LIVRE QUATRIÈME

DE L’ADDITION ET DE LA SOUSTRACTION DES DISTANCES ; DE LA SITUATION DES PERPEN- DICULAIRES ET DES PARALLÈLES.

71 . Il est sans doute fort simple et très facile d’ajouter à des distances données , ou d’en retrancher une autre distance avec la règle et le compas, en tirant une droite indéfinie par les deux extrémités de la première distance , et en y ajoutant ou en en retranchant avec le compas la seconde distance (3 , liv. i); mais il n’est certainement pas aussi prompt ni aussi aisé de le faire avec le compas seul : aussi ne donnerons-nous pas ici les problèmes suivans comme d’un grand usage , mais seulement pour faire voir qu’il n’y a aucun problème de Géométrie élémentaire qu’on ne puisse aussi résoudre avec le compas seul dans le sens déjà expliqué (1), ce qu’on démontrera dans la suite plus rigoureusement , et pour remplir la promesse que nous avons faite (7) de n’omettre aucun des élémens de cette nouvelle Géométrie.

72. De la distance AB (fig. 24 ) retrancher une distance égale à CD.

Solution. Du centre B et du rayon CD (si c’est du côté de B qu’on veut retrancher la distance) décrivez la circonférence F G E H ; du centre A, et d’un rayon quelconque soit décrit un arc qui la coupe en E et F, et divisez en deux parties égales au point G l’arc EGF (60), le point G sera sur la droite B A, et l’on aura pour reste la ligne GA.

Démonstration. Les triangles EBG, FBG ayant les côtés égaux, l’angle EBG sera égal à l’angle FBG (8, liv. 1 ) : donc l’angle EBG sera égal à la moitié de l’angle EBF. Les triangles EBA, FBA ayant aussi les côtés égaux entre eux , on prouvera de même que l’angle EBA est aussi la moitié de l’angle EBF. Donc l’angle EB G est égal à l’angle EBA : donc le point G est sur la droite B A. Mais B G est aussi égal à CD : donc en retranchant de AB

la droite CD , on aura GA pour reste.

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