LIVRE ONZIÈME

d'où l'on voit que les côtés EN = g, BN = g, BE = -=- seront en proportion arithmétique*

PROBLEME

180. Former (fig, ^i) un triangle rec^ tangle dont les côtés soient en proportion géo^ métrique.

Solution. Du centre A avec un rayon AB soit décrit un cercle BD^, et soit fait dans sa circonférence àAB = BC=CD = DE = Ec/ ^dc; soit fait ensuite à BD = Ba=Ei2 et à Aa=:D6=rf6 = C/3 = Cj8 j maintenant du centre E et du rayon b^ soit coupée la drcouférence du cercle en N j le triangle BNE sera le triangle cherché.

Démonstration. La ligne AB est divisée en b en moyenne et extrême raison (46) : donc si l'on fcdt AB=i,A6=:x, on aura

B6== I — ^, et ^*= I îT— orj

et résolvant cette dernière équation ,

d'où résdte

on a ensuite (3i , &V. 5) (47^ lii^. i)

(BE)* = (EN)*H-(BN)%c'est-à-dire

4==:6 — 2l/5 + (BN)*J

d'où Ton tire

(BN)-=a(v/5— i) = BE.NE; donc on a (17, liv.6)

BE:BN ;: BN;NE:

i8< . Lemme. Si Ton fait les çotçs ^es cinq polyèdres réguliers = i , on aipra le rayo»

d'une sphère

au tétraèdre = i t /? , au cube = i |/5^

circonscrite ^ ^ l'octaèdre = i ^/a ^

au dodécaèdre = j i/5.(|/5+i) àl'icosaèdre =i4/(5±JI^)