PROBLÈMES DIVERS

PRO,BLEME

151. Étant donnée une échelle SL ^ trouver la surface du triangle ABD et du quadrilatère AOCD(fig. 76).

Solution. Faites à BÂ=Ba^ et à DA=Da (11); portez sur Téchelle SL les distances Xa et BD prises avec le compas. Supposons, par exemple, que l'on trouve Aazrzy, BP=8; multipliez ces deux nombres entre eux, prenez le quart du produit = i4; ce nombre exprimera la surface du triangle ÂBD.

Pour trouver la surface du quadrilatère ABCD , après avoir déterminé le point a comme ci -dessus, on fera à BC=Bc et à DC==Dc; on trouvera sur l'échelle les deux distances Aa, Ce; soit, par exemple, Aa = jf Ce =5; prenez la somme de ces deux quantités = 12 : multipliez par cette somme

l86 GÉOMÉTRIE DU COMPAS*

= 12 la valeur de BD trouvée sur Téchelle = 8 , prenez lé quart du produit = 24, ce nombre exprimera la surface du quadrilatère ABCD.

Démonstration. La ligne A a est double de la perpendiculaire qui tombe du point A sur la ligne BD (14); mais la surface du triangle ABD est égale à la moitié de la surface d'un parallélogramme qui aurait pour base la ligne BD^ et pour hauteur cette perpendiculaire (4i , Iw. i) : donc elle est égale au quart du produit de A a par BD. De même la surface du triangle BCD est égale au quart du produit de Ce par BD : donc la^ surface du quadrilatère ABCD est égale au quart du produit de la somme des deux parallèles A.a, Ce par leur perpendiculaire BD.

i 52. Le problème précédent peut servir a mesurer la surface d'un espace renfermé par un polygone quelconque, en imaginant des droites qui le partagent en autant de triangles ou de quadrilatères que l'on jugera convenable. On pourrait proposer encore d'autres manières de la réduire en trapèzes ; mais oû peut facilement les déduire de la méthode avec laquelle on a résolu ce problème.

LIYâB ONZIAhJE. 187

PROBLEME

^ i 55^ Etant donnés (fig. 77) les plans tria^-* I giilaires qui compHnnent une pjrrgmde tétraèdre j tpoiwer sur sa hase le point où tombe la perpendiculaire abaissée du somtnet ^ et trouuer sa hauteur.

Solution. Soit le triangle ABC la base dé cette f>yramide tétraèdre , et soient A E C ^ B D C AFB les plans triangulaires qui vont se réunir à son sommet; du centre C et du rayon CD =: C£ soit décrit un arc qui passe par les points ^ei d; du ctotre B et du rayon BD soit dé^ crit xin arc qui coupe le premier en c/; du centre A et.du rayon A£ soit décrit un arc qui iDOupe le rayon en e ; soit^troiiyé le polptP où se coiipent les deux droites l^d^ Ee {ii^)i ùB point sera celui où tombé la perpendiculaire abaissée du sommet de la pyr^midà.

Soit diTisée par mcûtié la droite CE au pOiut ^ (66) ; du centre m et du raj^ôn mC soit décrite la demi-circonférence CpE; soit fait à CP = Cp ; laL ligne Ep sera la hauteur de la pyramide.

f88 GÉOMÉTRIE DU COMPAS.

Démonstration. Si dans la pyramide S ABC qui a pour base le triangle A BC et pour sommet le point S , on mène dans le triangle SCB la droite S S" perpendiculaire à C B , et si l'on élèye du point cT pri^ dans le plan de la base ÂCB la perpendiculaire ^dy elle contiendra le point P , où tombe du sommet la perpendiculaire SP (i I , liv. Il); de même , si du point S dans le plan SÂC, on mène à^ AC la perpen^ diculaire S g , et si du point € dans le plan de là base AC B , on mène à la même droite AC la perpendiculaire ^e^ elle contiendra le point P : donc ce point sera l'intersection des deux droites S'a, ee. Mais dans la fig. jj, où les points D et E représentent le point S de la fig. 78, D^est perpendiculaire à BC en un point J^ ( 1 4) ; de même aussi E e est perpendiculaire à A C en un point e : donc le point P est le point cherché.

De plus y les deux! triangles CPS {fig. 78), C/?E (Jîg. 77), étant rectangles en P et/?, le premier par supposition et le second par la 3 1* prop. du Zip. 5, et CS étant la même ligne que CE, onaCP=3sC/7. On aura encore P S ss^Ej car (>îg. 78) (47, &V. i),

(CS)--CCP)-=:(PS)- .

de même on a (Jig. 77)