HE = -=V

tIVR£ SIXIEME. 125

105. Comme on a - \/n z=i\/ j, par exemple, - ^/»7 = ^/4, etc., on aura facilement,

au moyen de ce problème , les racines de tous les quarts , depuis i jusqu'à 25 ; ce dont on fera usage, comme nous le verrons, dans la construction des figures semblables.

106. Si Ton avait pris le rayon AB= a, on aurait eu toutes ces distances doubles de valeur ; d'où nous aurions eu les racines entières des nombres depuis i jusqu'à ^5. On pourrait donc facilement doubler l'une quelconque de ces moitiés de racines pour avoir la racine entière (64).

107. La facilité de cette construction qu'on exécute avec les trois seules ouvertures déjà observées (55) , savoir :

la première = \/i , la troisième = v/a , la seconde = v/5,

avec lesquelles on a déjà divisé le cercle en ^4 parties égales , et trouvé ensuite les ^5 racines successives des premiers nombres , fait voir l'excellence de la Géométrie du compas , et combien elle peut contribuer à la perfection des arts.

i:i6 GÉOMÉTRIE DU COMPAS.

108* On a eu soin ,. dans la construction précédente, d'employer le plus qu'il a été possible le premier compas dont l'ouverture = i, qui a décrit la circonférence BDd, et qui con« servant l'ouverture fondamentale , mérite plus de confiance que les autres. C'est aussi pourquoi on n'a voulu employer que les trois premiers compas les plus remarquables (107); ce qui a fait que quelques-unes des sections des arcs se sont faites à angles un peu aigus , comme celles des points S, ^^ 0, o^ et surtout celles des points L et /• Si l'on voulait avoir tous les angles d'intersection plus approchans de l'angle droit, on pourrait employer la construction suivante.

Autre construction de la figure 45.

409. Après avoir trouvé les points M et m, comme dans la solution (104), du rayon BD et des centres M et m soient décrits deux arcs qui se coupent en H.

Du r^yon A B et du centre H soit décrit un arc qui coupe la circonférence en et p; du méoiié rayon soient déterminées les doni* circonfére^ces £^ , o Ë$ (64) ; du rayon BE et du centre H soit décrit ua anc qui éoupe la circonférence en L et L

LITRE SIXlàllE. 127

Tous les autres points de la fig. 6e trouveront comme au n® 1 04.

Démonstration. Nous démontrerons que les points que l'on trouve avec cette construction^ sont les mêmes que ceux trouvés par la première.

Après avoir démontré (404) que BM=:MR = R/w = /wB, et que les trois points B^ A, R sont dans la même droite , ayant de plus par construction MH=:ME = mH = mE, H sera sur la même droite BAR (15), et l'on aura HB = RE(14): donc le point H sera le même que dans l'autre construction. Ensuite les lignes HO y Ho étant égales dans les deux constructions, les points et o seront aussi les mêmes. Si l'on soustrait l'arc o^E des deux demi-circonférences BsE, oES, les arcs restans Bo, ES seront égaux ; d'où

ES = Ba = BO = AQ = RQ;

d'où aussi le point S sera le même que dans la première construction; le point s le sera également; puis la base HTR du triangle HLR étant divisée par LT en deux parties égales^ on aura (26)

(HL)* + (LR)- = 2(Ht)* + 2(TL)-;

4 + (LR)* = 2 4.2(TL)-; ou bien