DE L'AUTEUR

La première idée qui Qx'engagea. sk (enter la carrière nauyelle de la Gëomé^.

trie du Coiçpas fut pelle-çi : puisque Toa, fait chaque jour dç si belles découvertes, eo avançant dans, les Mathématiques^ Qe pourrait-on pas , en revenant sur ses.

pas , trouver quelque endtoit encore in-r..

connu dsçs le yaste champ qu'elles ofr frènt à parcourir? Jusqu'ici OU; 9 regardé ea (ji^métrie comme les solutions les plus simples celles qui n'exigeaient que h secours de la r^gle et du compas : c'est- ^T^ii'e de la ligne droite , la plus simple deslignes^ et du cercle, lapins simple des cx>urbes. A ces deux instrumens des pro-^, blêmes, si l'on peut s'exprimer ainsi, qui pendant un temps constituaient et déter^ 9liQ2lient^ la Oéqmétrie élémentaire, on^

6 PBBFACE.

ajouta dans la suite les courbes coniques ; celles-ci furent suivies des courbes supérieures au second degré , et des transcendantes de diver s e s espèces .

Le domaine de la Géométrie continua à s accroître à laide de ceâ profi>ndefe l-echerches et avec lé nouvëatû Sëoinits de 1 analyse finie el infinitéâimàlëy au^point qUè les- inventions ^quî d'abord. dVaient fixé lUdiniratiôn des ahciétis , et 'ôiéritë les sâcrifi-ces de Thaïes ^% de Pythagdré^, sont devenues rapan'àge des. eûfans de ndS; jours. Je me dis à moi- même : ti* pouT^i rais-tji pas revenir aux éléméûs , e^ reû-^' ttant dans la ligne de démarcation , et (îherchér s'il n'est jusqti-îdi rien, resté en aïfrîèré qui -ait été néglige ? EiSt-il bien vràî' que lies problèmes ëlééifeiitairès d'Eriiclide soient de la plus sntipleconStrublion posstble? Tïé pourrait -on pas décomposer rélëmeht- nrrithémàtiqu^ en ses ëlëmens'ft>ndam*ûtà;ûx 5 la i-ègle 6t

le compas , à rexemple de ceux* qiii ôtit

tj»i* SpfuJrêCpei jai'eiçpjtpye*; i qjvByle.;ÇOip»T. «ôKQle- <iijt}) vm aiîç 9 m^Â^ en ftDL ^^çrjiyj^at W]»eaau¥0rtHre^i trouji^^f par ]l^ .çaipyen

piônts q^rç^s de po^|^ipijiidaj^;UU,pro-

qufioi . :^ue .^ftttç ; tranche, ; a'ft vfi,H, eaçojcç çté ciiltiyëe. îpaur, ^uçiji^ .m jLthécgatlçieu , at .qu€î)les:S0ÎPti9Ms dq ce, gear^ ,, phterr nues par hasard à laide dux:aip.pas Sjeul , aar^^iit /^^ Ipar leur cai^s fraction, plus 4léme«fair^^ que, tfmtç awjtre., . : > . .

, ^[)|Çta^;|*;ûi^Qi^ cepen/cl^nt ;me ,Erent hésiter. iijw»dja«t,-jqjiei|qîie . tpçipSj ,à ..es^trefwrendrp ,vÇ6;t^ pt^yi;^ge ,, v4^i^s^ 1* crainte

8 PA£FSiC£:«

^U'efn me servant de ce moyeu; mes ef^ forts ne de^iûsâent inutiles.; D'abord je né voyais pas trop ce qui rësulterait de trouver-avcc le senl compas des points que d'autres ont trouves avec le oompas et la règle rëunis. Je craignais ^i second lieu y et cela ëtait bien naturel , que mes essais ne ftissent pas couronnés du succès que j'en espérais ; mon travail alors e4l été perdu. Les constructions faites avec le séulcompas pour dëtermiôêr leis points de k Géométrie élémentaire, jpouvaient être enciore plus compliquées que celles déjà connues où Fpn emjîloyait de plus la règle. Ma théorie aurait ainsi manqué d^élégaiice, et la pratique de précision; ainsi j^étais sur le point d'abàndoAnep

mon èntr^rise.

Dans mon incertitude, il mWriva par hasard de réKre la manière avec laquelle Graham et Bird eà Angleten^ ditisèrtent leurs grands quarts j^cÉfrclè^^ astppnomiguès (■ETicxclopédieméthoditftte;eLnïdç

Quart de cercle mural). Geiui qu'a fait Gi^aham pour Tobservatoire de Grçenn wich, hon^seulementa servi de modèle à la plus grandepartie de ceux qu^on a faits depuis y mais encore a mérite par sa pre^ cision d'être regardé par }es astronomes comme un des meilleurs jusqu'à ceux de Ramsdeu. Je m^aperçus donc que la di-?

vision de cette célèbre machine avait étd faite à Faide du compas seul sans la rèr gle ; rien de plus intéressant que la âfis^ cription des moyens employés par cet artiste , dans cette longue et ingénieuse opération. Je n'entrerai point ici dans Texplication des motifs qui firent exclurq la règle; ils seront facilement sentis par ceux qui se connaissent en travaux de ce genre. Pour démontrer en général la sut périorité de Tusage du compas sur celui de la règle , quand iL s agit de décrire avec précision des lignes^ Tépreuve du mieii^oscope , i} suffit de dire qu'avec une règle tant soit peu longue , il est pres(]^ue

tou8;i€â pointe qtxonjtK^i» ^%Wt il fi^ 4ifr ficilè qu'aire isoit rigo^Teu^ment diloite dàinà toute sa/loitgaeur>, Fûtr^lLe m^coe ti5è»; droite ^ feâ prf^ticiens s^ïwt. que la tcaœ* d'u&e ligue. nl4Dëi&. le long de; la râgle porte av^c .elle .tip^ incentitude^ de parallélisme: danis le^imQÉiyfemeQt de Vase de là pointei qui txnaxçpie^^^ ou, de. par^tQ applicatieiQ de cette pointe à l'arète d^ Ift pègle;; Mue couipas n'est poiin^ sujeît à ces deux incbuvéuiens ;^ il suffit quiç s&n oayeiature soit fixe et jles pointes t,tyç8 fines; en plaçant Tune déciles en un ppin^t pris pour céùtre ^ iFautre décriit uù a^'C aussi exact: qu il est .possible. .^En^ li$aut la description de la P^Qtbode de Qrahafnj

je. remarquai quil rejKQiilra quàtF^. dif^ ficultës ;-..., •'■ '. -1 .. ,m' : ^

• Là première, fut d'être objigë d'opéi^^ par tatonnéméns^ £û parlant en pfFe,t d^ Farc de soixante degrés qu'il de0r>qaina par le mo^en du «:ayon , on voit que

toutes les subdivisions ^ fui*ent faites • par esËàU. Les aïicîe^s ne tions Oûf' laissé k* moyen de 'diviseif k «irconfdreiiiîé âvee le seul 4cétnpas qu^^u 5ix paTti^es',^ comme il lest euseigué et démontre dkfi s la quiazièîiïêi proposition dm liv. 4 ^des Élëmens d'Euclide ; Graïiaïnine put donc obtenir une- prëôision' gëo^m^riqueique pour un

Le second itiGônvénient fut k perte de^temps^, que les plus habiles iméiiiea ne seunaiient 'éviter dans les î9xpéri0noe&.'

Le >troisièmè fijt d'avoir lété oblige d'employer deux plans ^ iun pour les, essais» j et iFautreyqui. vétait^ le .quart! de cercle liii-*ïnêmç y 'sur' > lequel il '- transposai^ les résultats ; iceiqù^il ifaifiait pour nepas gâter, îpar/les essais biir le quarts dé <>éi-éle> y la surface du limbe* /,);;.;

©nfifi y '>Ja quatrième /difficulté fut S'avt>irT été îoblrgé»d'éxécuter deiii/ divisionâ différiesit^.'CkiaQaime la di vision* jdu quart de ceirele :en ^90^ » entraînait avec «lie lèa

la PBEFACE.

subdivisions d'un arc en 3 et en 5 par-^ ties, et que les essais de ces subdivi-siona étaient imparÊiits par le trop grand nombre d'erreurs inévitables, il voulut tenter une autre division du même quart de cercle, approchant de la première, qui ne divisait L'^rc que de deux en deux parties. Âya^nt donc divisé l'arc de 6o° en deux parties , il eut l'arc de do" j le.

quart de cercle se trouvant par là divisé 3

en 3 parties , avec les subdivisions par a , ,e

oo eut ensuite la 6^% la la" partie, jus-. x

qu'à ce qu'enfin le quart restât divisé :a

en 96. Cette division était celle qui mé-. j

ritait le plus de confiance j mais l'autre. t[ division en 90 degrés , devant servir . m immédiatement aux astronomes , fot m;

comparée à la première, et corrigée par gg

le moyen d'une table calculée à cet effet, jg

Tous ces inconvéniens engagèrent sans j^

doute Bird à recourir à une autre mé-v i^, tfaode pour diviser ses quarts de cercle. '^

Elle consistait à déterminer les ares par^ ^

PRÉFACE. l3

leurs cordes qu'il prenait sur une échelle divisée en parties égales. Elle n'était pas cependant exempte d'imperfections, puisqu'elle manquait d'abord de précision géométrique, et qu'en second lieu^ le quart de cerclé avait nécessairement les inexactitudes qui se trouvaient sur Téchelle.

L^importttnce des insttumens astronomiques m'engagea à considérer mon projet de la Géométrie du compaâ sous: un, point de vue plus favûrahle. Je coinmea-çai à croire que j'aurais beaucoup fait , si je réussissais à diviser la circonférence en plus de six parties par le secours du compas seul ; j aurais i^ndu aux artistes qui travaillent aux instru^ mens astronomiques un service d'autant plus important , que mes subdivisions de la circonférence auraient été plus étendues et plus conformes à la division, du quart de cercle en 90°. Je fournissais à cette classe de mécaniciens un

k4 PREFACE^

niiyféà de prëcision gëomë trique àjamA leurs divisions* Je leur, épargnais Jft teinps des tàficmnenieDS , la iiecesjàité. de fairadeupL divisioas à la fois et sur deux pla^s diffërans , et' surtout je rendais .

inutile l'usage^ de Féchelle dont on nç^ petit gamntÎT' Tesactitude , bien loin^ qu'elle soit d'une rigueur géométrique «^ Il ne me restait que la ,s§ule crainte que nora nouvelle méthode ne fût coDûb-piiquee et trop- longue! poui^^étr^ com^:

mode dans la. pratique; :o>

iJé nie mis ' néanmoins à l'ouyrag^,<) Voyant que je nei devais pas attendre, beaucoup de rapplication de l'4-lgèbre^ à la Géométrie^ j'eus recours à 4'.awtrès moyens purement géométriques. :/J6:

ne les indique pas ici , paroe. que cidrqs, cette noùtelle carrière je n'ai p^fi.tenU:tt>ujours- la même route ,' et qaê je .doi$ beaiucoup aii basard<:Ce Ur'aréjbé soitveï^t, qix'aprèâ maintes tentatives différented quej'ai obtenu leirésultatquejedherchaiîsr»

Je laissé à' d'autres le sôiiï d'examiner la^feaîtrequi liéeritre eux- les proMènies dé cette nouvelle théorie; ils pàrvieûr àtént piBùt^lre à' suivre le fil qui côn-^ diiit pàif^ ôrdi*è de Fun à f autre, et ^ui^ S'il €Mêtê àéconxeri dès lé conitrièncei îxienf y aurait rendu plus courte ël pltfe facile Pinvenffioii dé la GëotAétrié- dû Côbpas.'-"''^ " ' ' 'r •■•' ' •• '■ "^

'■ J^àdresSiai alors lè ^ premier êsîsài ' de môfl^ entreprises à M. Atohibâl Bec^câi-îà , avec une lettre que jé fis - tn^ sërér dans le journal dé Blrugnateîli; Cet excellent artiste, àlors-^Pattice niî^ lisifiàis , depuis tnetnbre de là - m-dni- Ctpàlîté et dïi comité d^iiistriictiôn ^ù^ Mî^^tîé; cette ville, rétiflit àlà gloire d?àrë lè frèft du ééfôbré feiùteUr dU livt'é de^ Délits et des Peines l celle qiii lui èâl pfoiirè d'èxêctitér avec la plù^ gfaûdé h^l^é" "tou^^ lés msthimensf dé; MâtHëitriatlcjÙéfe lès- pltis délicats. ■ '^ "' "

'*]!ifN6b'|)remîèf* essai consistait daûs là

i6 paÉFAGB;

méthode de diviser la circonfëi'eiicé en 24 parties , à laide d'un seul {^iat pris hors d'elle. L'exécution de cette division est la plus simple qu'on puisse espérer, et je l'ai conservée dans cet ouvragCé Celle que j avais donnée eu 1 2io parties était trop compliquée ^ j'en ai trouvé une beaucoup moins longue ^ et telle même que je la crois la plus courte possible. J'y avais ajouté aussi une construction très prompte pour obtenir les racines carrées des nombres, depuis l'unité jusqu'à 10; je Tai ei^cpre conservée dans cet ouvrage.

J'ai omis les autres problèmes exposés dans cette lettre , parce qu'ils ét^ipnt trop compliqués, ou d'une approximat tion insuffisante. Je suis parvenu de^ puis , comme on le verra , à diviser très promptement la circonférence en n^o parties, avec une exactitude ^ géof métrique, par le moyen du compas seul et de trois points pris hors de la nooéfn^

cirbonfërence. Chacune de ces parties ^ est un degré et demi de la dinsion en 36o^, usitée jusqu'ici. Je. partage tout arc quelconque en deux parties , et cela géométriquement, par approximation .

Je divise la circonférence, avec trois points seulement, en degrés et quarts de degrés , sans erreur d'un sixième de seconde;

Avec ces mêmes points je la divise eu minutes , avec erreur de moins d'une seconde. Je me suis flatté que les astronomes pouvaient être contens de cette précision ^ parce que je ne sache pas d'ar-^ tiste , même panni les plus célèbres , qui ait passé outre.

Gepëndant je ne crojrâ.ià pas encore avoir assez fait , si ma nouvelle théorie ne servait pas aussi à la nouvelle division du cercle.

On sait que les Français , heureux de posséder dans leur patrie les premiers géomètres de Funivérs , ont enfin , d'après

l8 PRÉFACE.

leurs conseils , adopte pour tous les> arts la seule division décimale tant souhaitée des savans.

Sans doute que cette division réussira avec difficulté dans les autres contrées ^ à cause des préjugés , et surtout de la force d'inertie; mais elle s'établira enfin d'une manière inébranlable partout où Ton aime les sciences , et où les inté^ rets du commerce sont bien entendus.

Une des divisions les plus difficile^ à changer, était celle de la circonférence du cercle, en 36o°, et la subdivision ea- 60 parties , employée par toutes les nations ; et Cela y à cause des fatigans travaux qu'il fallait nécessairement entrÎ9-^ prendre pour refaire les tables trigonométriques dans un nouveau système j mais Ténergie d'une grande, nation qui se régénère ne connaît point, d'obsta-»clés. Ayant déterminé 4<>^ parties ou degrés dans la circonférence^ le quart du cercle, qui est le fondement de la

PAÉFACE. ig

TrigonoQiétrie ;, se trouve divisé en loo parties, chacune desquelles se subdivise en loo autres, et ainsi de suite.

Les tables des sinus naturels et artificiels de ces divisions et subdivisions sant déjà calculées et imprimées. Mais pour que rien ne manque à la stabilité et à la certitude de la précision des nombres, on a entrepris en .France de les feire imprimer en caractères soudés en plwib. Oii voit déjà de ces nouvelles tables exécutées d^apr^ la méthode nonvdle et ingénieuse de Firmin Didotj appelée ôtét^éotype.

Une société de calculateurs très habiles ' en prépare encore d'autres plus étendues et avec un plus gra.nd nombre de déoimûles ^ sous la direction du ce- 1^1^ jDd Pronjr. Toutes ces circonstances m'engagèrent à chercher une méthode, au moins d'approximation, pour diviser la circonférence en ces nouveaux degrés' ^ parties de degrés. J'aî^ réussi ^ avec

trois points seulement et très peut d'ouvertures de compas ^ à obtenir cette nouvelle division décimale de la circonférence sans erreur d'une seconde.

Quand je n'eusse fait autre chose que ce que je viens d'indiquer , cela aurait suffi à la recommandation de Tusage du compas seul. Mais en avançant ^ j'ai trouvé qu'il n'y avait point de proWéme de Géométrie élémentaire qui ne puisse se résoudre avec ce seul instrument, c'est-à-dire en ce sens que lé comipas suffit pour trouver tous les points demandés par le problème ^ pour la position et la détermination des droites dont on a besoin. Ceci intéressait la théorie f j'ai voulu épuiser le sujet , donner tous Içs élémens pour tous les cas possibles , et démontrer qu'on peut trouver avec le compas seul toijs les points qu'Euclide et les autres auteurs de Géométrie élé-^ mentaire ^ enseignent à trouver avec le^ secours de la règle et du éonlpa^ idéunis-r

Quoique tous les problèmes élémentaires résolus avec le seul compas n'aient pas une solution assez simple, j'ose dire pourtant que la plus grande partie des plus nécessaires sont résolus avec assez de brièveté et de simplicité, pour engager les praticiens à rejeter le secours de la règle, et à se servir du seul compas pour trouver les points fondamentaux.

Les moyens que je propose dans ce livre justifieront ce que j'avance. Je n'indiquerai point ici tous les problèmes semblables qui m'ont paru de quelque importance : en voici cependant quelquesuns.

Si Ton cherche avec le seul compas le centre d'un cercle, on le trouvera promptement et sans peine 5 on aura de même les troisièmes et les quatrièmes proportionnelles, et par conséquent les moyennes proportionnelles.

On pourra aussi , avec le seul compas , construire des polygones réguliers ins-

an PRÉFACE.

crits ou circonscrits au cercle (i). Le seul compas suffira encore pour trouver les racines carrées des nombres , pour doubler , multiplier les surfaces des carres , des cercles et des autres figures semblables. On résoudra avec une exactitude géométrique tous ces problèmes , car leur nature les en rend susceptibles.

Ensuite , par approximation , on trouvera une longueur égale à la circonférence d'un cercle, ou un arc égal au rayon , ou un carré égal à un cercle , ou un cercle égal à un carré, ou une spbère égale à un cube , ou un cube égal à une spbère , ou un cube double , ou triple, ou quadruple d'un autre. On pourra résoudre tous ces problèmes en employant des sections d'arcs , ou en déterminant, toujours sans autre instru-ment que le compas , la longueur des

(i) Les ingénieurs militaires trouveront peiit-être ici quel<|ue chose d*utile pour leurs travaux.

côtes QU de? rayons dont on a besoin pour les figures demandées.

Voilà, en peu de mots, le fond dé la -Géotoiét'rie du compas que je présente au public. X^uant aux démonstratîdnis , je me s^iis- servi , autant que j'ai pu , 'de la Géométrie des an<iiéns; cela m -a paru plus conforme à laùature de mesproblèmeâ, et plus court. Partout où lés procédés géométriques devenaient trop longs pour obtenir le résultat , j'ai employé le calcul ; j'ai donc en même temps recbercbé la brièveté , la clarté , Télégance autant qu'il m'a été possible.

J'ai cité Euclide , ce grand maître en fait d'élémens. Lorsqu'il est question de proportions , les numéros des propositions que je cite sont ceux de Tacquet^ parce que son livre est plus répandu en Italie que l'ancien texte d'Euclide.

J'ai placé dans le onzième livre, en faveur des artistes qui ne voudront que s'amuser avec le compas , plusieurs pro-

blêmes récréatifs tirés de Pappus^ è^ Ozor nanij de Simpson et de plusieurs autres auteurs. Yoilà tout ce que j'avais à dire à mes lecteurs sur la Géométrie du compas. Elle est 3 qu£iut à la construction de ses problèmes y la plus simple et la plus élémentaire qu'on puissie désirer, et je ne sache pas que cette matière ait pté tf*aitée jusqu'ici par personne..,

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