LIVRE ONZIÈME. 2l3l

Démonstration. Le carré du diamètie de U sphère circonscrite à la pyramide comprise entre quatre triangles équilatéraux ^ vaut (i 5, Uv. i5) une fois et demi le carré du coté de la pyramide , c'est-à-dire en faisant le côté = i , le dia-

mètre est égal à i/ -; d'où le rayon = - 1/ -.

Le carré du diamètre de la sphère circonscrite au cube vaut (i5, ZtV. i5) trois fois le carré du côté de la pyramide , c'est-à-dire le

diamètre = y/S ; d'où le rayon = - y/3.

Le carré du diamètre de la sphère circonscrite à l'octaèdre (corps régulier terminé par htdt faces qui sont toutes des triangles équilatéraux) , est ( 1 4 , U^- x 5 ) double du carré du côté d'un de ces triangles , c'est-à-dire le dia-

mètre = ^2 ; d'où le rayon = - j/2.

La sphère circonscrite au dodécaèdre (corps régulier ^ terminé par douze faces qui sont toutes des pentagones réguliers ) , est aussi circonscrite (17, /iV. 1 5) à un cube qui a pour côté une diagonale de ces pentagones. Mais si l'on fait {fi^. 64) le côté AB = i , la diagonale BN

du pentagone ABLMN = - ( V^5 + 1 ) ; en

effet, on a (137)

252 GÉOMÈTBIE DU COMPAS.

BN=éE=Aè+AE=- (t/5— O+i (f 80)

donc BN ou la diagonale dSin pentagone qui a

le côté s= I , est égale à - ( \/5 + i ). Si sur

cette ligne on forme un cube ^ on aura le carré du diamètre de la sphère qui lui sera circons-

crité=5(BN)% et le diamètre=î( j/5+i). ^/3:

donc le rayon de la sphère qui comprend le do-

décaèdre= y i/5 . ( [/5 +• i ).

Si ÂB est le diamètre de la sphère qui com-^ prend l'icosaèdre (^g. 92) , et qu'après avoir pris sur cç diamètre AC=4ÇB^ et élevé la perpendiculaire CD qui rencontre en D la demicirconférence ADB, on décrive avec le rayon D B un cercle , et dans ce cercle un pentagone régulier, le côté de ce pentagone isera ( 1 6, &V. 1 5) le côté de l'icosaèdre (corps régulier terminé par vingt faces , qui toutes sont des triangles équilatéraux) ; or le côté du pentagone est au rayon du cercle circonscrit comme B6 est à BA (^. 12) (40) : mais faisant AB=z= i , on a,