces deux dernières droites. Donc enfin, si par le point F on mène une parallèle à BC, elle sera, sur le plan vertical, la trace du plan cherché; et si, après avoir prolongé cette trace jusqu'à ce qu'elle rencontre LM en un point E, on mène ED parallèle à AB, on aura la trace du même plan sur le plan horizontal.

Au lieu de concevoir sur le i)lan cherché une droite horizontale, on aurait pu concevoir une parallèle au plan vertical, ce qui, par un raisonnement absolument semblable, aurait donné la construction suivante :

On mènera par le point G et parallèlement à LM la droite indéfinie GD ; par le point g on mènera gH parallèle à CB, et on la prolongera jusqu'à ce qu'elle coupe LM en un point H, par lequel on mène HD perpendiculaire à LM : cette dernière coupera GD en un

point D, par lequel, si l'on mône une parallèle à AB, on aura une des traces du plan demandé; et si, après avoir prolongé cette trace jusqu'à ce qu'elle rencontre LM en un point E, on mène EF parallèle à BC, on aura la trace sur le plan vertical.

16. TiioisiiïME QUESTION. — Etant donnes [fig. 6) un plan dont les deux traces soient AB, BC, et un point dont les deux projections soient D, t/, construire : 1° les projections de la droite abaissée perpendiculairement du point sur le plan; 2^ celle du point de renconlre de la droite et du plan ?

Solution. — Les perpendiculaires DG, dg, abaissées des points D et d sur les traces respectives du plan, seront les projections indéfinies de la droite demandée; car si par la perpendiculaire on conçoit un plan vertical, ce plan coupera le plan horizontal et Je plan donné en deux droites, qui seront, l'une et l'autre, perpendiculaires à la commune intersection AB de ces deux plans : or, la première ô,e ces droites étant la projection du plan vertical, est aussi celle de la perpendiculaire qu'il renferme; donc Ja projection de cette perpendiculaire doit: passer par le point D, et être perpendiculaire à AB.

La même démonstration a lieu pour la projection verticale.

Quant au point de rencontre de la perpendiculaire et du plan, il est évident qu'il doit se trouver sur l'intersection de ce plan avec le plan vertical mené par la perpendiculaire, intersection qui est projetée indéfiniment sur EF. Si l'on avait la projection ver-

3o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

ticale fe de cette intersection, elle contiendrait celle du point demandé; et parce que ce point doit aussi être projeté sur la droite dg^ il se trouverait à l'intersection g des deux droites je et dg. Il ne reste donc plus à trouver que la droite je : or, l'interseclion du plan donné avec le plan vertical qui lui est perpendiculaire rencontre le plan horizontal au point E, dont on aura la projection verticale e, en abaissant Ee perpendiculairement sur LM; et elle rencontre le plan vertical de projection en un point dont la projection horizontale est l'intersection F de la droite LM avecDG, prolongée s'il est nécessaire, et dont la projection verticale doit être sur la verticale F/ et sur la trace CB ; elle sera donc au point / de leur intersection.

La projection verticale g du pied de la perpendiculaire étant trouvée, il est facile de constridre sa projection horizontale, car si l'on abaisse sur LM la perpendiculaire indéfinie g G, cette droite contiendra le point demandé : or, la droite DF doit aussi le contenir; donc il sera au point G de l'intersection de ces deux droites.

17. Quatrième questioiN. — Estant donnés (fig. 7) une droite dont les deux projections soient AB, ah^ et un point dont les deux projections soient D, d^ construire les traces du plan mené par le point perpendiculairement à la droite ?

Solution. — On sait déjà, par la question précédente, que les deux traces doivent être perpendiculaires aux projections respectives des deux droites; il reste à trouver, pour chacune d'elles, un des points

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 3l

par lesquels elle doit passer. Pour cela, si, par le point donné,, on conçoit, dans le plan cherché, une horizontale prolongée jusqu'à la rencontre du plan vertical (le projection, on aura sa projection verlicalc en menant par le point d une horizontale indéfinie dG, et sa projection horizontale en nicnaat par le point D une pcrpendicuiaire DU à AB, prolongée jusfiu'à ce qu'elle coupe LM en un point II, «jui sera la projection horizontale du point de rencontre de l'horizontale avec le ])lau vertical de projection. Ce point de rencontre, ([ul doit se trouver dans la verticale HG et dans l'horizontale dG, et ])ar conséquent au point G d'intersection de ces deux droites, sera donc un des points de la trace sur le plan vertical; donc on aura cette trace, en menant par le point G la droite FC perpendiculaire à ab; donc 'enfin, si par le point C, où la première trace rencontre LM, on mène CE perpendiculaire à AB, on aura la seconde trace demandée.

S'il était question de trouver le point de rencontre du plan avec la droite, on opérerait exactement comme dans la question précédente.

Enfin, s'il fallait abaisser une perpendiculaire du point donné sur la droite, on construirait, comme nous venons de le dire, la rencontre de la droite avec le plan mené par le point donné, et qui lui serait per- })endiculaire; et l'on aurait, pour chacune des deux projections de la perpendiculaire demandée, deux points par lesquels elle doit passer.

18. Cinquième question. — Deux plans étant donnés de position {fig. 8), au moyen de leurs traces AB et A 5 pour l'un, CD ci Cd pour l'autre.

construire 1rs projections de la droite suivant laquelle ils se coupent ?

Solution. — Tous les points de la trace AB se trouvant sur le premier des deux plans donnés, et tous ceux de la trace CD se trouvant sur le second, le point K d'intersection de ces deux traces est évidtnunent sur les deux plans; il est, pr.r conséquent, un des points àc la droite demandée. On reconnaîtra de même que le point F d'iiitersection des deux tract s sur le plan vertical est encore un autre point de cette droite. L'intersection des deux plans est donc placée (le manière qu'elle rencontre le plan horizontal en K et I»' plan vertical en F.

Donc, si l'on projette le point F sur le plan horizontal, . . qu'on fera en abaissant sur LM la perpendiculaire I'7', et si l'on mène la droite /E, elle sera la projeclion horizontale de l'intersection des deux plans. De même, si l'on projette le point E sur le plan vertical, en abaissant sur LM la perpendiculaire Ee, et si l'on mène la droite eF, elle sera la projt ction verticale de la même intersection.

19. SixiKME QUESTION. — Dcux plaus (//g. Ç)) étant donnés, au moyen des traces AB, lib du premier, ( t des traces CD, Cd du second, construire l'angle qu'ils forment entre eux ?

Solution. — Après avoir construit, comme dans la question précédente, ia projection horizontale F/ de l'intersection des deux plans, si l'on conçoit un troisième plan qui leur soil perpendiculaire, et qui soit par conséquent perpendiculaire à leur commune iv. : crin «nge. — I. 3

section, ce troisième plan coupera les deux plans donnés en deux droites, qui comprendront entre elles un angle égal à l'angle demandé.

De plus, la trace horizontale de ce troisième plan sera perpendiculaire à la projection E/ de l'intersection des deux plans donnés, et elle formera avec les deux autres droites un triangle dont l'angle opposé au côté horizontal sera l'angle demandé. Il ne s'agit donc plus que de construire ce triangle.

Or, il est indifférent par quel point de l'intersection des deux premiers plans passe le troisième; on peut donc prendre sa trace à volonté sur le plan horizontal, pourvu qu'elle soit perpendiculaire à E/. Soit donc menée une droite quelconque GlI, perpendiculaire à E/, terminée en G et en H aux traces des deux plans donnés, et qui rencontre E/ en un point I; cette droite sera la base du triangle qu'il faut construire. Actuellement, concevons que le plan de ce triangle tourne autour de sa base GH comme charnière, pour s'appliquer sur le plan horizontal; dans ce mouvement, son sommet, qui est d'abord placé sur l'intersection des deux plans, ne sort pas du plan vertical mené par cette intersection, parce que ce plan vertical est perpendiculaire à GH; et lorsque le plan du triangle est abattu, ce sommet se trouve sur un des points de la droite E/. Ainsi il ne reste plus à trouver que la hauteur du triangle ou la grandeur de la perpendiculaire abaissée du point I sur l'intersection de deux plans.

Mais cette perpendiculaire est comprise dans le plan vertical mené par E/. Si donc on conçoit que ce plan tourne autour de la verticale /F pour s'appliquer sur le plan vertical de projection, et si l'on porte /E

<!«' / en c, /I de / en i, la droite e K sera la grandrur de lîi i>artie de l'intersection comprise entre' les deux ])lans de projection; et si du point i l'on abaisse sur cette droite la perpendiculaire i7r, elle sera la hauteur du triangle demandée

Donc enfin, portant ik de I en K et achevant le Irlantrlo CKH, l'anj^le en K sera égal à l'anj^le formé par les deux plans.

20. Septième question. — Deux droites f[ui se coupent dans l'esjiace {fi;. lo) étant données par leurs projections horizontales AB, AC, et par leurs projections verticales ah^ ac^ construire l'angle qu'elles forment entre elles ?

Avant de procéder à la solution, nous rettiarquefons (pie, puisque les deux droites données sont supposées ^'^ couper, le point A de rencontre de leurs projections horizontales, et le point a de rencontre de leurs projections verticales, seront les projections du point dans lequel elles se coupent, et seront par conséquent dans la même droite aGA perpendiculaire à LM. Si les deux points A et a n'étaient pas dans une même perpendiculaire a LM, les droites données ne se couperaient pas, et par conséquent ne seraient pas dans un même plan.

Solution. — On concevra les deux droites données prolongées jusqu'à ce qu'elles rencontrent le plan horizontal, chacune en un point, et l'on construira ces deux points de rencontre. Pour cela, on prolongera les droites ab, ac, jusqu'à ce qu'elles coupent LM en deux points rf, e, qui seront les projections verticales de ces deux points de rencontre : par les points d, e

36 LES MAITRES DE LA PEiNSÉE SCIENTIFIQUE.

on mènera dans Je plan horizontal et perpendiculairement à LM deux droites indéfinies dD, eE, qui, devant passer chacune par un de ces points, détermineront leurs positions par leurs intersections D, E avec les projections horizontales respectives AB, iVC, prolongées s'il est nécessaire.

Cela fait, si l'on mène la droite DE, cette droite et les deux parties des droites données, comprises entre leur point d'intersection et les points D, E, formeront un triangle, dont l'angle opposé à DE sera l'angle demandé; ainsi il ne s'agira plus que de construire ce triangle. Pour cela, après avoir abaissé du, point A sur DE la perpendiculaire indéfinie AE, si l'on conçoit que le plan du triangle tourne autour de sa base DE connue charnière, juscpi'à ce qu'il soit abattu sur le plan horizontal ; le sommet de ce triangle, pendant son mouvement, ne sorlira pas du plan vertical mené par AF, et viendra s'appliquer quelque part sur le prolongement de 1"A en un point H, dont il ne restera plus à trouver que la distance à la base DE.

Or, la projection horizontale de cette distance est la droite AF, et la hauteur verticale d'une de ses extrémités au-dc!^sus de l'autre est égale à aG; donc, en vertu de la ligure 3, si sur LM on porte AF de G en /, et si l'on mène l'hypoténuse a/, cette hypoténuse sera la dis lance demandée. Donc enfin, si l'on porte af de F en H, et si par le point H on mène les deux droites HD, HE, le triangle sera construit, et l'angle DHE sera l'angle demandé.

21. IIuittî:me. question. — Etant données les projections d'une droite et les traces d'un plan, cons-

triiirc l'angle que la droite et le plan forment entre eux ?

Solution. — Si, par un point pris sur la droite donnée, on conçoit une perpendiculaire au plan donné, l'angle que cette perpendiculaire formera avec la droite donnée sera le complément de l'angle demandé, et il suflira de construire cet angle pour résoudre la question.

Or si, sur les deux projections de la droite, on prend deux points qui soient dans la même perpendiculaire à l'intersection des deux plans de projection, et si, par ces deux points, on mène des perpendiculaires aux traces respectives du plan donné, on aura les projections horizontale et verticale de la seconde droite. La question sera donc réduite à construire l'angle formé par deux droites qui se coupent, et rentrera dans le cas de la précédente.

22. Lorsqu'on se.prc»posn de lever la carte d'un i)ays, on conçoit ordinairemeiil <iiic les points remarquables soient liés entre eux par des lignes droites qui forment des triangles, et il s'agit ensuite de rapporter ces triangles sur la carte, au moyen d'une échelle plus petite, et de les placer entre eux dans le même ordre que ceux qu'ils représentent. Les oj)érations qu'il faut faire sur le terrain consistent principalement dans la mesure des angles et de ces triangles; et, pour que ces angles puissent être rapportés directement sur la carte, ils doivent être chacun dans un plan horizontal, parallèle à celui de la carte. Si le plan de l'angle est oblique à l'horizon, ce n'est plus l'angle lui-même

qu'il faut rapporter, c'est sa projection horizontale; et il est toujours possible do trouver cette projection lorsque, après avoir mesuré l'angle lui-même, on a de plus mesuré ceux que ses deux côtés forment avec l'horizon, ce qui donne lieu à l'opération suivante, qui est connue sous le nom de réduction d'un angle à l'horizon.

Neuvième question. — Etant donnés l'angle formé par deux droites, et ceux qu'elles forment l'une et l'autre avec le plan horizontal, construire la projection horizontale du premier de ces angles ?

Solution. • — Soient A {fig, ii) la projection horizontale du sommet de l'angle demandé, et AB celle d'un de ses côtés, de manière qu'il faille construire l'autre côté AE. On concevra que le plan de projection verticale passe par AB; et ayant mené par le point A une verticale indéfinie Aa, on prendra sur elle, à volonté, un point d, que l'on regardera comme la projection verticale du sommet de l'angle observé. Gela fait, si par le point d on mène la droite cCB, qui fasse avec l'horizontale un angle d!BA égal à celui que le premier côté fait avec l'horizon, le point B sera la rencontre de ce côté avec le plan horizontal. De même, si par le point d on mène la droite dC, qui fasse avec l'horizontale un angle c^CA égal à celui que le deuxième côté fait avec l'horizon, et si du point A comme centre, avec le rayon AC, on décrit un arc de cercle indéfini CEE, le deuxième côté ne pourra rencontrer le plan horizontal que dans un des points de l'arc CEE. Il ne s'agira donc plus que de trouver la distance de ce point à quelque autre point, comme B.

Or, cette dernière distance est dans le plan de l'angle observé. Si donc on mène la droite dD^ de manière que l'angle DdU soit égal à Tangle observé, et si l'on porte dC de d en D, la droite DB sera égale à cette distance.

Donc, si du point B, comme centre, et d'un intervalle égal à BD, on décrit un arc de cercle, K* point E, où il coupera le i)remi('r arc CKi'\ sera \v j)oint de rencontre du deuxième côté avec le plan horizontal ; donc la droite AE sera la projection horizontale de ce côté, et l'angle BAE celle de l'angle observé. •»

Les neuf questions .qui précèdent sufllsent à peine pour donner une idée de la méthode des projections; elles ne peuvent en montrer toutes les ressources. Mais à mesure que nous nous élèverons à des considérations plus générales, nous aurons soin de faire les opérations qui seront les plus propres à remplir cet objet.